18學(xué)年高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何2.3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理教學(xué)案北師大版2-11802222208

PAGEPAGE4。。。內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯§3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理3．1&3.2空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示空間向量基本定理eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P22])空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示學(xué)生小李參加某大學(xué)自主招生考試，在一樓咨詢(xún)處小李得知：面試地點(diǎn)由此向東10m，后向南15m，然后乘5號(hào)電梯到位于6樓的2號(hào)學(xué)術(shù)報(bào)告廳參加面試．設(shè)e1是向東的單位向量，e2是向南的單位向量，e3是向上的單位向量．問(wèn)題1：e1，e2，e3有什么關(guān)系？提示：兩兩垂直．問(wèn)題2：假定每層樓高為3m，請(qǐng)把面試地點(diǎn)用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.標(biāo)準(zhǔn)正交基與向量坐標(biāo)(1)標(biāo)準(zhǔn)正交基：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸正方向的單位向量i，j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基．(2)標(biāo)準(zhǔn)正交分解：設(shè)i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對(duì)空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解．(3)向量的坐標(biāo)表示：在a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解中三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)叫作空間向量a的坐標(biāo)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐標(biāo)表示．(4)向量坐標(biāo)與投影：①i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y(tǒng)，a·k＝z.把x，y，z分別稱(chēng)為向量a在x軸、y軸、z軸正方向上的投影．②向量的坐標(biāo)等于它在坐標(biāo)軸正方向上的投影．③一般地，若b0為b的單位向量，則稱(chēng)a·b0＝|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影.空間向量基本定理空間中任給三個(gè)向量a，b，c.問(wèn)題1：什么情況下，向量a，b，c可以作為一個(gè)基底？提示：它們不共面時(shí)．問(wèn)題2：若a，b，c是基底，則空間任一向量v都可以由a，b，c表示嗎？提示：可以．如果向量e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中e1，e2，e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底．a(chǎn)＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a關(guān)于基底e1，e2，e3的分解．空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面的已知向量a，b，c可以表示出空間任一向量；空間中的基底是不唯一的，空間任意三個(gè)不共面的向量均可作為空間向量的基底．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P23])空間向量的坐標(biāo)表示[例1]如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.解析：顯然D為原點(diǎn)，設(shè)E1(x，y，z)，易知x＝1，y＝eq\f(3,4)，z＝1，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1))2．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2，－1)，且向量與向量關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對(duì)稱(chēng)，向量與向量關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，求向量和向量的坐標(biāo)．解：如圖，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥平面xOy于M，則直線AM過(guò)點(diǎn)C，且CM＝AM，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2,1)，此時(shí)＝(1,2,1)，該向量與＝(1,2，－1)關(guān)于平面xOy對(duì)稱(chēng)．過(guò)A點(diǎn)作AN⊥x軸于N，則直線AN過(guò)點(diǎn)B，且BN＝AN，則B(1，－2,1)，此時(shí)＝(1，－2,1)，該向量與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．3.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求，的坐標(biāo)．解：(1)∵＝－＝－(＋)＝－[＋eq\f(1,2)(＋)]＝－－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－4k－2i－j.∴＝(－2，－1，－4)．(2)∵＝－＝－(＋)＝－－＝2j－4i－4k.∴＝(－4,2，－4)．向量a在b上的投影[例2]如圖，已知單位正方體ABCD－A′B′C′D′.(1)求向量在上的投影；(2)是單位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量在上的投影．[思路點(diǎn)撥]a在b上的投影為|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．[精解詳析](1)法一：向量在上的投影為||cos〈，〉，又正方體棱長(zhǎng)為1，∴|CA′|＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，∴||＝eq\r(3)，∠DCA′即為與的夾角，在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴在上的投影為||cos〈，〉＝eq\r(3)·eq\f(\r(3),3)＝1.法二：在正方體ABCD－A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈，〉＝∠DCA′.∴在上的投影為：||cos〈，〉＝||cos∠DCA′＝||＝1.(2)與的夾角為180°－∠A′CD，∴在上的投影為||cos(180°－∠A′CD)＝－||cos∠D′CA＝－1.[一點(diǎn)通]1．求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出兩個(gè)向量a與b的夾角，最后計(jì)算|a|cos〈a，b〉，即為向量a在向量b上的投影，它可正、可負(fù)，也可以為零；也可以利用幾何圖形直觀轉(zhuǎn)化求解．2．在確定向量的夾角時(shí)要注意向量的方向，如本題中〈，〉與〈，〉是不同的，其和為π.4．已知i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向上的投影為()A．1 B．－1C.eq\r(14) D．－eq\r(14)解析：a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，∴|a|cos〈a，i〉＝eq\f(a·i,|i|)＝(i＋2j＋3k)·i＝1.答案：A5.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，則向量在向量上的投影為_(kāi)_______．解析：在上的投影為||cos〈，〉，而||＝eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6)，在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝eq\f(|AD1|,|AC1|)＝eq\f(\r(3),3)，∴||cos〈，〉＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)空間向量基本定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用[例3]如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.[思路點(diǎn)撥]要證明四點(diǎn)共面只需證明可用，表示即可；第(2)問(wèn)中求x＋y＋z只需先把用，，表示出來(lái)，求出x，y，z，再求x＋y＋z.[精解詳析](1)證明：＝＋，又＝＋＝eq\f(2,3)＋＝eq\f(2,3)＋，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)，∴＝，∴＝＋，∴A，E，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋eq\f(2,3)－－eq\f(1,3)＝－AB＋＋eq\f(1,3)，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).[一點(diǎn)通]1．空間向量基本定理是指用空間三個(gè)不共面的已知向量a，b，c構(gòu)成的向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．2．利用空間的一個(gè)基底a，b，c可以表示出所有向量，注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則，及向量的數(shù)乘運(yùn)算，表示要徹底，結(jié)果只含有a，b，c，不能再有其他向量．6．O，A，B，C為空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，且＝a，＝b，＝c，且a，b，c表示為()A.eq\f(1,2)(c＋b－a) B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c) D.eq\f(1,2)(a＋b＋c)解析：＝＋＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋－)＝eq\f(1,2)(b＋c－a)．答案：A7．已知e1，e2，e3是空間中不共面的三個(gè)向量，且a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝αa＋βb＋γc，則α＋2β＋γ＝________.解析：∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝αa＋βb＋γc，∴e1＋2e2＋3e3＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))∴α＋2β＋γ＝0.答案：08．如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示如下向量：(1)；(2)(G在B1D1上且＝eq\f(1,2))．解：(1)＝－＝＋－＝－a＋b＋c.(2)＝＋，又＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)(c－b)，∴＝a－eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.1．空間任一點(diǎn)P的坐標(biāo)的確定：過(guò)P作面xOy的垂線，垂足為P′.在平面xOy中，過(guò)P′分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，C，則|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.2．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間的一個(gè)基底，基底中的三個(gè)向量e1，e2，e3都不是0.3．空間中任一向量可用空間中不共面的三個(gè)向量來(lái)唯一表示．4．點(diǎn)A(a，b，c)關(guān)于x軸、y軸、z軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a，－b，－c)，(－a，b，－c)，(－a，－b，c)；它關(guān)于xOy面、xOz面、yOz面、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a，b，－c)，(a，－b，c)，(－a，b，c)，(－a，－b，－c)．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練七])1．在以下三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面；②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線；③若a，b是兩個(gè)不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，①②均正確．答案：C2．如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,3)，＝xa＋yb＋zc，則()A．x＝2，y＝1，z＝eq\f(3,2) B．x＝2，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1 D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(3,2)解析：＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋A′D′→)＝2a＋b＋eq\f(3,2)c.答案：A3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，則在上的投影為()A．－eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\r(2) D.eq\r(2)解析：∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，∴||＝eq\r(2)，||＝eq\r(2)，||＝eq\r(2).∴△AB1C是等邊三角形．∴在上的投影為||cos〈，〉＝eq\r(2)×cos60°＝eq\f(\r(2),2).答案：B4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，則＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c解析：＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,2)(－＋＋)＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－c)＋eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：D5．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，則在上的投影是________．解析：在上的投影為||cos〈，〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝eq\f(|AB|,|AC1|)＝eq\f(2,\r(22＋12＋12))＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，又||＝eq\r(6).∴||cos〈·〉＝eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),3)))＝－2.答案：－26．在三棱錐O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則＝________(用a，b，c表示)．解析：如圖，＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,4)(＋)＝＋eq\f(1,4)(－＋－)．＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c7．已知ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫(xiě)出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出，，，，，，的坐標(biāo)表示．解：∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，∴A(1,0,0),B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．8．如下圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為△PDC的重心，＝i，＝j(luò)，＝k，試用基底i，j，k表示向量，.解：∵G是△PDC的重心，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(＋＋＋＋)＝eq\f(1,3)(－k＋j－k＋i＋j)＝eq\f(1,3)i＋eq\f(2,3)j－eq\f(2,3)k，＝＋＋＝－i＋k＋eq\f(1,3)i＋eq\f(2,3)j－eq\f(2,3)k＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(2,3)j＋eq\f(1,3)k.3．3空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P25])2014年2月，濟(jì)青高速臨沂段發(fā)生交通事故，一輛中型車(chē)嚴(yán)重變形，駕駛員被困車(chē)內(nèi)，消防官兵緊急破拆施救．為防止救援造成的二次傷害，現(xiàn)從3個(gè)方向用力拉動(dòng)駕駛室門(mén)，這3個(gè)力兩兩垂直，其大小分別為|F1|＝300N，|F2|＝200N，|F3|＝200eq\r(3)N.問(wèn)題1：若以F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的方向分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，駕駛室門(mén)受到的力的坐標(biāo)是什么？提示：(300,200,200eq\r(3))．問(wèn)題2：駕駛室門(mén)受到的合力有多大？提示：|F|＝500N.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)；(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(5)a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(6)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(7)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；(8)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2))).若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．1．空間向量的加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算仍是坐標(biāo)，數(shù)量積的運(yùn)算是實(shí)數(shù)．2．利用空間向量的坐標(biāo)可以解決向量的模、夾角、向量的平行與垂直等問(wèn)題．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P25])空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算[例1]已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，a·b.[思路點(diǎn)撥]空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類(lèi)似，向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．[精解詳析]2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.[一點(diǎn)通]空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類(lèi)似，兩個(gè)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算就是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別進(jìn)行加、減、數(shù)乘運(yùn)算；空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么向量a－b＋2c＝()A．(0,1,2) B．(4，－5,5)C．(－4,8，－5) D．(2，－5,4)解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)．答案：C2．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P點(diǎn)坐標(biāo)，使(1)＝eq\f(1,2)(－)；(2)＝eq\f(1,2)(－)．解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．(1)＝eq\f(1,2)(6,3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))；(2)設(shè)P為(x，y，z)，則＝(x－2，y＋1，z－2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，所以x＝5，y＝eq\f(1,2)，z＝0，即P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)，0)).3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的向量c：(1)a·c＝0；(2)|c|＝10；(3)c與向量b＝(1,0,0)垂直．解：設(shè)c＝(x，y，z)，由三個(gè)條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4z＝0，,x2＋y2＋z2＝100，,x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4\r(5)，,z＝2\r(5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－4\r(5)，,z＝－2\r(5).))∴c＝(0,4eq\r(5)，2eq\r(5))或(0，－4eq\r(5)，－2eq\r(5))．用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量的平行與垂直問(wèn)題[例2]如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．過(guò)B作BM⊥AC1于M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．[思路點(diǎn)撥]寫(xiě)出A，B，C1的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用條件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程組，求解．[精解詳析]法一：設(shè)M(x，y，z)，由圖可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，則＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．∵⊥，∴·＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②得x＝eq\f(2a,3)，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).法二：設(shè)＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a，aλ)．∵BM⊥AC1，∴·＝0即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝eq\f(1,3)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).∴M點(diǎn)坐標(biāo)(eq\f(2a,3)，eq\f(a,3)，eq\f(a,3))．[一點(diǎn)通]用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量平行、垂直有關(guān)問(wèn)題，要注意以下兩個(gè)等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用：(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b為非零向量)，則a∥b?x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0時(shí)，必有a∥b，必要時(shí)應(yīng)對(duì)b是否為0進(jìn)行討論．(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，則a與b()A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.答案：A5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，求證：AD⊥D1F.證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴＝(－1,0,0)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1)).∴·＝(－1,0,0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1))＝0.∴AD⊥D1F.6．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求滿(mǎn)足下列條件時(shí)，實(shí)數(shù)x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.解：(1)①當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，∴x＝0，滿(mǎn)足a∥b；②當(dāng)x＝1時(shí)，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，此時(shí)a不平行b，∴x≠1.③當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，由a∥b?eq\f(1－x2,1)＝eq\f(－3x,x)＝eq\f(x＋1,1－x)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＝－3，,\f(x＋1,1－x)＝－3))?x＝2.綜上所述，當(dāng)x＝0或2時(shí)，a∥b.(2)∵a⊥b?a·b＝0?(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0?1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±eq\f(\r(10),5).用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角與距離問(wèn)題[例3]直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)求cos〈，〉的值．[思路點(diǎn)撥]CA，CB，CC1兩兩垂直，可由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模及夾角．[精解詳析]以C為原點(diǎn)，以，，為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．(1)依題意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，＝(1，－1,1)，∴||＝eq\r(3).(2)依題意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝3，||＝eq\r(6)，||＝eq\r(5).∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(\r(30),10).[一點(diǎn)通]在幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要充分利用幾何體本身的特點(diǎn)，以使各點(diǎn)的坐標(biāo)易求．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可使復(fù)雜的線面關(guān)系的論證、角及距離的計(jì)算變得簡(jiǎn)單．7．已知空間三點(diǎn)A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求與的夾角．解：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，||＝eq\r(4＋1＋9)＝eq\r(14)，||＝eq\r(1＋9＋4)＝eq\r(14)，·＝2－3－6＝－7，∴cos〈，〉＝eq\f(AB→·CA→,|AB→||CA→|)＝eq\f(－7,\r(14)×\r(14))＝－eq\f(1,2).∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝eq\f(2π,3).8．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值；(3)求FH的長(zhǎng)．解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)).(1)證明：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴·＝eq\f(1,2)×(－1)＋eq\f(1,2)×0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.(2)∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))，∴||＝eq\f(\r(17),4).又∵·＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq\f(3,8)，||＝eq\f(\r(3),2).∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(\r(51),17).即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為eq\f(\r(51),17).(3)∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2))).∴||＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(41),8).故FH的長(zhǎng)為eq\f(\r(41),8).1．空間向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、平行、垂直、夾角的坐標(biāo)表示都類(lèi)似于平面向量，要類(lèi)比記憶與理解．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后利用有關(guān)公式求解．要注意總結(jié)在長(zhǎng)方體、直三棱柱、正三棱柱、正四棱錐等特殊幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)律．3．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可證明向量的垂直與平行問(wèn)題，利用向量的夾角公式和距離公式可求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練八])1．下列各組向量中不平行的是()A．a(chǎn)＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)解析：對(duì)D中向量g，h，eq\f(16,－2)＝eq\f(－24,3)≠eq\f(40,5)，故g，h不平行．答案：D2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，則x＝()A．4 B．－4C.eq\f(1,2) D．－6解析：∵a＋b＝(－2,1,3＋x)且(a＋b)⊥c，∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.答案：B3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角的余弦為eq\f(1,9)，則|a|＝()A.eq\f(9,4) B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(3,2) D.eq\r(6)解析：因?yàn)閍·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因?yàn)閍·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝eq\r(2＋λ2)×eq\r(9)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,3)eq\r(2＋λ2)，所以eq\f(1,3)eq\r(2＋λ2