2023年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷及答案解析

2023年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若集合4={x||x-l|<3},B={x\2x<8},則4nB=()

A.(-2,4)B.(-2,3)C.(0,4)D.(0,3)

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足乙=色，則z的虛部為()

I1—1

A.—2B.-1C.1D.2

3.設(shè)隨機變量f服從正態(tài)分布，f的分布密度曲線如圖所示，若P(fV0)=p,則P(0<f<1)

與D(f)分別為()

A111n11n1

A?2-P>2Bn?p，2C?5-P，aD.p,-

4.已知非零向量區(qū)占滿足|五+方|=|五|-|方I，貝1()

A.\a+b\>\b\B.\a-b\<|a|

C.\a+b\>\a-b\D.(a+b)-(a-b)>0

5.我國古代數(shù)學(xué)名著微書九章》中有“天池盆測雨”題，在下雨時，用一個圓臺形的天

池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中積水的深

度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積)()

A.|寸B.2寸C.襯D.3寸

6.已知函數(shù)/。)=5也(3+》(3>0)的圖象關(guān)于直線”樹稱，且"X)在(0電上沒有最

小值，則3的值為()

A.2B.4C.6D.10

7.設(shè)橢圓弓+4=l(a>b>0)的右焦點為F(c,0),點4(3c,0)在橢圓外，P,Q在橢圓

Qb

上，且P是線段4Q的中點.若直線PQ,PF的斜率之積為一;，則橢圓的離心率為()

A.：B.?C.?D.|

8.已知函數(shù)/；(%)=/一3x,Ai(x)=|/n-i(x)|-l(n>2),則/023(%)的零點個數(shù)為()

A.2023B,2025C.2027D,2029

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.根據(jù)某地3月5日至歸月15日的每天最高氣溫與最低氣溫數(shù)據(jù)(單位：°C)繪制如下折線圖,

A.5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)

B.9號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大

C.最高氣溫的眾數(shù)為27久

D.5號到15號的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大

10.已知函數(shù)f(x)與g(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)與g'(x)的定義域均為R,/(x)是偶函數(shù)，g(x)的圖

象關(guān)于點(1,0)對稱，貝iJ()

A.g[/(一切=B.f[g(3)]=/[g(—1)]

c./g(3)]=-1)]D.5[f(-l)]=5[f(l)]

11.已知SO_L平面a于點0,4,B是平面a上的兩個動點，月/OSA=￡/0S8=[,貝!!()

o4

A.S4與SB所成的角可能為會

B.SA與OB所成的角可能為*

C.s。與平面S4B所成的角可能為?

D.平面SOB與平面SAB的夾角可能為5

12.三支不同的曲線y=af-Ix-lKa,>0,i=1,2,3)交拋物線好=4x于點4,=1,2,3),

F為拋物線的焦點，記△4F島的面積為￡,下列說法正確的是()

11

A?兩+兩（i=123）為定值B.A1BIIA2B2/IA3B3

C.若Si+S2=2s3,則%+a2=2a3D.若S1S2=S3.則口用？=aj

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若函數(shù)y=ax｛a>1）在區(qū)間［1,2］上的最大值與最小值的差為2,則a=.

14.寫出一個半徑為1,且與圓/+y2=i和圓（%一2）2+3-2）2=1均外切的圓的方程

15.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進

行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈“1-4-2-1”.這就是數(shù)學(xué)史上著名

的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）.如取正整數(shù)m=6,根據(jù)上述運算法則得出6-3T

10r5Tl67874T2-1,共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.猜想的遞推關(guān)

系如下：已知數(shù)列｛〃｝滿足的=m（m為正整數(shù)），an+1=2即為偶數(shù)’若=2,則

3an+1,當即為奇數(shù).

m所有可能取值的集合為.

16.正四面體ABCD的棱長為3,P在棱4B上，且滿足匐=3前，記四面體ABCD的內(nèi)切球

為球。1，四面體PBCD的外接球為球。2，則|01。2|=.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

在AABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a—6=b—c=l.

（I）若&=4,求sinA；

（II）若△ABC的最大角為最小角的2倍，求a的值.

18.（本小題12.0分）

盲盒，是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機屬性.某品牌推出2款盲

盒套餐，4款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，

有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X.為避免盲目購買與黃牛囤積，每人每天只能購買1件盲盒套餐.

開售第二日，銷售門店對80名購買了套餐的消費者進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

4款盲盒套餐B款盲盒套餐合計

年齡低于30歲183048

年齡不低于30歲221032

合計404080

(I)根據(jù)2x2列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為4B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；

(II)甲、乙、丙三人每人購買1件B款盲盒套餐，記隨機變量f為其中隱藏款X的個數(shù)，求f的

分布列和數(shù)學(xué)期望：

(山)某消費者在開售首日與次日分別購買了4款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品

全部打亂放在一起，從中隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,求該隱藏款來自于8款盲盒套

餐的概率.

2

附:依飛+盛篇篇3+?其中-a+b+c+d,

P(K2>k0)0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.6350.828

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，平面PAD1平面4BCD,平面PAB_L平面48C0.

(I)求證：PA1平面4BCD；

(II)設(shè)24=4。=2AB=2,AB14D,4D〃BC,平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為誓,

求BC的長.

20.(本小題12.0分)

已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和土滿足即+i=S.+l(n6N*).

(I)求首項由的值及｛a"的通項公式；

2+1

(口)設(shè)b=log2°".(neN*),求滿足與-bn<2023的最大正整數(shù)n的值.

Z222“

21.(本小題12.0分)

22

已知雙曲線E：a―5=1,點。(0,2)與雙曲線上的點的距離的最小值為，口.

(1)求雙曲線后的方程；

(II)直線2：y=依+m與圓C：x2+(y+2)2=1相切，且交雙曲線E的左、右支于4B兩點，

交漸近線于點記的面積分別為當割寸，求直線/的方

M,N.A/MB,AOMNSi，S2,S1-4s2=

程.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=Inx—ax2.

(I)討論函數(shù)/?(%)的單調(diào)性：

(口)若xi，必是方程〃為=0的兩不等實根,求證:

(i)%i+好>2e；

(igg>J白

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由|x—11<3,得—3<x—1<3,即—2<x<4,

.-.A={x||x-l|<3]=(-2,4),

由2*<8,得x<3,

B={x\2x<8]=(-oo,3),

AC\B=(-2,3).

故選：B.

求解不等式化簡4與B,再由交集運算的定義得答案.

本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：-=

I1—1

則z=9乎=晉=箔霸=-1+2。其虛部為2.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，且P(f<0)=p,則P(0<f<l)=^f=g-p,

由正態(tài)曲線得f?N(L《)2)，所以。&)=；.

故選：C.

根據(jù)題意和正態(tài)曲線即可求得P(0<f<1),又根據(jù)正態(tài)曲線可得f?N(l,?)2),進而即可求得

0(0-

本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：??,|方+9|=|五||b|,

.-.(a+by>(\a\-\b\y，

_2—>2_—>_2—2_—>

a+b+2a-b=a+b-2|a||b|>

?■a-b=~\a.\\b\<(a+b)2—b=a2+2a-b=a2—2\a.\\b\<^\^\—\b\^>(a+b~)2<片'

|a+/?|<|h|>A錯誤;

(a—b)2—a2=b—2a-b=b+2|a||6|>0>|a—ft|>|a|?B錯誤；

(a+b)2-(a-b)2=4a-b=-4\a\\b\<0，\a+b\<\a-bC錯誤；

VIa+KI=IaI-IhI>0>IaI>IKa2>b2>(a+K)-(a-b)=a2-K2>0>正確.

故選：D.

對|W+3|=|硝-訪|兩邊平方，進行數(shù)量積的運算可得出五不=-1五||31，然后可得出：(a+

by-b2=a2-2\a\\b\>同=|可時，\a+b\<\b\,從而可判斷出4的正誤;(a-b')2-a2=

b2+2\a\\b\>0>從而可判斷出8的正誤；0+E)2-m-B)2=4五4=一4|方從而

可判斷出C的正誤；根據(jù)|磯一面20得出片一方2NO,從而可判斷出。的正誤.

本題考查了向量數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為18寸，下底面半徑為6

寸，高為18寸.

???積水深9寸，

??.水面半徑為*18+6)=12寸，

則盆中水的體積為q兀x9(62+122+6x12)=7567r(立方寸).

???平地降雨量等于翳="寸)?

故選：C.

由題意求得盆中水的上地面半徑，代入圓臺體積公式求得水的體積，除以盆口面積得答案.

本題考查柱、錐、臺體的體積求法，正確理解題意是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：?.?函數(shù)/0)=5叭5+覆3>0)的圖象關(guān)于直線％=酎寸稱，:3X2+弓=/￡兀+今

4-O04-L

kez,

即3=8k+2,k&Z.

在(0,看)上沒有最小值，+詈+》，.?.詈+韓等J.3W理

綜合可得，3=2.

故選：/.

由題意，利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性和最小值，求出3的值.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：取P,Q的中點為M,連接OM,PF,

則由題意可得，\PA\=2\PM\,\AF\=2\F0\,

所以△APF-AAM。，所以PF〃M。，

因為直線PQ,PF的斜率之積為一J,

所以kpQ,k()M=T，

設(shè)P(%i%)，＜?(x2,y2),

兩式相減可得Qi+X2)gxi-X2)+%+力爭-y?)=0,

Q//

即職陪斗4,即5

。1+%2)(%1-%2)出“OMa22

所以橢圓的離心率為e

故選：B.

利用中點弦問題，結(jié)合點差法可需寸即可求離心率?

本題考查了橢圓的離心率問題，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：???fn(x)=|—(動-l(n>2),.?.當n>2時,fn(_x)>-1,

%023(%)=0,等價于。022(%)=±1，得1扇021(=1=?；騃式O2100I=2,

得元021(%)=。或七021(%)=2?

由上021(%)=0,得心019(工)=。或心019(%)=2,

由段021(%)=2,得為020(%)1=3,進一步可得力019(%)=4,

，由此023(%)=可得叁019(%)=。或&19(%)=2或4019(%)=4.

依次類推，可得/i(%)=2/c,k=0,1,2,2023.

32

又71(%)=x-3%,Afi(x)=3x—3=3(x+l)(x—1),

可知當％W(-8,-1)乂1,+8)時,Az(x)>0,當工€(—1,1)時，fir(x)<0,

???/(%)的增區(qū)間為(-8,—1),(L+8),減區(qū)間為(-1,1).

X/C-1)=2,/(1)=-2,

???可得方(%)=x3-3%的圖象如圖：

由圖可知，6。）=/一3%的圖象與y=2k,k=0,1,2,2023共有3+2+2022=2027個

交點.

故選：C.

由啟(X)=-1(九22),得當nN2時，a(x)2-1,問題等價于/iO)=-3x與直線

族y=2/c,k=0,1,2,…，2023的交點問題，再由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)左(x)=/一3x的單調(diào)性，作

出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

屬難題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4由折線圖可知，5號到11號的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相

關(guān)，故A正確；

對于氏由折線圖可知，6號的最高氣溫與最低氣溫的差值最大，故B錯誤；

對于C,由折線圖可知，最高氣溫的眾數(shù)為27K,故C正確；

對于。，5號到15號的最低氣溫的極差大約為15-4=11,最高氣溫的極差大約為27-16=11,

故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)折線圖逐個判斷各個選項即可.

本題主要考查了統(tǒng)計圖表的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：選項A,因為f(x)是偶函數(shù)，所以/(一1)=/(1),所以述[/(-1)]=即A正

確；

選項B,因為g(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以以3)=-g(-l),

又/(x)是偶函數(shù)，所以f[g(3)]=f[g(-1)],即B正確；

選項C,因為g(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以g(l+x)=-x),

兩邊求導(dǎo)得，g'(l+x)=g'(l-x),

令x=2,則g'(3)=g'(-l),

所以f[g'(3)]=Hg'(-i)]，即C正確;

選項D,因為/(x)是偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),

兩邊求導(dǎo)得，一[(一x)=/'(x)，

令x=l,則一((一1)=((1)，

因為g(x)不一定是偶函數(shù)，所以=g[f(i)]不一定成立.

故選：ABC.

選項A,由偶函數(shù)的性質(zhì)知/1)=/(1),得解；

選項B易知g(3)=-g(-1),結(jié)合/(x)是偶函數(shù)，得解;

選項C,由函數(shù)g(x)的對稱性知，g(l+x)=-9(1-x),兩邊求導(dǎo)，推出g'(3)=g'(-l),得解;

選項。，由f(—x)=f(x),兩邊求導(dǎo),推出一廣(一1)=/(1),而g(x)不一定是偶函數(shù),得解.

本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的運算法則，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】AC

【解析】解：如圖，?：40S4=INOSB=p???^SAO=

△SB。=%且。4<OB.

對于4,當B位于線段OB上時，S4與SB所成角最小，為各

當B位于線段8。的延長線上時，S4與SB所成角最小，為患，

可得S4與S8所成的角的范圍為哈,工］,故A正確；

對于8,S4與平面a所成角為或即SA與平面a所有直線所成角的最小值為梟

則S4與。8所成的角不可能為土故8錯誤；

對于C,由已知可得04<0B,在AAOB中，有4OBZ為銳角，過。作AB所在直線的垂線0D,

連接SD,則SO在平面SAB上的射影落在SD上，即NOSD為SO與平面S4B所成的角，

可知NS。。>NSB。=，則4OSD<S即S。與平面SAB所成的角可能為為故C正確；

對于D,若平面SOB與平面S4B的夾角為看過4作AE1SB,垂足為E,貝必IE_L平面SOB,

■■.AEISO,又SO_LAB,可得4B〃4E,這與4BnHE=4矛盾，故。錯誤.

故選：AC.

由題意畫出圖形，結(jié)合己知可得4s4。=a4sB0=：,月.04<。8,然后結(jié)合線面角、二面角的

定義，以及三角形中大邊對大角逐一分析四個選項得答案.

本題考查空間角的大小比較，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：如圖，設(shè)直線y=a^x-1）與拋物線y2=4x的交于點G，則4與G關(guān)于x軸對稱,

4

則%+丫2=彳％、2=-4,

又y=a^x-1),

則為+%=-1)+aj(x-1)=-,yiy=碎(右-1)(生-1)=-4,

2ul2

則+%2=2C：；4,%]Q=1，

對于4F(1,O),

]I1_]I]=X1+-2+2_虜

故A正確;

F4I|F8j|%1+1切+1%1+%2+必工2+12年+4?]?]

k=為+為=為+乃=4=4=」

對于B,"向犯一打d_dJd+匕）2_4一聲,

因為《不是定值，所以心出不是定值，故8錯誤；

對于C,設(shè)直線y=%（x-l）的傾斜角為4，則tan%=aj,則sin2/=篇黑禽=者需

2a（

1+ap

所以Si=期/|舊閔5譏2a=如1+1）3+1）=如62+%1+次+1）-7^2=

乙乙1十CtjL1-rUj

/4（空+i+D=上

1+afvof田

44R

又因SI+52=2S3，所以曲+%=瓦，所以2（%+用）=。3，故C錯誤；

4416

對于D,因為SiSz=S2所以后■?1■=/■，所以。1"2=運，故D正確.

故選：AD.

設(shè)直線y=-1）與拋物線y2=4%的交于點Q,Br則4與G關(guān)于%軸對稱，設(shè)4（%1，-%），

為。2,%），則1（%,為）,聯(lián)立［A：。普一0，利用韋達定理求得力+y2，y，2,進而可求得小+冷，

X1X2,結(jié)合焦半徑公式即可判斷4判斷心聲i是否為定值即可判斷B；求出Si，即可判斷CD.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】2

【解析】解：函數(shù)y=ax（a>1）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，

所以小-a=2,

解得Q=-1或2,

又Ta>1,

**?（Z—2.

故答案為：2.

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】（x-2）2+y2=1或/+（y—2）2=1

【解析】解：設(shè)圓的方程為（x—a）2+（y-b）2=l,

由于該圓與圓/+y2=1和圓（x-2）2+（y-2/=1均外切，

故（。-2尸+（b-2/=2，解得｛：=；或償=：-

Ua?+爐=23=03=2

故圓的方程為（久—2）2+y2=1或M+（y-2）2=1.

故答案為：（X-2產(chǎn)+y2=1或/+⑶-2產(chǎn)=1.

直接利用兩圓的位置關(guān)系建立方程組，進一步求出圓的方程.

本題考查的知識要點：圓的方程的求法，兩點間的距離公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能

力，屬于中檔題.

15.【答案】{1,8,10,64}

【解析】解：若。6=2,則=4,則。4=8或&4=1,

當&4=8時,則a?=16,則a2=32或a2=5,則的=64或a1=10；

當。4=1時，則。3=2或=°（舍），若。3=2,則。2=4,則%=8或%=1;

即m所有可能取值的集合為｛1,8,10,64｝.

故答案為：｛1,8,10,64）.

根據(jù)遞推公式逆向?qū)ふ医Y(jié)果即可.

本題考查歸納推理和數(shù)列遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】?

【解析】解：如圖，設(shè)點H為△BCD的中心，則4HJ?平面BCD,連接BH,并延長BH交CD于點E,

則點E為C。的中點，\BH\=~\BE\,則四面體ABCD的內(nèi)切球的球心。1在4H上，

且四面體PBCD的外接球的球心。2在上，設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r,

\BE\=~，\BH\=l\BE\=>Tl,\AH\=y/~6,則以“CD=口X；X3X3X?X0=亨，

乂匕-BCD=%1-BCO++^Or-ACD+%I-AB。，

則：x4x[x3x3x?.r=手，解得「=字，即|。擔|=冬，

32244ill4

由四面體PBCD的外接球的球心。2在4H上，得102Pl=\OZB\,

記BP的中點為M,則02MlBP,|4M|=?,

cos/BAHI==需=?，所以|4。2|=亨，則|。2"=?，所以|。1。2|=?。

故答案為：?.

設(shè)點”為△8CD的中心，四面體4BCD的內(nèi)切球的球心。1在4H上，且四面體PBCD的外接球的球心

。2在4H上，利用等體積法求出四面體ABC。的內(nèi)切球的半徑，根據(jù)比例關(guān)系求出|4。21，得出1。2小，

即可得解.

本題考查幾何體的內(nèi)切球，外接球問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(/)當。=4時，b=3,c=2,在△ABC中，由余弦定理，得cosA='區(qū)一)

2bc

9+4-16__1

2x3x2"_一"

所以sin/=V1—COS2J4==身；

4

(II)由已知，最大角為角4最小角為角C,即4=2C,

由正弦定理得2=%=嗎=2恒5(?,即2cosc=2，

cstnCsinec

又c°sc=立七，所以烏=貯±七，

2ab2c2ab

將匕=a—1,c=a—2代入上式得出伍—1)=(a+3)(a—l)(a—2),

解得a=6.

【解析】(I)在△ABC中，由余弦定理求得cosZ,即可求解sizM；

(II)由已知，最大角為角4最小角為角C,即/=2C,利用正弦定理和余弦定理即可求解.

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)零假設(shè)為：%：A,8款盲盒套餐的選擇與年齡之間無關(guān)聯(lián)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得K2=80(18X10-30X22)=7s＞6,6351

48x32x40x40

根據(jù)小概率值心=0.01的獨立性檢驗，推斷Ho不成立，

即有99%的把握認為48款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；

(n)f的所有可能取值為0,1,2,3,

%=0)=C照＞=看％=1)=C照尸二|,P(f=2)=呢＞=|,p(f=3)=c泊3=1,

所以f的分布列為：

0123

P1331

8888

f(O=0xi+lx|+2x|+3xi=|^(F(n=3x1=1)；

(HI)設(shè)事件/：隨機抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X,

設(shè)事件當：隨機抽取的1件單品來自于4款盲盒套餐,

設(shè)事件為：隨機抽取的1件單品來自于B款盲盒套餐,

P(4)=P(B)P⑷BJ+P(B2)-P(A\B2)=泊+I.剎=；,

故由條件概率公式可得

P(%|4)=需==—

44

【解析】(I)根據(jù)獨立性檢驗計算K2,再進行判斷即可：

(n)根據(jù)二項分布的概率公式，進行計算得分布列及數(shù)學(xué)期望即可；

(皿)根據(jù)全概率公式及條件概率公式分析計算即可.

本題考查了獨立性檢驗和離散型隨機變量的分布列馬期望，屬于中檔題.

19.【答案】(I)證明：在平面4BCC內(nèi)任取一點G(不在直線4B

與直線上)，

過G分別作4D、4B的垂線GE、GF,

已知平面P4D平面4BC。，平面24B_1_平面486,

由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得，651平面/?40,GF1平

面P4B,

則GEJLPA,GF1PA,而GEnGF=G,則PA1平面4BCD；

(II)解：由(I)知，PAJ?平面4BCD,又AB_LA。，

以4為坐標原點，分別以48、DA,4P所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.

由已知得：P(0,0,2),B(1,O,O),D(0,-2,0),設(shè)BC=m,

則C(l,m,0),

PB=(1,0,-2).PC=(1,-7n,-2)，PD=(0,-2,-2).

設(shè)平面PBC與平面PDC的一個法向量分別為i?=(Xi，yi，zj,v=(x2,y2,z2),

u-PB=X1-2Z]=0

由,取=2,得過=(2,0,1);

ju-PC=x1-myt—2zi=0

v-PC=x—my—2Z—0

由222,取Z2=1,Wv=(2-m,-1,1).

jv-PD——2y2—2Z2=0

???平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為平,

|4-2m+l|_2n

.-.|coS<u,v>|=^i=

\T5xJ(2-m)2+25>

解得；m=^.

即BC的長為"

【解析】(I)在平面ABCD內(nèi)任取一點G(不在直線AB與直線4。上)，過G分別作AD、4B的垂線GE、

GF,由已知結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)可得GE1平面PAD,GF_L平面P4B,得到GE1P4GF1

PA,貝lJP4_1_平面4BCD；

(II)由(I)知，P4J_平面4BC0,又4B1AD,以4為坐標原點，分別以4B、DA,4P所在直線為X、

y、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)BC=m,

則C(l,一小,0),然后分別求出平面PBC與平面PDC的一個法向量，再由平面PBC與平面PCD的夾

角的余弦值為甲列式求解m值，則答案可求.

本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間

角，是中檔題.

.【答案】：

20W(I)'--an+i=S.+l(n6N*),

：

?an=S71T+l(n>2),

aa=aa(

?**n+l~nn??'tn+l=2an,H>2),

,??數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，??公比

an?q=2,

又=S]+1,**?2。]—Q]+1,Q1—1,

??n；

?an=2t

(11)由(1)知02n=22nT,.?Jog2a2n=2,-1,

—lo^2^2^+^一/0。2(@2'022.....02”)

=2n+1-1-(2+22+…+2n—n)

=2n+1+n-1-2(：t)=7i+l,

1—Z

■■■

an—bn<2023,

271-1-(n+1)<2023,

?112n-1-n<2024,設(shè)/'(n)=2n-1-n,

f(n+l)-/(n)=2n-(n+1)-2時1+n=2n-1-1,

???當nN2時，/(n)單調(diào)遞增，又/(l)="2)=0,

又/'(11)=210-11=1013<2024,

/(12)=2n-12=2036>2024,

.??滿足題意的最大正整數(shù)"為11.

【解析】(I)先根據(jù)題意求出公比q=2,從而可求出的=1,從而可得｛a“｝的通項公式；

(II)先根據(jù)(I)求出%=幾+1，再根據(jù)題意解不等式，即可求解.

本題考查等比數(shù)列的通項公式的求解，利用數(shù)列的單調(diào)性求解不等式問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中

檔題.

21.【答案】解：(I)設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任意一點，

貝!J|OP|2=%2+(y—2)2=2y2—4y+4+a2=2(y—l)2+

2+a2,

所以當y=1時，|DP『的最小值為2+a2,所以2+a?=3,

得—1,

所以雙曲線E的方程為——y2=1;

(II)由直線八丫=依+771與圓。：M+(y+2)2=1相切得

由直線交雙曲線的左、右支于4B兩點，設(shè)8(X2,、2)，

聯(lián)立_點二，,消y整理得(1—fc2)x2—2mkx—(m2+1)=0,

22

則4=4(m+1-fc)>0,%!%2=+x2=所以小_次1=":

所以X62=<O即nt?+4m+2<0,WW—2—y/~2<m<—2+y/~2<

1/'kk+-1i=m—z我+4;m二+2

|m+2|_1

又了二?一1‘貝”6+2|21，解得m2—1或m〈一3,

22

所以me(-2-y/~l,-3]U[-1,-2+^),所以|4B|=V1+k-\xx-x2\=V1+/c-

J4(m2+l-k2)

~\i^\

又點D(0,2)到AB的距離幺=-p=,故a=A\AB\d.=0-血二歲

J1+k12111-m￡-4m-2

設(shè)“(％3，為)，N(X4，y4),

聯(lián)立方程組匚/二;，消y整理得(1-/c2)x2-2mkx-m2=0,

則42=4m2,%3+%4=,x4=六P所以1%3-/I=

2

所以|MN|=y/l+k-|x3-X4l=71+H?W，

1-k

,_—m2

又點。到MN的距離也=1靠，故叢=：|MN|d2=二』二，

所以當Si—4s2"時，有(2-嗎丁子_4了V，

整理得(2—m)V—4m-2=^(5m2—8m—4),即(2—m)y/—4m—2=^(5m+2)(m—2),

又mH2,則d—4m—2=?(5m+2),EP200m2+258m4-81=0,解得陽=一［，如=一名(

745U

舍去)，

所以巾=一,，則％=士右所以直線方程為丫=±|工一a

【解析】(I)設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任意一點，先求得|DP|2=2(y—l)2+2+。2,再結(jié)合題意

即可求得的值，進而即可求出雙曲線E的方程；

|m+2|_

(口冼根據(jù)直線嗚圓C相切得到廠q-l,設(shè)｛工21)，8(冷女)，再聯(lián)立直線，的方程和雙曲線

qi+k

E的方程，求得%i%2，+小，根據(jù)題意求得加的取值范圍，設(shè)點。(0,2)到48的距離為由，從而

求得品，再聯(lián)立直線1的方程和雙曲線E的漸近線的方程，求得%3%，的+處，設(shè)點。到MN的距離

為d2,從而求得S2,再結(jié)合S1-4s2=5即可求得化的值，進而即可求得直線1的方程.

本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，屬于難題.

22.【答案】解：(I)/(x)=L—2年=必處，

當a<o時,/'(%)>o,y(%)在(0,+8