中職數(shù)學(xué)（第二冊(cè)）課件7.3 平面向量的內(nèi)積教案

【課題】7.3平面向量的內(nèi)積【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)：（1）了解平面向量?jī)?nèi)積的概念及其幾何意義.（2）了解平面向量?jī)?nèi)積的計(jì)算公式.為利用向量的內(nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ).能力目標(biāo)：通過實(shí)例引出向量?jī)?nèi)積的定義,培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力．【教學(xué)重點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的概念及計(jì)算公式.【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)量積的概念及利用數(shù)量積來(lái)計(jì)算兩個(gè)非零向量的夾角．【教學(xué)設(shè)計(jì)】教材從某人拉小車做功出發(fā)，引入兩個(gè)向量?jī)?nèi)積的概念．需要強(qiáng)調(diào)力與位移都是向量，而功是數(shù)量．因此，向量的內(nèi)積又叫做數(shù)量積．在講述向量?jī)?nèi)積時(shí)要注意：（1）向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量的夾角余弦的乘積.其符號(hào)是由夾角決定；（2）向量數(shù)量積的正確書寫方法是用實(shí)心圓點(diǎn)連接兩個(gè)向量.教材中利用定義得到內(nèi)積的性質(zhì)后面的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到，其中：（1）當(dāng)<a,b>＝0時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>＝時(shí)，a·b＝－|a||b|．可以記憶為：兩個(gè)共線向量，方向相同時(shí)內(nèi)積為這兩個(gè)向量模的積；方向相反時(shí)內(nèi)積為這兩個(gè)向量模的積的相反數(shù)．（2）|a|＝顯示出向量與向量的模的關(guān)系，是得到利用向量的坐標(biāo)計(jì)算向量模的公式的基礎(chǔ)；（3）cos<a,b>＝，是得到利用兩個(gè)向量的坐標(biāo)計(jì)算兩個(gè)向量所成角的公式的基礎(chǔ)；（4）“a·b＝0ab”經(jīng)常用來(lái)研究向量垂直問題，是推出兩個(gè)向量?jī)?nèi)積坐標(biāo)表示的重要基礎(chǔ)．【教學(xué)備品】教學(xué)課件．【課時(shí)安排】2課時(shí)．(90分鐘)【教學(xué)過程】教學(xué)過程教師行為學(xué)生行為教學(xué)意圖時(shí)間*揭示課題7.3平面向量的內(nèi)積*創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入FsFs圖7—21O如圖7－21所示，水平地面上有一輛車，某人用100N的力，朝著與水平線成角的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100m．那么，這個(gè)人做了多少功？介紹質(zhì)疑引導(dǎo)分析了解思考自我分析從實(shí)例出發(fā)使學(xué)生自然的走向知識(shí)點(diǎn)05*動(dòng)腦思考探索新知【新知識(shí)】我們知道，這個(gè)人做功等于力與在力的方向上移動(dòng)的距離的乘積．如圖7－22所示，設(shè)水平方向的單位向量為i，垂直方向的單位向量為j，則i+yj，即力F是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s，即W＝｜F｜c(diǎn)os·｜s｜＝100×·10＝500（J）OOxijF(x,y)y圖7－22BAO圖7－23ab這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個(gè)數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量sBAO圖7－23ab如圖7－23，設(shè)有兩個(gè)非零向量a,b，作＝a,＝b,由射線OA與OB所形成的角叫做向量a與向量b的夾角，記作<a,b>．兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b,即a·b＝｜a||b|cos<a,b>(7.10)上面的問題中，人所做的功可以記作W＝F·s.由內(nèi)積的定義可知a·0＝0,0·a＝0．總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語(yǔ)思考理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生分析引導(dǎo)式啟發(fā)學(xué)生得出結(jié)果15由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果：當(dāng)<a,b>＝0時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)<a,b>＝時(shí)，a·b＝?|a||b|.cos<a,b>＝.當(dāng)b＝a時(shí)，有<a,a>＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝.當(dāng)時(shí)，ab，因此，a·b＝因此對(duì)非零向量a，b，有a·b＝0ab.可以驗(yàn)證，向量的內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：a·b＝b·a．()·b＝(a·b)＝a·(b)．(a＋b)·c＝a·c＋b·c．注意：一般地，向量的內(nèi)積不滿足結(jié)合律，即a·(b·c)≠（a·b）·c.請(qǐng)結(jié)合實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證.總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語(yǔ)思考理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生分析反復(fù)強(qiáng)調(diào)30*鞏固知識(shí)典型例題例1已知|a|＝3,|b|＝2,<a,b>＝,求a·b．解a·b＝|a||b|cos<a,b>＝3×2×cos＝3．例2已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求<a,b>．解cos<a,b>＝＝＝?.由于0≤<a,b>≤，所以<a,b>＝．說(shuō)明強(qiáng)調(diào)引領(lǐng)思考主動(dòng)求解注意觀察學(xué)生是否理解知識(shí)點(diǎn)40*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)1.已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夾角為，求a·b．2.已知a·a＝9,求|a|．3.已知|a|＝2,|b|＝3,<a,b>＝，求(2a＋b)·b．提問巡視指導(dǎo)思考口答及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握得情況45*動(dòng)腦思考探索新知設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分別為x軸，y軸上的單位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又|i|＝|j|＝1，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i?i＋x1y2i?j＋x2y1i?j＋y1y2j?j＝x1x2|j|2＋y1y2|j|2＝x1x2＋y1y2．這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即a·b＝x1x2＋y1y2(7.11)利用公式(7．11)可以計(jì)算向量的模．設(shè)a＝(x,y)，則，即(7.12)由平面向量?jī)?nèi)積的定義可以得到，當(dāng)a、b是非零向量時(shí)，cos<a,b>＝＝.(7.13)利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角.由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知a·b＝0x1x2＋y1y2＝0．因此abx1x2＋y1y2＝0．(7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐標(biāo)來(lái)研究向量垂直的問題．總結(jié)歸納仔細(xì)分析講解關(guān)鍵詞語(yǔ)思考?xì)w納理解記憶帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)60*鞏固知識(shí)典型例題例3求下列向量的內(nèi)積：a＝(2,?3),b＝(1,3)；a＝(2,?1),b＝(1,2)；a＝(4,2),b＝(?2,?3)．解(1)a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7；(2)a·b＝2×1＋(?1)×2＝0；(3)a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14．例4已知a＝(?1,2),b＝(?3,1).求a·b,|a|,|b|,<a,b>．解a·b＝(?1)(?3)＋2×1＝5；|a|＝；|b|＝；cos<a,b>＝＝，所以<a,b>＝．例5判斷下列各組向量是否互相垂直：(1)a＝(?2,3),b＝(6,4)；(2)a＝(0,?1),b＝(1,?2)．解(1)因?yàn)閍·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以ab．(2)因?yàn)閍·b＝0×1＋(?1)×（?2)＝2，所以a與b不垂直．說(shuō)明強(qiáng)調(diào)引領(lǐng)講解說(shuō)明引領(lǐng)分析強(qiáng)調(diào)含義說(shuō)明觀察思考主動(dòng)求解觀察思考求解領(lǐng)會(huì)思考求解講解說(shuō)明注意觀察學(xué)生是否理解知識(shí)點(diǎn)反復(fù)強(qiáng)調(diào)70*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)已知a＝(5,?4)，b＝(2,3)，求a·b．已知a＝(1,)，b＝(0,)，求<a,b>．已知a＝(2,?3)，b＝(3,－4)，c＝(?1,3),求a·(b＋c)．4.判斷下列各組向量是否互相垂直：(1)a＝(?2,?3)，b＝(3,?2)；(2)a＝(2,0)，b＝(0,?3)；(3)a＝(?2,1)，b＝(3,4)．5.求下列向量的模：(1)a＝(2,?3)，(2)b＝(8,6)．啟發(fā)引導(dǎo)提問巡視指導(dǎo)思考了解動(dòng)手求解及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握得情況80*理論升華整體建構(gòu)思考并回答下面的問題：平面向量?jī)?nèi)積的概念、幾何意義?結(jié)論：兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b,即a·b＝｜a||b|cos<a,b>(7.10)a·b的幾何意義就是向量a的模與向量b在向量a上的投影的乘積．質(zhì)疑歸納強(qiáng)調(diào)回答及時(shí)了解學(xué)生知識(shí)掌握情況83*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？引導(dǎo)回憶*自我反思目標(biāo)檢測(cè)本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？你的學(xué)習(xí)效果如何？1.已知a＝(5,?4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2,?3),b＝(3,?4),c＝(?1,3),求a·(b＋c)．提問巡視指導(dǎo)反思動(dòng)手求解檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果88*繼續(xù)探索活動(dòng)探究(1)讀書部分：閱讀教材(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題7.3A組（必做）；7.3B組（選做）(3)實(shí)踐調(diào)查：編寫一道向量?jī)?nèi)積問題并解答．說(shuō)明記錄分層次要求90【教師教學(xué)后記】項(xiàng)目反思點(diǎn)學(xué)生知識(shí)、技能的掌握情況學(xué)生是否真正理解有關(guān)知識(shí)；是否能利用知識(shí)、技能解決問題；在知識(shí)、技能的掌握上存在哪些問題；學(xué)生的情感態(tài)度學(xué)生是否參與