適用于老高考舊教材廣西專(zhuān)版2023屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第二部分4.2數(shù)列的通項(xiàng)與求和課件理

4.2數(shù)列的通項(xiàng)與求和專(zhuān)題四內(nèi)容索引0102考情分析?備考定向高頻考點(diǎn)?探究突破03預(yù)測(cè)演練?鞏固提升考情分析?備考定向試題統(tǒng)計(jì)題型命題規(guī)律復(fù)習(xí)策略(2018全國(guó)Ⅰ,理14)(2019全國(guó)Ⅱ,理19)(2020全國(guó)Ⅰ,理17)(2020全國(guó)Ⅲ,理17)(2021全國(guó)乙,理19)填空題解答題數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考中對(duì)數(shù)列考查的又一個(gè)重點(diǎn),主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式以及通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列求和.數(shù)列求和常與函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系在一起,在考查基本運(yùn)算、基本能力的基礎(chǔ)上,又注意考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.在熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)上,對(duì)經(jīng)常考查的題型進(jìn)行針對(duì)訓(xùn)練,重點(diǎn)是通過(guò)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列后求通項(xiàng)公式.非等差(比)數(shù)列的求和問(wèn)題經(jīng)常用到分組轉(zhuǎn)化法求和、裂項(xiàng)相消法求和、錯(cuò)位相減法求和等.難度不宜過(guò)大,以中低檔題為主.高頻考點(diǎn)?探究突破命題熱點(diǎn)一由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)【思考】

由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)的常用的方法有哪些?例1根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:(3)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1).∵a1=1,∴a1+1=2,an+1≠0,∴an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1.題后反思由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本思想是轉(zhuǎn)化,常用的方法:(1)an+1-an=f(n)型,采用疊加法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:(3)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+n+1)-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.命題熱點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和【思考】

在裂項(xiàng)相消法中,裂項(xiàng)的基本思想是什么?例2設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a3=-4,且a2,a1,a3成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解:

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).因?yàn)閍2,a1,a3成等比數(shù)列,所以

=a2a3,即(a3-2d)2=(a3-d)a3,又a3=-4,d≠0,所以d=-3,所以an=a3+(n-3)d=-3n+5.題后反思裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成an=bn+k-bn(k∈N*)的形式,從而達(dá)到在求和時(shí)絕大多數(shù)項(xiàng)相消的目的,要注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).將通項(xiàng)裂項(xiàng)后,有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差與系數(shù)之積等于原通項(xiàng).所以數(shù)列{bn}是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.命題熱點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和【思考】

具有什么特點(diǎn)的數(shù)列適合用錯(cuò)位相減法求和?例3設(shè){an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.證明:Tn<.(1)解:

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1,3a2,9a3成等差數(shù)列,題后反思如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn時(shí)一般采用錯(cuò)位相減法,即和式兩邊同乘等比數(shù)列{bn}的公比q(q≠1),然后作差求解.應(yīng)注意:(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型,特別是等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形.(2)在寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí),應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式.(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2022廣西柳州二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=2,點(diǎn)(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=2nan,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.(2)解:

由(1)可知

=2+(n-1)×(-1)=-n+3,∴Sn=-n2+3n,∴當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-1+3=2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)n=1時(shí)也成立.∴an=-2n+4(n∈N*).∵Tn=b1+b2+…+bn-1+bn,bn=2nan,∴Tn=2·21+0·22-2·23-4·24+…+(4-2n)·2n,∴2Tn=2·22+0·23-2·24-4·25+…+(4-2n)·2n+1,∴-Tn=2·21-2·22-2·23-2·24-…-2·2n-(4-2n)·2n+1,∴Tn=(3-n)·2n+2-12.預(yù)測(cè)演練?鞏固提升1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-4n+1,則|a1|+|a2|+…+|a10|的值為(

)A.61 B.65 C.67 D.68C解析:

當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=-2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5,根據(jù)通項(xiàng)公式,得a1<a2<0<a3<a4<…<a10,故|a1|+|a2|+…+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+a10)=S10-2S2=(102-4×10+1)-2(22-4×2+1)=67.2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,{Sn+nan}為常數(shù)列,則an=(

)B解析:

∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,∴S1+1×a1=1+1=2.∵{Sn+nan}為常數(shù)列,∴Sn+nan=2.3.(2022廣西柳州三模)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,其前n項(xiàng)和為Sn,若Sn+1=2Sn+1,則a5=

.

16解析:

由題設(shè),可得an+1=Sn+1,則an=Sn-1+1(n≥2),所以an+1-an=Sn-Sn-1=an(n≥2),所以an+1=2an(n≥2),又a1=1,則a2=S1+1=2=2a1,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n-1,故a5=16.4.已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2=3,S5=25.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;解:

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.所以a3=5.又a2=3,所以d=a3-a2=2,a1=a2-d=1.所以an=1