學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的體會

淺談復(fù)變函數(shù)在平面靜電場中的應(yīng)用系別：電氣與電子工程系專業(yè)：電氣工程及其自動(dòng)化班級：0912091學(xué)號：091209151姓名：許志強(qiáng)摘要復(fù)變函數(shù)理論推動(dòng)了許多學(xué)科的開展，在解決某些實(shí)際問題中也是強(qiáng)有力的工具，它的根底內(nèi)容已成為理工科很多專業(yè)的必修課程。復(fù)變函數(shù)的主要內(nèi)容包括復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射。在電磁學(xué)中，我們對電場的問題總是在一個(gè)三維的空間進(jìn)行討論，而電場中諸多的對稱性讓我們想到在一個(gè)剖切面進(jìn)行考慮問題，復(fù)變函數(shù)有時(shí)在平面解決問題的一個(gè)很好的工具。本文正是把電場中的問題變換成復(fù)變函數(shù)模型，進(jìn)而進(jìn)行分析。關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)工具電磁學(xué)模型電場中的一些問題化為復(fù)變函數(shù)模型般的平面靜電場，我們選取一個(gè)有代表性的平面作為z平面，設(shè)D是電場中的一大單連通區(qū)域，如果D內(nèi)每一點(diǎn)電場強(qiáng)度的散度：(1)以C表示一光滑曲線，Ω是D所圍的有界區(qū)域，且由格林公式：上式表示沿閉曲線C的電通量，確定單值函數(shù)：(2)稱為電場的力函數(shù)，等值線Φ〔x、y〕=a〔常數(shù)〕叫電力線電場的旋度:(3)類似有：上式表示沿閉曲線C所作的功，確定單值函數(shù):(4)Φ〔x、y〕稱為電場的勢函數(shù)，其等值線Φ〔x、y〕=b〔常數(shù)〕叫電勢線。由(1)(3)得(5)滿足C-R方程，故是D內(nèi)的全純函數(shù)同理，復(fù)勢是D內(nèi)的全純函數(shù)且知f(z)與E滿足如下關(guān)系:(6)應(yīng)當(dāng)指出:在多連同區(qū)域內(nèi),復(fù)勢可能是一個(gè)多值函數(shù),對于此區(qū)域內(nèi)任意一條光滑曲線C,有(7)其中ГQ分別是平面靜電場沿C的所做的功與電通量.2簡單初等函數(shù)表示平面靜電場的幾個(gè)例子〔一〕考慮一足夠長(可以看成無限長)的均勻帶電直線所產(chǎn)生的電場,以λ表電荷的線密度,任取垂直于的一個(gè)平面為平面,且原點(diǎn)在平面上,現(xiàn)來求此平面靜電場的電場強(qiáng)度和復(fù)勢.分析如下:庫倫定理知，點(diǎn)電荷q在相距其r處產(chǎn)生的電場:那么此題中:其中λ是點(diǎn)電荷的線密度，dh是直線上的長度微元，是真空介電常數(shù),所以，|dE|在z平面的投影為:推出由于E的方向與z相同，其單位向量為所以電場強(qiáng)度E的初等復(fù)變函數(shù)的表示為:(8)而根據(jù)(6)復(fù)勢為：(9)〔常數(shù)〕表示電力線(虛線)為勢函數(shù).表示等勢線〔實(shí)線〕.〔如下列圖所示〕以C表示一原點(diǎn)為中心的一個(gè)圓周,那么由(7)式得令，那么即易知:因此,該點(diǎn)電荷C的環(huán)量為0,沿C的電通量為這與電場的環(huán)路定理和高斯定理相吻合.(二)在Z平面的點(diǎn)..…處分別有電量為……的點(diǎn)電荷.求這些點(diǎn)電荷所形成的電場的電場強(qiáng)度和復(fù)勢.分析如下:由上計(jì)算知：根據(jù)電路的疊加原理,上述電荷所組成的電場的電場強(qiáng)度為:復(fù)勢為：當(dāng)〔即電偶極子〕，且在的點(diǎn)電荷的電量為，那么由這兩異性的點(diǎn)電荷所形成的復(fù)勢為：而力函數(shù)當(dāng)(a為常數(shù))，電力線是經(jīng)過的圓周又勢函數(shù)當(dāng)b為常數(shù)〕，等勢線是以為對稱的圓周.〔見下列圖〕3.用復(fù)變的方法處理靜電場的具體問題---平行板電容器所形成的電場.考慮在平行板電容器內(nèi)部,而不是兩端附近的靜電場,那么可以近似的把電場看成是均勻的.在兩端附近是不均勻的.但我們考慮一端附近的靜電場,可以忽略另一端的影響,那么可以把平行板電容器表示成兩個(gè)半平面的形狀,下列圖就是垂直與一平行板的剖面圖.以表示平行板間的距離2h,又設(shè)它們的電勢分別為正負(fù)b〔b大于0〕因此,要求出此平面靜電場的復(fù)勢,只有解如下邊值問題.即上圖中所示區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù),使它滿足邊界條件：且使實(shí)際上,這只要找出區(qū)域D到W平面上寬為2b的帶形區(qū)域G的共形映射〔見下列圖〕這樣我們就找到了從映射G到D的單葉解析函數(shù)：將上式分成實(shí)部和虛部得：分別在上式中取Φ=b常數(shù)，與ψ=a常數(shù)，便得電力線和等勢線的參數(shù)方程由上式及(6)還求的電場強(qiáng)度：在此平行板電容器的內(nèi)部,即z接近A點(diǎn)，又w接近，故電場強(qiáng)度也就是接近勻強(qiáng)電場.當(dāng)z在平行板電容器一端附近,即接近B或E時(shí)E趨于。上式的E值反映了電容器所形成的電場強(qiáng)度的大小情況.參考文獻(xiàn)西安交大，復(fù)變函數(shù)，第四版，高等教育出版社張玉民,戚伯云,電磁學(xué).科學(xué)出版社—中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社2000鄭建華,復(fù)變函數(shù).清華大學(xué)出版社.2005.1聞國椿,殷慰萍,復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用.首都師范大學(xué)出版社.1999.7總結(jié)本文先把平面靜電場