江蘇省南京市玄武高級中學2023-2024學年高一上數學期末教學質量檢測試題含解析

江蘇省南京市玄武高級中學2023-2024學年高一上數學期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．已知為第二象限角，則的值是（）A.3 B.C.1 D.2．已知全集，集合，集合，則集合為A. B.C. D.3．已知，點在軸上，，則點的坐標是A. B.C.或 D.4．已知全集，集合，，則?U(A∪B)=A. B.C. D.5．函數的零點一定位于下列哪個區(qū)間（）.A. B.C. D.6．直線l：ax+y﹣3a＝0與曲線y有兩個公共點，則實數a的取值范圍是A.[，] B.（0，）C.[0，） D.（，0）7．設函數的值域為R，則實數a的取值范圍是（）A.(-∞，1] B.[1，+∞)C.(-∞，5] D.[5，+∞)8．已知，則（）A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a9．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為（）A. B.C. D.10．如果冪函數的圖象經過點，則在定義域內A.為增函數 B.為減函數C.有最小值 D.有最大值11．已知，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.12．（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．利用隨機數表法對一個容量為90，編號為00，01，02，…，89的產品進行抽樣檢驗，抽取一個容量為10的樣本，若選定從第2行第3列的數開始向右讀數（下面摘取了隨機數表中的第1行至第5行），根據下圖，讀出的第3個數是___________.14．如圖,在平面直角坐標系中,圓,點,點是圓上的動點,線段的垂直平分線交線段于點,設分別為點的橫坐標,定義函數,給出下列結論:①;②是偶函數;③在定義域上是增函數;④圖象的兩個端點關于圓心對稱;⑤動點到兩定點的距離和是定值.其中正確的是__________15．函數的定義域為______.16．直線關于定點對稱的直線方程是_________三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．如圖，是平面四邊形的對角線，，，且.現在沿所在的直線把折起來，使平面平面，如圖.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.18．定義：若函數的定義域為D，且存在非零常數，對任意，恒成立，則稱為線周期函數，為的線周期.（1）下列函數（其中表示不超過x的最大整數），是線周期函數的是____________（直接填寫序號）；（2）若為線周期函數，其線周期為，求證：為周期函數；（3）若為線周期函數，求的值.19．已知函數f(x)＝2cos.（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）求函數f(x)的最大值及取得最大值時自變量x的取值集合；（3）求函數f(x)的單調增區(qū)間20．已知函數且.（1）若，求的值；（2）若在上的最大值為，求的值.21．如圖，以Ox為始邊作角與，它們的終邊分別與單位圓相交于P，Q兩點，已知點P的坐標為（1）求的值；（2）若，求的值22．如圖，在四棱錐中，底面，，點在線段上，且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，，求四棱錐的體積.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】由為第二象限角，可得，再結合，化簡即可.【詳解】由題意，，因為為第二象限角，所以，所以.故選：C.2、C【解析】,選C3、C【解析】依題意設，根據，解得，所以選.4、C【解析】,,,?U(A∪B)=故答案為C.5、C【解析】根據零點存在性定理可得結果.【詳解】因為函數的圖象連續(xù)不斷，且，，，，根據零點存在性定理可知函數的零點一定位于區(qū)間內.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握零點存在性定理是解題關鍵.6、C【解析】根據直線的點斜式方程可得直線過定點,曲線表示以為圓心,1為半徑的半圓,作出圖形,利用數形結合思想求出兩個極限位置的斜率,即可得解.【詳解】直線,即斜率為且過定點,曲線為以為圓心,1為半徑的半圓,如圖所示,當直線與半圓相切,為切點時(此時直線的傾斜角為鈍角),圓心到直線的距離,,解得,當直線過原點時斜率,即,則直線與半圓有兩個公共點時,實數的取值范圍為:[0，）,故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程與性質,直線與圓的位置關系,考查了數形結合思想的應用,屬于中檔題.7、B【解析】分段函數中，根據對數函數分支y=log2x的值域在(1，+∞)，而函數的值域為R，可知二次函數y=-x2+a的最大值大于等于1，即可求得a的范圍【詳解】x>2時，y=log2x>1∴要使函數的值域為R，則y=-x2+a在x≤2上的最大值a大于等于1即，a≥1故選：B【點睛】本題考查了對數函數的值域，由函數的值域及所得對數函數的值域，判斷二次函數的的值域范圍進而求參數范圍8、A【解析】找中間量0或1進行比較大小，可得結果【詳解】，所以，故選：A.【點睛】此題考查利用對數函數、指數函數的單調性比較大小，屬于基礎題9、A【解析】將平方可得，再利用向量夾角公式可求出.【詳解】，是單位向量，，，，即，即，解得，則向量，夾角的余弦值為.故選：A.10、C【解析】由冪函數的圖象經過點，得到，由此能求出函數的單調性和最值【詳解】解：冪函數的圖象經過點，，解得，，在遞減，在遞增，有最小值，無最大值故選【點睛】本題考查冪函數的概念和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答11、A【解析】直接由對數與指數的互化公式求解即可【詳解】解：由，得，故選：A12、D【解析】根據誘導公式以及特殊角的三角函數值，即可容易求得結果.【詳解】因為.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、75【解析】根據隨機數表法進行抽樣即可.【詳解】從隨機數表的第2行第3列的數開始向右讀數，第一個編號為62，符合；第二個編號為38，符合；第三個編號為97，大于89，應舍去；下一個編號為75，符合.所以讀出的第3個數是：75.故答案為：75.14、③④⑤【解析】對于①，當即軸，線段的垂直平分線交線段于點，顯然不在BD上，所以所以①不對；對于②，由于，不關于原點對稱，所以不可能是偶函數，所以①不對；對于③，由圖形知,點D向右移動,點F也向右移動,在定義域上是增函數，正確；對于④，由圖形知,當D移動到圓A與x軸的左右交點時,分別得到函數圖象的左端點(?7,?3),右端點(5,3),故f(n)圖象的兩個端點關于圓心A(-1,0)對稱，正確;對于⑤，由垂直平分線性質可知，所以，正確.故答案為③④⑤.15、且【解析】由根式函數和分式函數的定義域求解.【詳解】由，解得且，所以函數的定義域為且故答案為：且16、【解析】先求出原直線上一個點關于定點的對稱點，然后用對稱后的直線與原直線平行【詳解】在直線上取點，點關于的對稱點為過與原直線平行的直線方程為，即為對稱后的直線故答案為：三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、(1)見解析；（2）.【解析】（1）由平面平面，平面平面，且平面,且，根據線面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中點，連.由，可得，又平面，所以，又，所以平面，因此就是點到平面的距離，在中，，，所以.試題解析：（1）證明：因為平面平面平面平面，平面,且，所以平面（2）取的中點，連.因為，所以，又平面，所以，又，所以平面，所以就是點到平面的距離，在中，，，所以.所以是點到平面的距離是.【方法點晴】本題主要考查、線面垂直的判定定理及面面垂直的性質定理，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質；（4）利用面面垂直的性質，當兩個平面垂直時，在一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面.18、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）根據新定義逐一判斷即可；（2）根據新定義證明即可；（3）若為線周期函數，則存在非零常數，對任意，都有，可得，解得的值再檢驗即可.【詳解】（1）對于，，所以不是線周期函數，對于，，所以不是線周期函數，對于，，所以是線周期函數；（2）若為線周期函數，其線周期為，則存在非零常數對任意，都有恒成立，因為，所以，所以為周期函數；（3）因為為線周期函數，則存在非零常數，對任意，都有，所以，令，得，令，得，所以，因為，所以，檢驗：當時，，存在非零常數，對任意，，所以為線周期函數，所以：.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是對新定義的理解和應用，以及特殊值解決恒成立問題.19、（1）（2）當時，取得最大值為.（3）【解析】（1）根據三角函數最小正周期公式求得正確答案.（2）根據三角函數最大值的求法求得正確答案.（3）利用整體代入法求得的單調遞增區(qū)間.【小問1詳解】的最小正周期為.【小問2詳解】當時，取得最大值為.【小問3詳解】由，解得，所以的單調遞增區(qū)間為.20、（1）；（2）或.【解析】（1）根據函數奇偶性的定義判斷是奇函數，再由即可求解；（2）討論和時，函數在上的單調性，根據單調性求出最值列方程，解方程可得的值.【小問1詳解】因為的定義域為關于原點對稱，，所以為奇函數，故.【小問2詳解】，若，則單調遞減，單調遞增，可得為減函數，當時，，解得：，符合題意；若，則單調遞增，單調遞減，可得為增函數，當時，解得：，符合題意，綜上所述：的值為或.21、（1）（2）【解析】(1)由三角函數的定義首先求得的值，然后結合二倍角公式和同角三角函數基本關系化簡求解三角函數式的值即可；(2)由題意首先求得的關系，然后結合誘導公式和兩角和差正余弦公式即可求得三角函數式的值.【詳解】（1）由三角函數定義得，，∴原式（2）∵，且，∴，，∴，∴【點睛】本題主要考查三角函數的定義，二倍角公式及其應用，兩角和差正