期中測試卷02（測試范圍：第1-3章）（解析版）

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷02（測試范圍：第1-3章）一、單選題1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為即可得到結(jié)果．【解析】∵二次函數(shù)解析式為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．2．下列事件中，屬于必然事件的是（）A．射擊運(yùn)動員射擊一次，命中10環(huán)B．明天會下雨C．在地球上，拋出去的一塊磚頭會落下D．在一個只裝有紅球的袋中摸出白球【答案】C【分析】根據(jù)必然事件，不可能事件和隨機(jī)事件的定義判斷即可．【解析】解：A、射擊運(yùn)動員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)不符合題意；B、明天會下雨，是隨機(jī)事件，本選項(xiàng)不符合題意；C、在地球上，拋出去的一塊磚頭會落下，是必然事件，本選項(xiàng)符合題意；D、在一個只裝有紅球的袋中摸出白球，是不可能事件，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件，不可能事件和隨機(jī)事件的定義．在數(shù)學(xué)中，我們把在一定條件下一定會發(fā)生的事件叫做必然事件；在一定條件下一定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件叫做不確定事件或隨機(jī)事件．3．如圖，一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，截面是個半徑為的圓，杯內(nèi)水面寬，則水深是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，根據(jù)C是的中點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，垂徑定理推出，，，推出O、C、D三點(diǎn)共線，得到，設(shè)，，根據(jù)勾股定理推出，得到．【解析】解：連接，，∵是橫放圓柱形的玻璃水杯內(nèi)水最深處，∴C是的中點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，∴，，，∴O、C、D三點(diǎn)共線，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，，（不合題意，舍去），∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的垂徑定理，勾股定理，一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的推論，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程．4．將拋物線向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解析】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：；由“左加右減”的原則可知，將拋物線向左平移2個單位所得拋物線的解析式為：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由圓周角定理可求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出的大?。窘馕觥坑蓤A周角定理可得：．∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理．掌握同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍是解題關(guān)鍵．6．設(shè)，，是拋物線上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式可求得，，的值，比較大小即可．【解析】解：∵，，是拋物線上的三點(diǎn)，∴，，，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．7．如表是一位同學(xué)在罰球線上投籃的試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題：投籃次數(shù)50100150200250300500投中次數(shù)286078104124153252估計(jì)這位同學(xué)投籃一次，投中的概率約是（

）（精確到0.1）A．0.55 B．0.4 C．0.6 D．0.5【答案】D【分析】計(jì)算出所有投籃的次數(shù)，再計(jì)算出總的命中數(shù)，繼而可估計(jì)出這名球員投籃一次，投中的概率．【解析】解：估計(jì)這名球員投籃一次，投中的概率約是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識，注意這種概率的得出是在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得出的，不能單純的依靠幾次決定．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度后與線段CD重合（C、D均為格點(diǎn)，A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C），若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），則旋轉(zhuǎn)中心O點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）【答案】A【分析】畫出平面直角坐標(biāo)系，對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【解析】解：作AC、BD的垂直平分線交于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為旋轉(zhuǎn)中心，E（1，1），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵在于理解對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．9．如圖，CD是的高，按以下步驟作圖：（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于G、H兩點(diǎn)．（2）作直線GH交AB于點(diǎn)E．（3）在直線GH上截?。?）以點(diǎn)F為圓心，AF長為半徑畫圓交CD于點(diǎn)P．則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AF、BF，由作法可知，F(xiàn)E垂直平分AB，再根據(jù)可得∠AFE=45°，進(jìn)而得出∠AFB＝90°，根據(jù)等腰直角三角形和圓周角定理可判斷哪個結(jié)論正確．【解析】解：連接AF、BF，由作法可知，F(xiàn)E垂直平分AB，∴，故A正確；∵CD是的高，∴，故B正確；∵，，∴，故C錯誤；∵，∴∠AFE=45°，同理可得∠BFE=45°，∴∠AFB＝90°，，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了作垂直平分線和圓周角定理，解題關(guān)鍵是明確作圖步驟，熟練運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)和圓周角定理進(jìn)行推理證明．10．小明同學(xué)研究二次函數(shù)（m為常數(shù)）性質(zhì)時得到如下結(jié)論：①這個函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線上；②存在一個m的值，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與x軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形；③點(diǎn)與點(diǎn)在函數(shù)圖象上，若，，則；④當(dāng)時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為．其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸以及增減性依次對個結(jié)論作出判斷即可．【解析】解：二次函數(shù)（為常數(shù)）①∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為且當(dāng)時，∴這個函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線上故結(jié)論①正確，不符合題意；②假設(shè)存在一個的值，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,令，得，其中解得：，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且頂點(diǎn)與軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形∴∴或∴存在或，使得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)與軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形故結(jié)論②正確，不符合題意；③∵∴∵二次函數(shù)（為常數(shù)）的對稱軸為直線∴點(diǎn)A離對稱軸的距離小于點(diǎn)離對稱軸的距離∵，且∴故結(jié)論③錯誤，符合題意；④當(dāng)時，隨的增大而增大，且∴的取值范圍為故結(jié)論④正確，不符合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的系數(shù)的關(guān)系，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，需要利用數(shù)形結(jié)合思想解決本題．二、填空題11．在同一平面內(nèi)，已知圓的半徑為，一點(diǎn)到圓心的距離是，則這點(diǎn)在（填寫“圓內(nèi)”或“圓上”或“圓外”）．【答案】圓外【分析】根據(jù)即可得到點(diǎn)在圓外．【解析】解：∵，∴點(diǎn)在圓外．故答案為：圓外【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，當(dāng)時，點(diǎn)在圓外，當(dāng)時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)時，點(diǎn)在圓內(nèi)，能熟記點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．學(xué)校組織秋游，安排給九年級3輛車，小明和小慧都可以從這3輛車中任選一輛搭乘．則小明和小慧同車的概率為．【答案】【分析】列舉出所有情況，看在同一輛車的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解析】解：列表如下三輛車分別用1，2，3表示：123123所有等可能的情況有9種，其中小明和小慧同車的情況有3種，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了利用列表法求概率，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，得到在同一輛車的情況數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．13．拋物線y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的對稱軸是直線【答案】x=1．【解析】試題解析：y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a由公式x=-得，拋物線的對稱軸為x=1．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．14．如圖，拋物線與直線的交點(diǎn)為，．當(dāng)時，x的取值范圍．【答案】或/或【分析】根據(jù)圖像即可得出時，拋物線的圖像在直線的上方，即可得出x的取值范圍．【解析】如圖所示，拋物線與直線的交點(diǎn)為，，∴當(dāng)時，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式，正確解讀函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．15．如圖，一張扇形紙片OAB，，，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，折痕為CD，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為．【答案】【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于S扇形OBD面積減去S弓形OD面積計(jì)算即可．【解析】解：由折疊可知，S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，∵OA＝OD，∴AD＝OD＝OA，∴△AOD為等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝60°，∵AD＝OD＝OA＝6，∴CD＝3，∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9，∴S弓形OD＝6π﹣9，陰影部分的面積＝S扇形BDO﹣S弓形OD（6π﹣9，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積與等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用扇形公式是解題的關(guān)鍵．16．如圖，是以為圓心，半徑為4的圓的兩條弦，，且點(diǎn)在內(nèi).點(diǎn)是劣弧上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).則的長度的最大值為.【答案】【分析】連接OC，BD，OA，AC，過點(diǎn)O作OH⊥CA于點(diǎn)H，利用圓周角定理可及垂徑定理可得到∠AOC的度數(shù)，同時可證得CH=AH，再利用勾股定理求出AH的長，從而可得到AC的長，當(dāng)BD時直徑時，PN的值最大；再利用三角形的中位線定理可求出MN，PN的長，然后可得到PN+MN的最大值．【解析】解：連接OC，BD，OA，AC，過點(diǎn)O作OH⊥CA于點(diǎn)H，∵∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°，∵OA=OC，OH⊥AC，∴CH=AH，∠COH=∠AOH=60°，

∴∠HAO=30°∴OH=OA=×4=2，在Rt△AOH中，AH2+OH2=AO2∴；∴當(dāng)BD時直徑時，PN的值最大，∵點(diǎn)P，M，N分別是BC，AD，CD的中點(diǎn)，∴MN和PN分別是△ADC和△BCD的中位線，∴∴.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，三角形的中位線定理，熟練的掌握這些定理是解題的關(guān)鍵；三、解答題17．從3名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2022年杭州亞運(yùn)會志愿者．求下列事件的概率：（1）隨機(jī)抽取1名，恰好是女生；（2）（用列表法或樹狀圖表示）隨機(jī)抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．【答案】（1）；（2）樹形圖見解析，．【分析】（1）根據(jù)題意及概率可直接進(jìn)行求解；（2）畫出樹狀圖或列表，然后根據(jù)題意直接求解概率即可．【解析】解：（1）5名學(xué)生中有2名女生，所以抽取1名，恰好是女生的概率為；（2）由樹形圖可得出：共有20種情況，恰好是1名男生和1名女生的情況數(shù)有12種，所以恰好是1名男生和1名女生概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率，熟練掌握用樹狀圖及列表法求概率是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是．(1)畫出將向下平移4個單位長度，再向左平移2個單位長度后的；(2)畫出將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后的；(3)求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6【分析】（1）根據(jù)題意作出平移后的，即可；（2）根據(jù)題意作出旋轉(zhuǎn)后的，即可；（3）利用公式計(jì)算即可．【解析】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；（3）由圖可知，∴．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)變換——平移與旋轉(zhuǎn)變換，掌握平移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知⊙O的弦AB垂直平分半徑OC，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，若AB＝4，請完成下列計(jì)算（1）求⊙O的半徑長；（2）求DE的長．【答案】（1）4；（2）【分析】首先連接BE，由⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，AB＝，根據(jù)垂徑定理可求得AD＝BD，然后設(shè)OA＝x，利用勾股定理，則可求得半徑的長，繼而利用三角形中位線的性質(zhì)，求得BE的長，又由AE是直徑，可得∠B＝90°，繼而求得答案．【解析】解：（1）連接BE，∵⊙O的半徑OC⊥弦AB于點(diǎn)D，AB＝，∴AD＝BD＝，設(shè)OA＝x，∵弦AB垂直平分半徑OC，∴OD＝x，在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，∴2+＝x2，解得：x＝4，即⊙O的半徑長是4；（2）由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，∵AD＝BD∴BE＝2OD＝4，∵AE是直徑，∴∠B＝90°，∴DE＝【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵掌握垂徑定理，還涉及到勾股定理和三角形中位線定理，綜合運(yùn)用所學(xué)知識．20．在跳繩時，繩甩到最高處的形狀可近似的看作拋物線．如圖，正在甩繩的甲，乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4米，距地面均為1米；學(xué)生丙的身高是米，距甲拿繩的手水平距離1米，繩子甩到最高處時，剛好通過他的頭頂．(1)當(dāng)繩子甩到最高時，學(xué)生丁從距甲拿繩的手米處進(jìn)入游戲，恰好通過，根據(jù)以上信息試求學(xué)生丁的身高？(2)若現(xiàn)有一身高為米的同學(xué)也想?yún)⒓舆@個活動，請問他能通過跳繩嗎？若能，則他應(yīng)離甲多遠(yuǎn)的地方進(jìn)入？若不能，請說明理由？【答案】(1)丁同學(xué)的身高為(2)該同學(xué)不能通過跳繩，理由見解析【分析】（1）設(shè)丙所在豎直方向?yàn)閥軸，水平地面為x軸，則甲所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，丙所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，乙所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式，即可求解；（2）把拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【解析】（1）解∶設(shè)丙所在豎直方向?yàn)閥軸，水平地面為x軸，則甲所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，丙所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，乙所在位置對應(yīng)的坐標(biāo)為，設(shè)該拋物線的解析式，∴，解得：，∴該拋物線的解析式，∵丁頭頂?shù)臋M坐標(biāo)為，∴，即丁同學(xué)的身高為；（2）解∶，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵，∴該同學(xué)不能通過跳繩．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確建立平面直角坐標(biāo)系，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．21．如圖，已知是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為7【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明RtRt（HL），可得，根據(jù)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，可得，所以，然后證明RtRt（HL），即可解決問題．【解析】（1）證明：如圖，連接，，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，，；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，在Rt和Rt中，，RtRt（HL），，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，在Rt和Rt中，，RtRt（HL），，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到RtRt．22．問題背景：如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系.小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將ΔBCD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到ΔAED處，點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處（如圖②），易證點(diǎn)C、A、E在同一條直線上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結(jié)論：AC+BC＝CD．

圖①圖②

圖③

圖④

簡單應(yīng)用：（1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝.（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的長.拓展延伸：（3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的長（用含m，n的代數(shù)式表示）.【答案】(1)3；(2)CD=；(3)CD=.【解析】試題分析：（1）由題意可知：AC+BC=CD，所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度；（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉(zhuǎn)化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)D1，由（2）問題可知：AC+BC=CD1；又因?yàn)镃D1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度.試題解析：(1)由題意知：AC+BC=CD，∴+2=CD，∴CD=3；(2)如圖3，連接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵AD?=BD?，∴AD=BD，∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理得：AC=5，由圖1得：AC+BC=CD，5+12=CD，∴CD=.(3)解法一：以AB為直徑作⊙O,連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)D1，連接D1A、D1B、D1C、CD,如圖4,由(2)得：AC+BC=D1C，∴D1C=2，∵D1D是⊙O的直徑，∴∠D1CD=90°，∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，∴D1D2=AB2=m2+n2，∵D1C2+DC2=D1D2，∴CD2=m2+n2?=,∵m<n，∴CD=；解法二：如圖5,∵∠ACB=∠DB=90°，∴A、B.C.D在以AB為直徑的圓上，∴∠DAC=∠DB