2023-2024年新高考數(shù)學一輪復習培優(yōu)教案8.5《雙曲線》 (教師版)

頁第五節(jié)雙曲線核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.結(jié)合雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點三角形，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)，考查求相關(guān)量的計算，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|﹣|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當2a<|F1F2|時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a＝|F1F2|時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當2a>|F1F2|時，P點不存在．2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≤﹣a或x≥a，y∈Ry≤﹣a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(﹣a,0)，A2(a,0)A1(0，﹣a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實虛軸線段A1A2是雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2是雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a是雙曲線的實半軸長，b是雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3．常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.(3)等軸雙曲線①定義：中心在原點，以坐標軸為對稱軸，實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．②性質(zhì)：a＝b；e＝eq\r(2)；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．(4)共軛雙曲線①定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．②性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個焦點共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．(雙曲線的定義)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2﹣eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝()A．5B．3C．7D．3或7解析：選D∵||PF1|﹣|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.2．(雙曲線的實軸)雙曲線2x2﹣y2＝8的實軸長是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)解析：選C雙曲線2x2﹣y2＝8的標準方程為eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,8)＝1，故實軸長為4.3．(雙曲線的漸近線)若雙曲線C：eq\f(x2,m)﹣y2＝1(m>0)的一條漸近線方程為3x＋2y＝0，則實數(shù)m＝()A.eq\f(4,9)B．eq\f(9,4)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)答案：A4．(雙曲線的標準方程)以橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為__________．解析：設所求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得焦點為(±1,0)，頂點為(±2,0)．所以雙曲線的頂點為(±1,0)，焦點為(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以雙曲線標準方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1.答案：x2﹣eq\f(y2,3)＝15．(雙曲線的離心率)若雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.解析：設焦距為2c，則eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，即c2＝eq\f(5,4)a2.由c2＝a2＋4得eq\f(5,4)a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.答案：4二、易錯點練清1．(忽視雙曲線定義的條件)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，﹣4)的距離之差等于6的點的軌跡是________________．解析：由|PF1|﹣|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，則b2＝c2﹣a2＝7，所以所求點的軌跡是雙曲線eq\f(y2,9)﹣eq\f(x2,7)＝1的下支．答案：雙曲線eq\f(y2,9)﹣eq\f(x2,7)＝1的下支2．(忽視雙曲線上的點到原點的最小距離)已知雙曲線x2﹣eq\f(y2,16)＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．解析：設雙曲線的焦點為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|﹣|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點到它的焦點的距離的最小值為c﹣a＝eq\r(17)﹣1>2，故|PF2|＝6.答案：63．(忽視焦點的位置)以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為eq\f(π,3)，則雙曲線的離心率為________．解析：若雙曲線的焦點在x軸上，設雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1，則漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，由題意可得eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)a，可得c＝2a，則e＝eq\f(c,a)＝2；若雙曲線的焦點在y軸上，設雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1，則漸近線的方程為y＝±eq\f(a,b)x，由題意可得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，a＝eq\r(3)b，可得c＝eq\f(2\r(3),3)a，則e＝eq\f(2\r(3),3).綜上可得e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)考點一雙曲線的定義及其應用考法(一)利用定義求軌跡方程[例1]已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x﹣3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________．[解析]如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|﹣|AC1|＝|MA|，|MC2|﹣|BC2|＝|MB|.因為|MA|＝|MB|，所以|MC2|﹣|MC1|＝|BC2|﹣|AC1|＝3﹣1＝2<6.這表明動點M到兩定點C2，C1的距離的差是常數(shù)2且小于|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義知，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M到C2的距離大，到C1的距離小)，且a＝1，c＝3，則b2＝8，設點M的坐標為(x，y)，則其軌跡方程為x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≤﹣1)．[答案]x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≤﹣1)考法(二)求解“焦點三角形”問題[例2]已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2﹣y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[解析]由雙曲線的方程得a＝1，c＝eq\r(2)，由雙曲線的定義得||PF1|﹣|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2eq\r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣|PF1|·|PF2|＝(|PF1|﹣|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.[答案]B考法(三)利用定義求最值[例3]已知F是雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1的左焦點，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動點，則|PF|＋|PA|的最小值為________．[解析]因為F是雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1的左焦點，所以F(﹣4,0)，設其右焦點為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq\r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9.[答案]9[方法技巧]雙曲線定義的應用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出曲線方程．(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|﹣|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[提醒]在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．[針對訓練]1．已知點O(0,0)，A(﹣2,0)，B(2,0)．設點P滿足|PA|﹣|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖象上的點，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2)B．eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D．eq\r(10)解析：選D由|PA|﹣|PB|＝2<|AB|＝4，知點P的軌跡是雙曲線的右支，點P的軌跡方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq\r(4－x2)，所以x2＝eq\f(13,4)，y2＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq\r(10)，故選D.2．設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2解析：選B法一：設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(﹣2,0)，F(xiàn)2(2,0)．又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令點P在雙曲線C的右支上，則有|PF1|﹣|PF2|＝2，兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×6＝3，故選B.法二：設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(﹣2,0)，F(xiàn)2(2,0)．又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(3,tan45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故選B.考點二雙曲線的標準方程[典例](1)經(jīng)過點M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且與雙曲線eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,2)＝1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,18)﹣eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,18)﹣eq\f(x2,12)＝1D．eq\f(y2,12)﹣eq\f(x2,18)＝1(2)已知曲線C的方程為eq\f(x2,k2－2)﹣eq\f(y2,6－k)＝1(k∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．當k＝8時，曲線C為橢圓，其焦距為4＋eq\r(15)B．當k＝2時，曲線C為雙曲線，其離心率為eq\r(3)C．存在實數(shù)k，使得曲線C為焦點在y軸上的雙曲線D．當k＝3時，曲線C為雙曲線，其漸近線與圓(x﹣4)2＋y2＝9相切[解析](1)設所求雙曲線的方程為eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,2)＝λ，將點M(2eq\r(3)，2eq\r(5))代入得eq\f(2\r(3)2,3)﹣eq\f(2\r(5)2,2)＝λ，解得λ＝﹣6，所以雙曲線方程為eq\f(y2,12)﹣eq\f(x2,18)＝1，故選D.(2)對于A，當k＝8時，曲線C的方程為eq\f(x2,62)＋eq\f(y2,2)＝1，軌跡為橢圓，焦距2c＝2eq\r(62－2)＝4eq\r(15)，A錯誤；對于B，當k＝2時，曲線C的方程為eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,4)＝1，軌跡為雙曲線，則a＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，B正確；對于C，若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－k＜0，,k2－2＜0，))解集為空集，∴不存在實數(shù)k，使得曲線C為焦點在y軸上的雙曲線，C錯誤；對于D，當k＝3時，曲線C的方程為eq\f(x2,7)﹣eq\f(y2,3)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(21),7)x，則圓(x﹣4)2＋y2＝9的圓心到漸近線的距離d＝eq\f(|±4\r(21)|,\r(21＋49))＝eq\f(4\r(3),\r(10))＝eq\f(2\r(30),5)≠3，∴雙曲線的漸近線與圓(x﹣4)2＋y2＝9不相切，D錯誤．故選B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型類型一與雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型二若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝﹣eq\f(b,a)x，則可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型三與雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1共焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－k)﹣eq\f(y2,b2＋k)＝1(﹣b2＜k＜a2)類型四過兩個已知點的雙曲線的標準方程可設為eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)類型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2－λ)﹣eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)[針對訓練]1．雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點為(﹣3,0)，且C的離心率為eq\f(3,2)，則C的方程為()A.eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,5)＝1B．eq\f(y2,5)﹣eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,5)＝1D．eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,4)＝1解析：選C由題意，可得c＝3，又由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝2，又b2＝32﹣22＝5，故C的方程為eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,5)＝1，故選C.2．設雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,4)＝1B．x2﹣eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣y2＝1D．x2﹣y2＝1解析：選D法一：由題知y2＝4x的焦點坐標為(1,0)，則過焦點和點(0，b)的直線方程為x＋eq\f(y,b)＝1，而eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)﹣eq\f(y,b)＝0，由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1，故選D.法二：由題知雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則a＝b，即漸近線方程為x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦點坐標為(1,0)，l過點(1,0)，(0，b)，所以eq\f(b－0,0－1)＝﹣1，b＝1，故選D.考點三雙曲線的幾何性質(zhì)考法(一)求雙曲線的漸近線方程[例1](1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線上一點，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，則此雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±xD．y＝±2x(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)﹣y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A.eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．4[解析](1)由題意，得|MF1|﹣|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，∴cos∠F1MF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4)，化簡得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，又a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴此雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，故選A.(2)法一：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(3))x.設兩條漸近線的夾角為2α，則有tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MN⊥ON，如圖所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝eq\r(3).在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝eq\r(3)·tan60°＝3.故選B.法二：因為雙曲線eq\f(x2,3)﹣y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°.不妨設過點F的直線與直線y＝eq\f(\r(3),3)x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點F(2,0)，所以直線MN的方程為y＝﹣eq\r(3)(x﹣2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3，故選B.[答案](1)A(2)B[方法技巧]涉及雙曲線漸近線的幾個常用結(jié)論(1)求雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.(2)已知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．[提醒]兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸、y軸對稱．考法(二)求雙曲線的離心率[例2](1)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓(x﹣3)2＋y2＝1無交點，則C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，則C的離心率為________．[解析](1)∵雙曲線漸近線為bx±ay＝0與圓(x﹣3)2＋y2＝1無交點，∴圓心到漸近線的距離大于半徑，即eq\f(3b,\r(a2＋b2))＞1，∴8b2＞a2，∴8(c2﹣a2)＞a2，即8c2>9a2，∴e＝eq\f(c,a)＞eq\f(3\r(2),4).故選C.(2)法一：由eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，得A為F1B的中點．又∵O為F1F2的中點，∴OA∥BF2.又eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°.∴|OF2|＝|OB|，∴∠OBF2＝∠OF2B.又∵∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B，∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2為等邊三角形．如圖所示，不妨設B為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，－\f(\r(3),2)c)).∵點B在直線y＝﹣eq\f(b,a)x上，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2.法二：∵eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0，∴∠F1BF2＝90°.在Rt△F1BF2中，O為F1F2的中點，∴|OF2|＝|OB|＝c.如圖，作BH⊥x軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得eq\f(|BH|,|OH|)＝eq\f(b,a)，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，∴|BH|＝b，|OH|＝a，∴B(a，﹣b)，F(xiàn)2(c,0)．又∵eq\o(F1A,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，∴A為F1B的中點．∴OA∥F2B，∴eq\f(b,a)＝eq\f(b,c－a)，∴c＝2a，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝2.[答案](1)C(2)2[方法技巧]1．求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2﹣a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．(3)因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應c的值，進而求出離心率，能有效簡化計算．(4)通過特殊位置求出離心率．2．雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：當k>0時，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；當k<0時，k＝﹣eq\f(b,a)＝﹣eq\r(e2－1).考法(三)與雙曲線有關(guān)的范圍、最值問題[例3]已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)﹣y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點．若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))[解析]由題意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，設F1(﹣eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，則eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(﹣eq\r(3)﹣x0，﹣y0)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(eq\r(3)﹣x0，﹣y0)．因為eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，所以(﹣eq\r(3)﹣x0)(eq\r(3)﹣x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)﹣3＋yeq\o\al(2,0)<0.因為點M(x0，y0)在雙曲線C上，所以eq\f(x\o\al(2,0),2)﹣yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，所以2＋2yeq\o\al(2,0)﹣3＋yeq\o\al(2,0)<0，所以﹣eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).[答案]A[方法技巧]1．求解與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題的方法(1)幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解．(2)代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，將雙曲線的范圍(或最值)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解．(3)不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解．2．解決與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題時的注意點(1)雙曲線上本身就存在最值問題，如異支雙曲線上兩點間的最短距離為2a(實軸長)．(2)雙曲線上的點到定點的距離最值，常用兩點間的距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題，有時也用雙曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．(3)雙曲線上的點到定直線的距離的最值解法同(2)所述，或用平行切線法．(4)點在雙曲線上，求相關(guān)式子(目標函數(shù))的取值范圍，常用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平面幾何知識，或引入一個參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決．(5)由直線和雙曲線的位置關(guān)系，求直線或雙曲線中某個參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函數(shù)中的因變量來求解．(6)所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線自變量范圍的影響．[針對訓練]1．(多選)已知雙曲線C過點(3，eq\r(2))，且漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為eq\f(x2,3)﹣y2＝1B．C的離心率為eq\r(3)C．曲線y＝ex﹣2﹣1經(jīng)過C的一個焦點D．直線x﹣eq\r(2)y﹣1＝0與C有兩個公共點解析：選AC∵雙曲線C過點(3，eq\r(2))，且漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，∴設雙曲線方程為eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,3)＝λ(λ≠0)，∴eq\f(9,9)﹣eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)＝λ，∴eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,3)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(x2,3)﹣y2＝1，∴A正確．∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2,3)eq\r(3)，∴B錯誤．∵雙曲線的焦點坐標為(﹣2,0)，(2,0)，而曲線y＝ex﹣2﹣1經(jīng)過點(2,0)，∴C正確．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,x－\r(2)y－1＝0，))得y2﹣2eq\r(2)y＋2＝0.Δ＝(﹣2eq\r(2))2﹣4×1×2＝8﹣8＝0.∴直線x﹣eq\r(2)y﹣1＝0與C只有一個公共點，∴D錯誤，故選A、C.2．已知直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點F和虛軸的上端點B(0，b)，且與圓x2＋y2＝8交于點M，N，若|MN|≥2eq\r(5)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\r(6)]B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))D．[eq\r(6)，＋∞)解析：選C設圓心到直線l的距離為d(d>0)，因為|MN|≥2eq\r(5)，所以2eq\r(8－d2)≥2eq\r(5)，即0<d≤eq\r(3).又d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(2,\r(1＋k2))≤eq\r(3)，解得|k|≥eq\f(\r(3),3).由直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點F和虛軸的上端點B(0，b)，得|k|＝eq\f(b,c).所以eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即eq\f(b2,c2)≥eq\f(1,3)，所以eq\f(c2－a2,c2)≥eq\f(1,3)，即1﹣eq\f(1,e2)≥eq\f(1,3)，所以e≥eq\f(\r(6),2)，于是雙曲線的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)).3．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．解析：設B(c，yB)，因為B為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1上的點，所以eq\f(c2,a2)﹣eq\f(y\o\al(2,B),b2)＝1，所以yeq\o\al(2,B)＝eq\f(b4,a2).因為AB的斜率為3，所以yB＝eq\f(b2,a)，eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，所以b2＝3ac﹣3a2，所以c2﹣a2＝3ac﹣3a2，所以c2﹣3ac＋2a2＝0，解得c＝2a或c＝a(舍去)，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：24．設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若eq\f(3|PF2|,|PF1|2＋a·|PF2|)的最大值為eq\f(1,3a)，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍為________．解析：∵|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴eq\f(3|PF2|,|PF1|2＋a·|PF2|)＝eq\f(3|PF2|,|PF2|＋2a2＋a·|PF2|)＝eq\f(3|PF2|,|PF2|2＋5a|PF2|＋4a2)＝eq\f(3,|PF2|＋\f(4a2,|PF2|)＋5a)≤eq\f(3,2\r(|PF2|·\f(4a2,|PF2|))＋5a)＝eq\f(1,3a)，當且僅當|PF2|＝eq\f(4a2,|PF2|)，即|PF2|＝2a時，等號成立，此時|PF1|＝4a.∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即有6a≥2c，∴9a2≥c2，∴8a2≥b2，解得0<eq\f(b,a)≤2eq\r(2)，∴﹣2eq\r(2)≤﹣eq\f(b,a)<0.則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是[﹣2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2)]．答案：[﹣2eq\r(2)，0)∪(0,2eq\r(2)]一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學妙法求雙曲線離心率的方法方法(一)直接法[例1]下列曲線中，離心率為eq\f(\r(6),2)的是()A.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,6)＝1D．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,10)＝1[解析]依據(jù)雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率公式e＝eq\f(c,a)可直接判斷，選項B中，a2＝4，b2＝2，所以c2＝6，即a＝2，c＝eq\r(6)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),2)，故選B.[答案]B[名師微點]利用已知條件直接求出a，c的值，代入離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．方法(二)利用漸近線方程[例2]在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，則該雙曲線的離心率為________．[解析]由題意知eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即b2＝3a2，所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝eq\f(c,a)＝2.[答案]2[名師微點]根據(jù)雙曲線的漸近線與離心率之間的關(guān)系，可以利用漸近線方程中的eq\f(b,a)確定雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2).方法(三)利用雙曲線的定義[例3]設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2＝90°且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為________．[解析]因為∠F1AF2＝90°，故|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，又|AF1|＝3|AF2|，且|AF1|﹣|AF2|＝2a，所以10a2＝4c2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2).[答案]eq\f(\r(10),2)[名師微點]雙曲線上的點A與兩個焦點構(gòu)成一個直角三角形，結(jié)合直角三角形的屬性和雙曲線的定義，建立關(guān)系即可求出雙曲線的離心率．方法(四)利用關(guān)于a，c的齊次方式[例4]已知點F是雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(2,1＋eq\r(2))D．(1,1＋eq\r(2))[解析]若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝eq\f(b2,a)，|FE|＝a＋c，則eq\f(b2,a)＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2﹣c2＋ac＞0，則e2﹣e﹣2＜0，解得﹣1＜e＜2，又e＞1，則1＜e＜2，故選B.[答案]B[名師微點]根據(jù)題意建立a，c之間的關(guān)系，結(jié)合e＝eq\f(c,a)建立關(guān)于e的一元二次方程或不等式求解．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向1.一種畫雙曲線的工具如圖所示，長桿OB通過O處的鉸鏈與固定好的短桿OA連接，取一條定長的細繩，一端固定在點A，另一端固定在點B，套上鉛筆(如圖所示)．作圖時，使鉛筆緊貼長桿OB，拉緊繩子，移動筆尖M(長桿OB繞O轉(zhuǎn)動)，畫出的曲線即為雙曲線的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，細繩長為8，則所得雙曲線的離心率為()A.eq\f(6,5)B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)解析：選D設|MB|＝t，則由題意，可得|MO|＝12﹣t，|MA|＝8﹣t，有|MO|﹣|MA|＝4＜|AO|＝10，由雙曲線的定義可得動點M的軌跡為雙曲線的一支，且雙曲線的焦距2c＝10，實軸長2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,2).故選D.2．(多選)對于漸近線方程為x±y＝0的雙曲線，下列結(jié)論正確的是()A．實軸長與虛軸長相等B．離心率是eq\r(2)C．過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長與實軸長相等D．頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比值為eq\r(2)解析：選ABC依題意，不妨設漸近線方程為x±y＝0的雙曲線方程為x2﹣y2＝λ(λ≠0)，因此實軸長與虛軸長均為2eq\r(|λ|)，所以A正確；由于實軸長與虛軸長相等，所以離心率為eq\r(2)，所以B正確；過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為2eq\r(|λ|)，而雙曲線的實軸長也為2eq\r(|λ|)，所以C正確；由相似三角形可知，頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離的比值為eq\f(a,c)＝eq\f(\r(2),2)，所以D錯誤．故選A、B、C.3.青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一．如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形上下對稱，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面．若該花瓶的最小直徑為16cm，瓶口直徑為20cm，瓶高20cm，則該雙曲線的離心率為________．解析：以花瓶最細處所在直線為x軸，花瓶的豎直對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題意可知a＝8，圖中的A點坐標為(10,10)．將a＝8，(10,10)代入雙曲線方程，可得b＝eq\f(40,3)，所以eq\f(b,a)＝eq\f(5,3)，所以e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(34),3).答案：eq\f(\r(34),3)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．雙曲線eq\f(x2,2)﹣y2＝1的實軸長為()A．4B．2C．2eq\r(3)D．2eq\r(2)解析：選D由題知a2＝2，∴a＝eq\r(2)，故實軸長為2a＝2eq\r(2)，故選D.2．雙曲線eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝1的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,2)xB．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±2x解析：選C雙曲線eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝1的漸近線方程為eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝0，整理得y2＝2x2，解得y＝±eq\r(2)x，故選C.3．已知雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，則b＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D．12解析：選A因為雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,2)x，又漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，所以eq\f(b,2)＝eq\r(3)，b＝2eq\r(3)，故選A.4．設雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，一條漸近線為y＝eq\f(1,2)x，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,16)＝1D．x2﹣eq\f(y2,4)＝1解析：選A因為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，所以2b＝4，b＝2，因為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\f(1,2)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)?a＝2b＝4，所以雙曲線M的方程為eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1，故選A.5．若a＞1，則雙曲線eq\f(x2,a2)﹣y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞)B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2))D．(1,2)解析：選C由題意得雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(a2＋1),a)，即e2＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).∵a＞1，∴0＜eq\f(1,a2)＜1，∴1＜1＋eq\f(1,a2)＜2，∴1＜e＜eq\r(2).6．已知雙曲線C：eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點的坐標為________；C的焦點到其漸近線的距離是________．解析：雙曲線C：eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，則C的右焦點的坐標為(3,0)．C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0，則C的焦點到其漸近線的距離d＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).答案：(3,0)eq\r(3)二、綜合練——練思維敏銳度1．若實數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線eq\f(x2,25)﹣eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)﹣eq\f(y2,9)＝1的()A．離心率相等B．虛半軸長相等C．實半軸長相等D．焦距相等解析：選D由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點都在x軸上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得兩雙曲線的焦距相等．2．設雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A．±eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(2),2)C．±1D．±eq\r(2)解析：選C由題設易知A1(﹣a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝﹣1，整理得a＝b.∵漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.3．已知雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1的右焦點為F，P為雙曲線左支上一點，點A(0，eq\r(2))，則△APF周長的最小值為()A．4(1＋eq\r(2))B．4＋eq\r(2)C．2(eq\r(2)＋eq\r(6))D．eq\r(6)＋3eq\r(2)解析：選A設雙曲線的左焦點為F′，易得點F(eq\r(6)，0)，△APF的周長l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知當A，P，F(xiàn)′三點共線時取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋eq\r(2))．故選A.4．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(5)，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,8)＝1B．eq\f(x2,4)﹣y2＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,16)＝1D．x2﹣eq\f(y2,4)＝1解析：選D因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為eq\r(5)，所以eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2﹣eq\f(y2,4)＝1，故選D.5．設O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．32解析：選B由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.因為D，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設D(a，b)，E(a，﹣b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8，故選B.6．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線l的傾斜角為eq\f(π,3)，且C的一個焦點到l的距離為eq\r(3)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,3)﹣y2＝1D．x2﹣eq\f(y2,3)＝1解析：選D由eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝0可得y＝±eq\f(b,a)x，即漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，又一條漸近線l的傾斜角為eq\f(π,3)，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).因為雙曲線C的一個焦點(c,0)到l的距離為eq\r(3)，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，所以a＝1，所以雙曲線的方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1.7．雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點，A為雙曲線上一點，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1等于()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5)D．eq\f(1,4)解析：選C因為雙曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|﹣|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2eq\r(5)a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2,2|F1F2||F2A|)＝eq\f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq\f(\r(5),5)，故選C.8．(多選)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，則下列說法正確的是()A．|F2P|＝bB．雙曲線的離心率為eq\r(3)C．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)xD．點P在直線x＝eq\f(\r(3),3)a上解析：選ABD由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx﹣ay＝0，設焦點F1(﹣c,0)，F(xiàn)2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，因為過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，所以|F2P|＝eq\f(|bc－a×0|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，故A正確；因為|OP|＝eq\r(|OF2|2－|PF2|2)＝eq\r(c2－b2)＝a，所以|PF1|＝eq\r(6)|OP|＝eq\r(6)a，cos∠F1OP＝cos(180°﹣∠F2OP)＝﹣cos∠F2OP＝﹣eq\f(|OP|,|OF2|)＝﹣eq\f(a,c)，在三角形OPF1中，根據(jù)余弦定理可知cos∠F1OP＝eq\f(|OP|2＋|OF1|2－|F1P|2,2|OP|·|OF1|)＝eq\f(a2＋c2－6a2,2ac)＝﹣eq\f(a,c)，解得3a2＝c2，即離心率e＝eq\r(3)或e＝﹣eq\r(3)(舍去)，故B正確；因為e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3)，解得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以漸近線的方程為y＝±eq\r(2)x，故C錯誤；因為點P在直線y＝eq\r(2)x上，可設P(x，eq\r(2)x)(x>0)，由|OP|＝a可知，|OP|＝eq\r(x2＋\r(2)x2)＝eq\r(3)x＝a，解得x＝eq\f(\r(3),3)a，故D正確．9．已知雙曲線C：eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為P，Q，若△POQ為直角三角形，則|PQ|＝()A．2B．4C．6D．8解析：選C對于雙曲線C：eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1，右焦點為F(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，由過點F的直線交兩漸近線于P，Q，不妨設點P在第一象限，點Q在第四象限，∠OPQ＝90°，如圖所示，則在Rt△POQ中，∠POQ＝60°.又∠POF＝30°，|OF|＝4，∴|OP|＝2eq\r(3)，∴|PQ|＝eq\r(3)|OP|＝6.故選C.10．已知曲線eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,k2－k)＝1，當曲線表示焦點在y軸上的橢圓時k的取值范圍是________；當曲線表示雙曲線時k的取值范圍是________．解析：當曲線表示焦點在y軸上的橢圓時，k2﹣k＞2，所以k＜﹣1或k＞2；當曲線表示雙曲線時，k2﹣k＜0，所以0＜k＜1.答案：(﹣∞，﹣1)∪(2，＋∞)(0,1)11．若點P是以A(﹣3,0)，B(3,0)為焦點，實軸長為2eq\r(5)的雙曲線與圓x2＋y2＝9的一個交點，則|PA|＋|PB|＝________.解析：不妨設點P在雙曲線的右支上，則|PA|＞|PB|.因為點P是雙曲線與圓的交點，所以由雙曲線的定義知，|PA|﹣|PB|＝2eq\r(5)，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②聯(lián)立①②化簡得2|PA|·|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|·|PB|＝52，所以|PA|＋|PB|＝2eq\r(13).答案：2eq\r(13)12．已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線與拋物線y2＝4x的準線分別交于A，B兩點，O為坐標原點，若S△AOB＝2eq\r(3)，則雙曲線的離心率e＝________.解析：由題意，知拋物線的準線方程是x＝﹣1，雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\f(b,a)x.當x＝﹣1時，y＝±eq\f(b,a)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(b,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(b,a)))或Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(b,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(b,a))).所以S△AOB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(b,a)×1＝2eq\r(3)，即eq\f(b,a)＝2eq\r(3)，所以e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(13).答案：eq\r(13)13．已知雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,8)＝1，過左焦點F1的直線l與雙曲線C的左支以及漸近線y＝2eq\r(2)x交于A，B兩點，若F1A→＝AB→，求直線l的斜率．解：由題意知，雙曲線C的左焦點F1(﹣3，0)，故設直線l的方程為y＝k(x＋3)，與y＝2eq\r(2)x聯(lián)立，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k,2\r(2)－k)，\f(6\r(2)k,2\r(2)－k)))，由F1A→＝AB→，得A為F1B的中點，由中點坐標公式得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－\r(2),2\r(2)－k)，\f(3\r(2)k,2\r(2)－k))).∵點A在雙曲線上，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3k－\r(2),2\r(2)－k)))2﹣eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2)k,2\r(2)－k)))2,8)＝1.即23k2﹣56eq\r(2)k＋40＝0，解得k＝eq\f(10\r(2),23)或k＝2eq\r(2)(舍去)．14．已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F(c,0)．(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為﹣eq\r(3)，求雙曲線的離心率．解：(1)因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,2)＝1.(2)設點A的坐標為(x0，y0)，所以直線AO的斜率滿足eq\f(y0,x0)·(﹣e