適用于老高考舊教材廣西專版2023屆高考數(shù)學二輪總復習第一部分二分類討論思想課件理

二、分類討論思想第一部分內(nèi)容索引0102思想方法?聚焦詮釋高頻考點?探究突破03預測演練?鞏固提升思想方法?聚焦詮釋【高考命題聚焦】

從近五年的高考試題來看,分類討論思想在高考試題中頻繁出現(xiàn),已成為高考數(shù)學試題的一個熱點,也是高考的難點.高考中經(jīng)常會有幾道題,解題思路直接依賴于分類討論,特別在解答題中(尤其是導數(shù)與函數(shù))常有一道分類求解的壓軸題,選擇題、填空題也會出現(xiàn)不同情形的分類討論題.【思想方法詮釋】

1.分類討論思想的含義分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時,需要把研究對象按某個標準分類,然后對每一類分別研究,得出每一類的結論,最后綜合各類結果得到整個問題的答案.對問題實行分類,分類標準等于是增加的一個已知條件,實現(xiàn)了有效增設,將大問題分解為小問題,優(yōu)化了解題思路,降低了問題難度.2.分類討論思想在解題中的應用(1)由數(shù)學概念引起的分類討論.(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論.(3)由數(shù)學運算要求引起的分類討論.(4)由圖形的不確定性引起的分類討論.(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論.(6)由實際意義引起的分類討論,特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用.高頻考點?探究突破命題熱點一根據(jù)數(shù)學概念的分類討論【思考】

在中學數(shù)學中,哪些概念會引起分類討論?例1(2022江蘇南京三模)已知f(x)=若對任意x≥1,f(x+2m)+mf(x)>0,求實數(shù)m的取值范圍.解:

當m≥0時,對任意x≥1,f(x+2m)+mf(x)=(x+2m)2+mx2>0,符合題意;當m<0時,對任意x≥1,f(x+2m)+mf(x)>0,題后反思有許多核心的數(shù)學概念是分類的,由數(shù)學概念引起的分類討論,如絕對值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.解:

(1)當n=1時,a1=4.an=4n(n≥2),又a1=4也滿足上式,所以an=4n(n∈N*).命題熱點二根據(jù)運算、定理、公式進行的分類討論【思考】

哪些運算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件會引起分類討論?例2設直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB的中點,若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是(

)A.(1,3) B.(1,4)C.(2,3) D.(2,4)D解析:

如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).題后反思1.在中學數(shù)學中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式在不同的條件下有不同的結論,或者在一定的限制條件下才成立,應根據(jù)題目條件確定是否需要進行分類討論.2.有些分類討論的問題是由運算的需要引發(fā)的.比如除法運算中除數(shù)能否為零的討論;解方程及不等式時,兩邊同乘一個數(shù)是否為零,是正數(shù),還是負數(shù)的討論;二次方程運算中對兩根大小的討論;求函數(shù)的單調(diào)性時,導數(shù)正負的討論;排序問題;差值比較中的差的正負的討論;有關去絕對值或根號問題中等價變形引發(fā)的討論等.對點訓練2(2022廣西柳州模擬)設數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n項和為Sn,則S120=(

)A.-60 B.-120C.180 D.240D命題熱點三根據(jù)圖形位置或形狀變動分類討論【思考】

由圖形位置或形狀變動引發(fā)的討論有哪些?例3若x,y滿足

當3≤s≤5時,則z=3x+2y的最大值的取值范圍是(

)A.[6,15] B.[7,15]C.[6,8] D.[7,8]D如圖,可得A(2,0),B(4-s,2s-4),C(0,s),C'(0,4).①當3≤s<4時,不等式組所表示的可行域是四邊形OABC及其內(nèi)部,此時z=3x+2y在點B處取得最大值,且zmax=3(4-s)+2(2s-4)=s+4,由3≤s<4,得7≤zmax<8.②當4≤s≤5時,不等式組所表示的可行域是△OAC'及其內(nèi)部,此時z=3x+2y在點C'處取得最大值,且zmax=8.綜上①②可知,z=3x+2y的最大值的變化范圍是[7,8].題后反思一般由圖形的位置或形狀變動引發(fā)的討論包括:二次函數(shù)的圖象的對稱軸位置的變動;函數(shù)問題中區(qū)間的變動;函數(shù)圖象形狀的變動;直線由斜率引起的位置變動;圓錐曲線由焦點引起的位置變動或由離心率引起的形狀變動;立體幾何中點、線、面的位置變動等.命題熱點四根據(jù)參數(shù)的取值情況分類討論【思考】

題目中含有參數(shù)的分類討論問題主要有哪些?求解的一般思路是什么?例4(2022廣西南寧三中一模)已知函數(shù)f(x)=ex-2ax.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當a=1時,求函數(shù)g(x)=f(x)-cosx

在區(qū)間

上的零點個數(shù).解:

(1)∵f(x)=ex-2ax,∴f'(x)=ex-2a.當a≤0時,f'(x)>0恒成立,則f(x)在R上單調(diào)遞增;當a>0時,令f'(x)=0,解得x=ln

2a,當x∈(-∞,ln

2a)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(ln

2a,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當a≤0時,f(x)在R上單調(diào)遞增;當a>0時,f(x)在區(qū)間(-∞,ln

2a)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(ln

2a,+∞)上單調(diào)遞增.題后反思含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.求解這類問題的一般思路是:結合參數(shù)的意義及參數(shù)對結果的影響進行分類討論.討論時,應全面分析參數(shù)變化引起結論的變化情況,參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結合思想.對點訓練4已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值;(2)若過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍.設g(x)=4x3-6x2+t+3,則“過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同的零點”,g'(x)=12x2-12x=12x(x-1),g(x)與g'(x)的變化情況如下:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗t+3↘t+1↗所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值,當g(0)=t+3≤0,即t≤-3時,g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點,當g(1)=t+1≥0,即t≥-1時,g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.當g(0)>0,且g(1)<0,即-3<t<-1時,因為g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1個零點,由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個零點.綜上可知,當過點P(1,t)存在三條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).預測演練?鞏固提升CD所以g'(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則g(x)>g(1)=1-2a.所以g'(x)>0.所以g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則g(x)>g(1)=1-2a.當1-2a≥0時,g(x)>0,則f'(x)>0,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)>f(1)=0,所以f(x)在區(qū)間(1,+∞)上沒有零點.當1-2a<0,即a>時,因為g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,則存在唯一的x0∈(1,+∞),使得g(x0)=0,且當x∈(1,x0)時,g(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,g(x)>0,所以當x∈(1,x0)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當x=x0時,f(x)取得最小值f(x0).因為f(x0)<f(1)=0,當x趨于+∞時,f(x)趨于+∞.所以當x∈(x0,+∞)時,f(x)一定存在一個零點.3.(2022廣西防城港模擬)已知一圓柱的側面展開圖是長12cm,寬8cm的矩形,則這個圓柱的體積為

.

4.(2022廣西百色高中檢測)已知函數(shù)f(x)=2sinωx在區(qū)間[-]上的最小值為-2,則ω的取值范圍是

.

5.(2022廣西玉林模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1).(1)當a=1時,求f(x)的極值;(2)當x∈(0,1]時,f(x)≤-lnx,求a的取值范圍.當0<x<1時,f'(x)>0,當x>1時,