第五章 彎曲應力

第五章彎曲應力目錄§5-1純彎曲時梁的正應力§5-2橫力彎曲時梁的正應力及其強度條件§5-3梁的切應力及其強度條件§5-4梁的極限彎矩梁的合理截面§5-1純彎曲時梁的正應力請看一個實例：CD段：剪力為零，彎矩為常量。這種彎曲稱為純彎曲。AC、DB兩段：這種彎曲稱為橫力彎曲。同時存在剪力和彎矩。即：1、表面變形情況：（1）兩相鄰橫向線仍保持為直線，只是相對轉動一個小角度。純彎曲時梁的正應力分析一、變形幾何方面（2）縱向線變成弧線，仍垂直于變形后的橫向線，bb伸長，aa

縮短。2、平面假設：梁彎曲變形后，其原來的橫截面仍保持為平面，只是相鄰橫截面繞某一軸相對轉了一個小角度，且仍垂直于梁變形后的軸線。中性層：靠近底部的縱向線伸長，靠近頂部的縱向線縮短，根據變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向線既不伸長也不縮短。中性軸：中性層與橫截面的交線軸，橫截面就是繞中性軸轉動的。根據變形的對稱性：中性層與縱向對稱平面垂直，也就是說中性軸與對稱軸垂直，即求距中性層為y處的纖維的線應變：變形前：3、縱向線應變的變化規(guī)律即：故r

：中性層的曲率半徑。變形后：二、物理關系由于彎曲變形微小，可設各層纖維之間沒有擠壓，亦即可認為各縱向纖維處于單向應力狀態(tài)。并設當時故說明：由于未知，中性軸位置未定，所以不能由式計算正應力三、靜力學條件橫截面上各法向微內力構成空間平行力系，只能簡化成三個內力分量說明中性軸過形心由（1）式：（1）（2）（3）由（2）式：故上式自然滿足。M由（3）式：（5-1）（5-2）其中：M：橫截面上彎矩

y：所求點的坐標

Iz：橫截面對中性軸的慣性矩由靜力學關系得到由變形幾何關系得到由物理關系得到綜上分析，可以得到梁純彎曲時橫截面上的彎曲正應力計算公式：推導過程簡單總結：（三方面）（5）對于用鑄鐵、木材以及混凝土等材料制成的梁，在應用上述公式時，都帶有一定的近似性。（2）應用公式時，通常M和y都用絕對值，所求點的應力是拉應力還是壓應力，可根據梁的變形情況直接判斷。幾點說明（1）公式成立條件：材料在線彈性范圍內，即（3）由公式推導可知，公式不僅適用于矩形截面梁，而且還適用于其它一些截面梁，如：圓截面梁、工字形截面梁、T字形截面梁，等等。（4）由于y、z軸就是橫截面的形心主軸，從而可得到啟示：當橫截面沒有對稱軸時，只要外力偶作用在形心主軸之一（例如

y軸）所構成的縱向平面內，上述公式仍適用。例5-1T形截面外伸梁尺寸及受力如圖所示。已知橫截面對中性軸的慣性矩Iz=5.33×106mm4。求跨中C截面上a、b、c點的彎曲正應力。解：首先作剪力圖和彎矩圖，由圖可知，AB段為純彎曲。（拉）（壓）（中性軸上）（上側受拉）例5-2：懸臂梁如圖所示，在其下面有一個半徑為R的圓柱面，欲使梁彎曲后剛好與圓柱面貼合，但圓柱面不受力，問梁上該受什么荷載？大小等于多少？已知EIz為常量。l解：由題意可得，梁彎曲后其軸線變成圓弧線，即每個截面處的曲率半徑均為常量R，由曲率公式（5-1）§5-2橫力彎曲時梁的正應力及其強度條件梁的合理截面一.橫力彎曲時梁的正應力及其強度條件由于τ的存在，橫截面發(fā)生翹曲（§5-3）。平面假設不成立，且還有沿y的擠壓正應力。由彈性力學結果表明，當l/h≥5時（細長梁），用（5-2）式計算以上梁跨中截面的最大正應力，其誤差≤1.07%。所以工程中仍用純彎曲時的正應力公式來計算橫力彎曲時的正應力。但要注意，橫力彎曲時，彎矩是x的函數，所以等截面梁（5-3）（5-4）（5-5）Wz稱為彎曲截面系數，單位：m3則幾種常見截面的Wz其中：正應力強度條件：(等直梁)由于σmax發(fā)生在|Mmax|橫截面的上、下邊緣處，而該處的τ=0或很?。ā?-3），且不計擠壓應力，σmax點處于單向應力狀態(tài)。（5-6）即材料的彎曲許用正應力塑性材料：脆性材料：拉、壓強度不等，應近似地分別用材料的許用拉應力和許用壓應力來代替材料的彎曲許用拉、壓應力。脆性材料：例5-3材料為紅松，,按正應力強度條件選擇b和h解：作彎矩圖，如圖所示由采用BACD1m1m1m已知：Iz＝5.493×107mm4，鑄鐵[σt]=30MPa，[σc]=90MPa。例5-4試確定此梁的許用荷載F。解：設F的單位為kN。86134B截面86134C截面40120180861342020C40120180861342020C86134B截面86134C截面所以最大壓應力必定在B截面的下邊緣處Iz＝5.493×107mm4由此可得[σt]=30MPa[σc]=90MPa。40120180861342020C86134B截面86134C截面Iz＝5.493×107mm4則最大拉應力一定在C截面的下邊緣處[σt]=30MPa[σc]=90MPa。由此可得故應取已知：F1=8kN，F2=20kN，a=0.6m，Iz=5.33×106mm4

σbt=240MPa，σbc=600MPa，安全系數n=4。試：校核梁的強度。解：作彎矩圖，很容易求出：a許用應力為：校核強度：截面A下邊緣：截面A上邊緣：截面C下邊緣：故：滿足強度要求由圖可得危險截面彎矩：練習已知：l=1.2m[σ]=170MPa，18號工字鋼，不計自重。練習求：F的最大許可值。解：作彎矩圖，得：故：查附錄型鋼表3，由：由圖可得：二.梁的合理設計由上式可見，降低最大彎矩、提高彎曲截面系數，或局部加強彎矩較大的梁段，都能降低梁的最大正應力，從而提高梁的承載能力，使梁的設計更為合理。（一）合理配置梁的荷載和支座按強度要求設計梁時，主要是依據梁的正應力強度條件工程中經常采用的幾種措施：最大彎矩減小了50%輔梁x=0.207l的時候，最大彎矩減小了82.8%同理，合理地設置支座位置，也可降低梁內的最大彎矩值a=0.2l的時候，最大彎矩減小了20%a=0.2l(二)選擇合理的截面形狀截面由可知，當彎矩確定時，橫截面上的最大正應力與彎曲截面系數成反比。因此，在截面面積相同的條件下，選用各種不同截面形式，其中

越大越經濟合理。型鋼除了要把中性軸附近的材料減少到最低限度以外，還應當顧及材料本身的性能。脆性材料：應選中性軸為非對稱軸的截面，例如：T形截面、槽型截面等，并將頂板置于受拉一側。塑性材料：應選中性軸為對稱軸的截面，例如：工字形截面、圓環(huán)形截面、箱形截面等。不合理合理(三)合理設計梁的外形由等直梁的強度條件可知，最大正應力發(fā)生在彎矩為最大的橫截面上距中性軸最遠的各點處。也就是說，當最大彎矩截面上的最大正應力達到材料的許用應力時，其余各截面上的最大正應力都還小于材料的許用應力。因此，為了充分發(fā)揮材料的作用，并節(jié)約材料和減輕自重，將梁設計變截面的。例如，可在彎矩較大的部分進行局部加強。若使梁各橫截面上的最大正應力都相等，并均達到材料的許用應力，通常稱為等強度梁。魚腹梁得§5-3梁的切應力及其強度條件一、梁的切應力即：切應力分析方法：對切應力分布規(guī)律作一些假設利用分離體的平衡條件水平切應力橫截面上的切應力1、矩形截面梁的切應力（重點掌握）τ分布規(guī)律假設：(1)橫截面上各點處切應力τ的方向均與截面?zhèn)冗?豎直邊)平行(2)切應力沿截面寬度均勻分布(即只與y的大小有關)由彈性力學可以證實，當h大于b時，依據上述假設所得出的切應力公式對于長梁是足夠精確的。x同理可得yA帶入并整理得到(5-7)計算時FS和Sz都以絕對值代入計算，而τ的指向與Fs指向一致yASz是距中性軸為y的橫線以下(或是以上)部分的橫截面面積對中性軸的靜面矩。FS為橫截面上的剪力；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；b為橫截面的寬度；(5-7)例5-5矩形截面懸臂梁如圖所示。試求C截面上1、2、3點的應力，并用單元體示出各點的應力狀態(tài)?！ぁぁぁぁぁそ猓篊截面的彎矩和剪力分別為1點：(拉應力)2點：(拉應力)(正負號與剪力一致)例5-5矩形截面懸臂梁如圖所示。試求C截面上1、2、3點的應力，并用單元體示出各點的應力狀態(tài)?！ぁぁぁぁぁ?點：繪出1、2、3點應力狀態(tài)（單向應力狀態(tài)）（復雜應力狀態(tài)）（純剪切應力狀態(tài)）2、工字形截面梁的切應力(a)腹板上的切應力（重點掌握）翼緣腹板腹板是狹長矩形，完全適用對矩形截面梁的切應力分布所作的兩個假設。（5-9）（5-9）式中，d為腹板的厚度；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；Sz是距中性軸為y的橫線以下（或以上）部分的橫截面面積對中性軸的靜面矩；（y的二次函數）Sz，max是中性軸一側的半個橫截面面積對中性軸的靜面矩。型鋼查表：(中性軸處)(腹板與翼緣交界處)（5-10）(b)翼緣上的切應力（5-11）（5-11）從右圖可見，橫截面上彎曲切應力的指向，猶如源于上翼緣兩端的水流，經由腹板，再分成兩股流入下翼緣的兩端。除非某點的切應力為零，否則絕不會在該點相向或相背而流。通常把切應力的這一特點稱為切應力流。由狹長矩形組成的組合截面的切應力二、切應力強度條件等直梁：其中，是中性軸一側的橫截面面積對中性軸的靜面矩;注：彎曲正應力強度條件一般起著控制作用，通常先按正應力強度條件選擇梁的截面尺寸或許用荷載，再按切應力強度條件進行校核。b為橫截面在中性軸處的寬度或厚度;Iz為橫截面對中性軸的慣性矩。(一般位于中性軸處)（5-17）例5-6矩形截面簡支梁受力如圖。材料為紅松，其彎曲許用正應力，順紋許用切應力。試選擇梁的截面尺寸。解：(1)繪梁的剪力圖和彎矩圖(2)按正應力強度條件選擇截面尺寸得從而(3)按切應力強度條件選擇截面尺寸得又故取例5-6矩形截面簡支梁受力如圖。材料為紅松，其彎曲許用正應力，順紋許用切應力。試選擇梁的截面尺寸。例5-7跨度為6m的簡支梁，是由32a號工字鋼在其中間區(qū)段焊上兩塊100mm×10mm×3000mm的鋼板制成。材料均為Q235鋼，其，，試校核該梁的強度。解：求反力，并繪剪力圖和彎矩圖正應力強度校核D截面：查表：32a工字鋼查表：32a工字鋼C左截面：相對誤差：切應力強度校核(AC段)故該梁是安全的例5-8

跨度l=4m的箱形截面簡支梁受力如圖。該梁是用四塊木板膠合而成。彎曲許用正應力[s]=10MPa，順紋許用切應力[t]=1.1MPa；膠合縫許用切應力[t膠]=0.35MPa。試求該梁的許用荷載q的值。Iz＝1.474×108mm4

。解:(1)求最大彎矩和最大剪力（其中q的單位：kN/m）(2)按正應力強度計算q的值(3)再按切應力強度進行校核中性軸以下半個橫截面面積對中性軸的靜面矩為：橫截面在中性軸處寬度b＝2×45＝90mm底板的面積對中性軸的靜面矩為：膠合處截面的寬度b＝2×45＝90mm，故膠合縫的切應力為：故該梁的許用荷載集度q＝6.14kN/m。練習：

梁由鋼板焊接而成，許用正應力[s]＝120MPa，許用切應力為[t]＝60MPa，其中橫截面對z軸的慣性矩Iz＝39.7×106mm4。試校核其強度。并作C左截面切應力分布圖。0.5m2mBAC解：（1）求支座反力并畫內力圖208040140202020yzC8211814082118202020yz最大正應力發(fā)生在C截面的下邊緣處(2)正應力強度校核正應力滿足強度要求Iz＝39.7×106mm40.5m2mBAC208040最大切應力發(fā)生在AC段任一橫截面的中性軸處z軸以下面積對z軸的靜面矩為14082118202020yz(3)切應力強度校核Iz＝39.7×106mm4切應力亦滿足強度要求，該梁安全。0.5m2mBAC208040（3）C左截面切應力分布圖14082118202020yzaca點以右部分的腹板面積對z軸的靜面矩為c點以下一塊腹板的面積對z軸的靜面矩為§5-4梁的極限彎矩在§5-2中，對鋼梁進行強度計算時，是把梁橫截面上的最大正應力達到鋼材的屈服極限ss作為整個梁的危險狀態(tài)的。此時在控制截面處的最外邊緣纖維達到屈服，其余部分的材料還在線彈性范圍內工作，鋼梁還可以承受更大的荷載。下面將研究當考慮材料塑性時梁的承載能力。這里僅討論具有明顯屈服階段的塑性材料（如Q235鋼），它們在拉伸和壓縮時的s-

曲線通常簡化成如下圖所示。即認為屈服前材料服從胡克定律，屈服后不考慮強化，且拉伸和壓縮時的彈性模量E和屈服極限ss也分別相同。我們把具有這種s-

曲線的材料稱為理想彈塑性材料。純彎曲為方便起見，設梁的橫截面具有兩個對稱軸，外力偶作用在豎直縱向對稱平面內。屈服彎矩Ms------由實驗證實，當梁超過彈性范圍進入塑性階段時，平面假設仍成立。這樣，縱向線應變

沿截面高度必定是線性變化的。當把Me加大到一定程度時，最外邊緣處的線應變首先達到

s，此時橫截面上的正應力沿截面高度也是線性變化的，最外邊緣處的正應力恰好等于

s。這就是§5-2中認為的整個梁已達到危險狀態(tài)。這時橫截面上的彎矩稱為屈服