2023學(xué)年完整公開課版本章整合

本章整合專題一專題二專題三專題一

判斷三角形的形狀根據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀,需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型,此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類,三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形;三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.判斷三角形的形狀,一般有以下兩種途徑:將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系,用代數(shù)方法求解;將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系,用三角知識求解,在解三角形時常用的結(jié)論有:專題一專題二專題三(1)在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB;A=B?a=b?sinA=sinB?cosA=cosB;A<B?a<b?sinA<sinB?cosA>cosB.專題一專題二專題三應(yīng)用1若a,b,c是△ABC的三邊,直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相離,則△ABC一定是(

).A.直角三角形 B.等邊三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形提示:由直線與圓相離,得圓心到直線的距離大于半徑,列出關(guān)于a,b,c的不等式,再用余弦定理來確定角的范圍.解析:由直線ax+by+c=0與圓x2+y2=1相離,故角C是鈍角,△ABC是鈍角三角形.答案:D專題一專題二專題三應(yīng)用2在△ABC中,角A,B均為銳角,且cosA>sinB,則△ABC的形狀是(

).A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形提示:借助于正弦定理轉(zhuǎn)化為討論A+B的范圍.答案:C專題一專題二專題三提示:將二倍角化為單角后,有兩個思路:一是完全轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,二是完全轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,然后根據(jù)角或邊的關(guān)系來判斷三角形的形狀.可有以下兩種解法:(方法一)利用正弦定理,將邊化為角.即sin

Ccos

C=sin

Bcos

B,即sin

2C=sin

2B.∵B,C均為△ABC的內(nèi)角,∴2C=2B或2C+2B=180°.∴B=C或B+C=90°.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.專題一專題二專題三即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).∴a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0.∴a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0.∴b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.專題一專題二專題三專題二

正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用以三角形為載體,以正弦定理、余弦定理為工具,以三角恒等變換為手段來考查解三角形問題是近幾年高考中一類熱點(diǎn)題型.在具體解題中,通常交替使用正弦定理、余弦定理,以達(dá)到簡化解題的目的.提示:已知一邊及對角,用正弦定理表示另外兩邊,從而把面積S用另外兩角的三角函數(shù)表示出來,利用三角函數(shù)的有界性求出S的最大值.專題一專題二專題三專題一專題二專題三提示:此題所給題設(shè)條件只有邊長,應(yīng)考慮在假設(shè)BC長為x后,建立關(guān)于x的方程.而正弦定理涉及兩個角,故不可用.此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以BD,DC專題一專題二專題三解設(shè)BC=x,則由D為BC的中點(diǎn),專題一專題二專題三專題三

正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常見的有測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖,把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系),最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化,用哪個定理求解,并進(jìn)行作答,解題時還要注意近似計算的要求.專題一專題二專題三專題一專題二專題三應(yīng)用2如圖是曲柄連桿機(jī)結(jié)構(gòu)的示意圖,當(dāng)曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時,通過連桿AB的傳遞,活塞作往復(fù)運(yùn)動,當(dāng)曲柄在CB0位置時,曲柄和連桿成一條直線,連桿的端點(diǎn)A在A0處.設(shè)連桿AB長為340mm,曲柄CB長為85mm,曲柄自CB0按順時針方向旋轉(zhuǎn)80°,求活塞移動的距離,即連桿的端點(diǎn)A移動的距離A0A.(精確到1mm)專題一專題二專題三提示:因?yàn)锳A0=A0C-AC,又已知A0C=AB+BC=340+85=425(mm),所以只要求出AC的長問題就解決了.在△ABC中,已知兩邊和其中一邊的對角,可由正弦定理求AC.∴AA0=A0C-AC=(AB+BC)-AC≈(340+85)-344.3=80.7≈81(mm),即活塞移動的距離約為81

mm.12345671(2016·全國乙高考)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知

解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故選D.答案:D1234567解析:(方法1)設(shè)BC邊上的高為AD,則BC=3AD.結(jié)合題意知BD=AD,DC=2AD,1234567(方法2)如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的高,答案:C12345673(2016·上海高考)已知△ABC的三邊長分別為3,5,7,則該三角形的外接圓半徑等于

.

123456712345675(2016·全國乙高考)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;解(1)由已知及正弦定理得,2cos

C(sin

Acos

B+sin

Bcos

A)=sin

C,即2cos

Csin(A+B)=sin

C.故2sin

Ccos

C=sin

C.1234567由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos

C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.12345676(2015·課標(biāo)全國Ⅰ高考)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;解(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.(2)由(1)知b2=2ac.因?yàn)锽=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.所以△ABC的面積為1.12345677(2015·課標(biāo)全國Ⅱ高考)在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,△ABD面積是△ADC面積的2倍.因?yàn)镾△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.1234567(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC