新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題8.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（講）解析版

專題8.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系新課程考試要求1.了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理；2.了解兩點間距離、點到平面的距離的含義.3.理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象等.考向預(yù)測（1）以幾何體為載體，考查點線面的位置關(guān)系，以及異面直線所成角、線面角等，與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系.（3）平面的基本性質(zhì)，點、直線、平面之間的位置關(guān)系是高考試題主要考查知識點，題型多為選擇題或填空題，少有在大題中間接考查．平面的基本性質(zhì)是立體幾何的基礎(chǔ)，而兩條異面直線所成的角、線面角、二面角和距離是高考熱點．【知識清單】知識點1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．知識點2．空間兩直線的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)))直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交、在平面內(nèi)三種情況．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．知識點3．異面直線所成的角異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：.異面直線的判定方法：判定定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線；反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．知識點4．直線與平面所成角1．直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).知識點5．二面角1．求二面角的大小(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小(或)．【考點分類剖析】考點一：平面的基本性質(zhì)【典例1】（2021·北京高一期末）已知點A∈直線l，又A∈平面SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系判斷．【詳解】點A∈直線l，又A∈平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0至少有一個公共點，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：D．【典例2】（2020·全國高考真題（文））如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，．證明：（1）當(dāng)時，；（2）點在平面內(nèi)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）因為長方體,所以平面,因為長方體,所以四邊形為正方形因為平面,因此平面,因為平面,所以；（2）在上取點使得,連,因為,所以所以四邊形為平行四邊形，因為所以四點共面，所以四邊形為平行四邊形，，所以四點共面，因此在平面內(nèi)【規(guī)律方法】1.證明點共線問題的常用方法公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的方法證明若干線共點的基本思路是先找出兩條直線的交點，再證明其他直線都經(jīng)過該點．而證明直線過該點的方法是證明點是以該直線為交線的兩個平面的公共點．3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合【變式探究】1.（2019·上海高三）若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【解析】由題意，根據(jù)直線和直線外的一點，有且只有一個平面，所以“這四個點中有三點在同一直線上”，則“這四個點在同一平面上”，反之不一定成立，所以“這四個點中有三點在同一直線上”是“這四個點在同一平面上”的充分非必要條件，故選A.2.（2019·河南高三月考（文））如圖，是平行六面體，O是的中點，直線交平面于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A.不共面 B.三點共線C.不共面 D.共面【答案】B【解析】如圖所示：連接，因為平面，平面，所以是平面與平面的交線；又因為直線交平面于點，所以，所以三點共線，則B正確；因為平面，所以共面，故A錯誤，同理可知C錯誤；顯然不是中點，所以不共面，故D錯誤，故選：B.【總結(jié)提升】公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)．要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理．畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可．要證明點共線或線共點的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理3，即證點在兩個平面的交線上．或者選擇其中兩點確定一直線,然后證明另一點也在直線上.考點二：空間線、面的位置關(guān)系【典例3】（2021·北京高一期末）若直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列結(jié)論一定成立的個數(shù)是（）①SKIPIF1<0內(nèi)的所有直線與m異面；②SKIPIF1<0內(nèi)存在唯一一條直線與m相交；③SKIPIF1<0內(nèi)存在直線與m平行．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】根據(jù)線面間的位置關(guān)系判斷，【詳解】直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交．SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0內(nèi)直線與SKIPIF1<0平行或異面，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交時，SKIPIF1<0內(nèi)直線與SKIPIF1<0相交或異面，因此三個命題均錯．故選：A．【典例4】（2021·江蘇省如皋中學(xué)高一月考）如圖，設(shè)不全等的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不在同一個平面內(nèi)，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點．【答案】證明見解析【解析】本題首先可根據(jù)題意設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，然后令交點為SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得出點SKIPIF1<0在兩平面的交線上，最后根據(jù)兩平面的交線為SKIPIF1<0即可證得結(jié)論.【詳解】因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不在同一個平面內(nèi)且不全等，所以可設(shè)SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為梯形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，令其交點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線上，因為平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點.【總結(jié)提升】判斷空間兩直線位置關(guān)系的思路方法(1)判斷空間兩直線的位置關(guān)系一般可借助正方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷．(2)異面直線的判定方法①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．②定理法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．【變式探究】1.（廣東高考真題）若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A.與，都相交 B.與，都不相交C.至少與，中的一條相交 D.至多與，中的一條相交【答案】C【解析】試題分析：若直線和是異面直線，在平面，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則至少與，的一條相交.故選A．2.若表示直線，表示平面，下列結(jié)論中正確的是_______.①；②；③；④.【答案】①④【解析】①中，因為，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可得到，所以①正確；②中，因為，所以或，故②錯誤；③中，因為，所以或或與相交，故③錯誤；④中，因為，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可得到，故④正確；故答案為①④【總結(jié)提升】空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.考點三：異面直線所成的角【典例5】（2021·江西高一期末（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】連接SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，再根據(jù)條件得到SKIPIF1<0為直角三角形，設(shè)出長度，即可求解.【詳解】解：如圖所示：連接SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：C.【規(guī)律方法】1.求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補(bǔ)形平移．計算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行．平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．2．向量法(基底法、坐標(biāo)法)求異面直線所成的角根據(jù)題意，確定兩異面直線各自的方向向量a，b，則兩異面直線所成角θ滿足cosθ＝.【變式探究】（2021·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一月考）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角是（）A．45° B．90°C．正切值為2 D．正切值為SKIPIF1<0【答案】A【解析】長方體中直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中求SKIPIF1<0正切值可得答案.【詳解】長方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.考點四：直線與平面所成角【典例6】【多選題】（2021·江蘇高二期末）如圖所示，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線B．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0D．點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)即知A的正誤，再結(jié)合線線角、線面角的定義找到對應(yīng)的平面角，即可知B、C的正誤，由面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0在同一平面，即可求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，即知D的正誤.【詳解】由正方體的性質(zhì)知：直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是異面直線，A正確；由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，B錯誤；若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，由SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，C正確；由面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0在同一平面，又SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，D正確.故選：ACD【典例7】（2018·天津高考真題（文））如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點M為棱AB的中點，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求證：AD⊥BC；（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】（Ⅰ）證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中點N，連接MN，ND．又因為M為棱AB的中點，故MN∥BC．所以∠DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因為AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，異面直線BC與MD所成角的余弦值為．（Ⅲ）連接CM．因為△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點，故CM⊥AB，CM=．又因為平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直線CD與平面ABD所成角的正弦值為．【總結(jié)提升】1.利用幾何法：原則上先利用圖形“找線面角”或者遵循“一做----二證----三計算”.2.利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【變式探究】1.（2019·全國高三月考（理））已知球內(nèi)接三棱錐中，平面ABC，為等邊三角形，且邊長為，又球的體積為，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為________.【答案】【解析】如圖:由正弦定理得小圓的半徑為:,則,又由,得球的半徑R,所以,取的中點,連接,,則就是直線PC與平面PAB所成的角,又,,所以.直線PC與平面PAB所成角的余弦值為.2.（2021·全國高三其他模擬）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有邊長均為1.（1）計算正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積和體積；（2）求直線AB1與平面ABC所成角的大小.【答案】（1）表面積為：SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0；（2）45°【解析】（1）運(yùn)用柱體的表面積和體積計算公式求解即可；（2）確定直線與平面所成角，運(yùn)用三角形知識求解答案.【詳解】（1）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以三棱柱SKIPIF1<0表面積為：SKIPIF1<0三棱柱SKIPIF1<0的體積為：SKIPIF1<0；（2）正三棱柱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即是直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的平面角.

SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為45°.考點五：二面角【典例8】（2021·江蘇高二期末）如圖，在斜三棱柱SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值；（2）求二面角SKIPIF1<0的正切值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】(1)利用SKIPIF1<0，將所求角轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中求SKIPIF1<0的正弦值；(2)先證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，最后在SKIPIF1<0中求SKIPIF1<0的正切值.【詳解】(1)因為斜三棱柱SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，又側(cè)面SKIPIF1<0為菱形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.(2)由(1)知SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為斜三棱柱，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】1.利用幾何法：原則上先利用圖形“找平面角”或者遵循“一做----二證----三計算”.2.（1）求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．(2)用平面的法向量求二面角時，二面角的大小與兩平面法向量的夾角有相等和互補(bǔ)兩種情況．【變式探究】（2021·河北巨鹿中學(xué)高一月考）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個正四面體SKIPIF1<0和一個正八面體SKIPIF1<0的棱長都是SKIPIF1<0（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體.（1）求新多面體的體積；（2）求正八面體SKIPIF1<0中二面角SKIPIF1<0的余弦值；（3）判斷新多面體為幾面體？（只需給出答案，無需證明）【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）七面體.【解析】（1）分別取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，證明出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，計算出SKIPIF1<0的面積，利用錐體的體積公式可求得正四面體的體積，利用錐體的體積公式可求得正八面體的體積，進(jìn)而可得出新多面體的體積為正四面體和正八面體體積之積，即可得解；（2）在正八面體SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，分析出SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，計算出SKIPIF1<0三邊邊長，利用余弦定理可求得結(jié)果；（3）計算出正四面體相鄰面所構(gòu)成的二面角與正八面體相鄰面所構(gòu)成的二面角互補(bǔ)，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）分別取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，如下圖所示：因為