第4章 等可能條件下的概率（十二大題型）（解析版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊數(shù)學(xué)《第4章等可能條件下的概率》知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一等可能性◆1、設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，而且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們說這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性．◆2、如果一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有無窮多個(gè)，每次只出現(xiàn)其中的某個(gè)結(jié)果，而且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都一樣，那么我們就稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二等可能條件下的概率◆1、概率的定義一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P(A)．◆2、概率的計(jì)算一般地，在一次試驗(yàn)中，如果共有有限個(gè)可能發(fā)生的結(jié)果，并且每種結(jié)果發(fā)生的可能性都相等，用m表示一個(gè)指定事件A包含的結(jié)果數(shù)，n表示試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果的總數(shù)，那么事件A發(fā)生的概率可利用下面的公式計(jì)算：P(A)=mn◆3、概率的范圍當(dāng)事件A是必然事件時(shí)，P(A)=1；當(dāng)事件A是不可能事件時(shí)，P(A)=0；當(dāng)事件A隨機(jī)事件時(shí)，0＜P(A)＜1總結(jié)：（1）任何事件A發(fā)生的概率P(A)都是0和1之間(包括0和1)的數(shù)，即0≤P(A)≤1（2）事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，它的概率越接近0.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三求概率的方法◆1、用列舉法求事件的概率當(dāng)涉及的對(duì)象比較單一且出現(xiàn)的等可能結(jié)果數(shù)目比較少時(shí)，就可以直接列舉出所有可能的結(jié)果，再利用概率公式求事件發(fā)生的概率.【注意】直接列舉法比較適合用于最多涉及兩個(gè)試驗(yàn)因素或分兩步進(jìn)行的試驗(yàn)，且事件總結(jié)果的種數(shù)比較少的等可能性事件.◆2、用列表法求事件的概率★(1)當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能結(jié)果，通常采用列表法.★(2)畫樹狀圖求概率的基本步驟：①選擇其中一次操作或一個(gè)因素作為橫行，另一個(gè)操作或另一個(gè)因素作為豎行，列出表格.②確定所有等可能的結(jié)果數(shù)n和事件A包含的結(jié)果數(shù)m，運(yùn)用公式P(A)=mn（m≤n）計(jì)算概率◆3、用畫樹狀圖求事件的概率★(1)當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)或更多的因素(如從3個(gè)口袋中取球)時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果,通常采用畫樹狀圖法.★(2)畫樹狀圖求概率的基本步驟：①明確一次試驗(yàn)有幾個(gè)步驟和順序；②把每一步驟的結(jié)果列為一層，畫樹狀圖；③沿著“樹杈”列出所有可能的結(jié)果，算出n的值；④找出符合條件的結(jié)果個(gè)數(shù)m；⑤求概率mn題型一題型一可能性的大小【例題1】（2023秋?龍灣區(qū)月考）一個(gè)布袋里裝有6個(gè)球，分別是1個(gè)紅球，2個(gè)白球，3個(gè)黑球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個(gè)球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是（）A．摸出的是紅球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是綠球【分析】個(gè)數(shù)最多的就是可能性最大的．【解答】解：因?yàn)楹谇蜃疃?，所以被摸到的可能性最大．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查可能性大小的比較：只要總情況數(shù)目相同，誰包含的情況數(shù)目多，誰的可能性就大；反之也成立；若包含的情況相同，那么它們的可能性就相等．【變式1-1】（2023?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開學(xué)）在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（）A．在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下 B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán) C．杭州五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為35℃ D．用長為10cm，10cm，20cm三根木棒做成一個(gè)三角形【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可得出答案．【解答】解：A、在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下，是必然事件，不符合題意；B、射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，不符合題意；C、杭州五一節(jié)當(dāng)天的最高溫度為35℃，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、用長為10cm，10cm，20cm三根木棒做成一個(gè)三角形，是不可能事件，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待．一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間．【變式1-2】（2023?河北）有7張撲克牌如圖所示，將其打亂順序后，背面朝上放在桌面上，若從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的花色可能性最大的是（）A．（黑桃） B．（紅心） C．（梅花） D．（方塊）【分析】根據(jù)概率公式分別求出各花色的概率判斷即可．【解答】解：∵抽到黑桃的概率為17，抽到紅心的概率為37，抽到梅花的概率為17∴抽到的花色可能性最大的是紅心，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性的大小，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023秋?佛山月考）在下列事件中，發(fā)生的可能性最小的是（）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)為100℃ B．杭州亞運(yùn)會(huì)上射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán) C．佛山10月17日的最高溫度為35℃ D．用長為10cm，10cm，20cm三根木棒做成一個(gè)三角形【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可得出答案．【解答】解：A、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)為100℃，是必然事件，不符合題意；B、杭州亞運(yùn)會(huì)上射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，不符合題意；C、佛山10月17日的最高溫度為35℃，是隨機(jī)事件，不符合題意；D、用長為10cm，10cm，20cm三根木棒做成一個(gè)三角形，是不可能事件，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對(duì)待．一般地必然事件的可能性大小為1，不可能事件發(fā)生的可能性大小為0，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小在0至1之間．【變式1-4】（2023春?宿遷期末）標(biāo)號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)盒子中所裝有的白球和黑球數(shù)如下，則下列盒子最易摸到黑球的是（）A．12個(gè)黑球和4個(gè)白球 B．10個(gè)黑球和10個(gè)白球 C．4個(gè)黑球和2個(gè)白球 D．10個(gè)黑球和5個(gè)白球【分析】分別計(jì)算出每個(gè)選項(xiàng)中摸到黑球的概率可得答案．【解答】解：A、摸到黑球的概率為1212+4=B、摸到黑球的概率為1010+10=C、摸到黑球的概率為44+2D、摸到黑球的概率為1010+5故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了可能性的大小問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是分別求出從4個(gè)盒子中摸到黑球的可能性各是多少．【變式1-5】（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)僅裝有球的不透明盒子里，共有20個(gè)紅球和白球（僅有顏色不同），小明進(jìn)行了摸球試驗(yàn)，摸到紅球可能性最大的是（）A． B． C． D．【分析】直接比較紅球的數(shù)量即可求解．【解答】解：∵一個(gè)僅裝有球的不透明盒子里，共有20個(gè)紅球和白球（僅有顏色不同），0＜4＜10＜16，∴摸到紅球可能性最大的是D選項(xiàng)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了可能性的大小，用到的知識(shí)點(diǎn)為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型二題型二概率公式的計(jì)算【例題2】（2023?新疆模擬）在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和4個(gè)黃球．每個(gè)球除顏色外其余均相同，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率是（）A．29 B．13 C．49 【分析】根據(jù)概率的公式計(jì)算即可．【解答】解：P(摸到紅球故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率的公式，熟知：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件發(fā)生的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率為：P(A)=m【變式2-1】（2023春?濟(jì)陽區(qū)期末）某商場為吸引顧客設(shè)計(jì)了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當(dāng)指針指向陰影部分時(shí)，該顧客可獲獎(jiǎng)品一份，那么該顧客獲獎(jiǎng)的概率為（）A．16 B．15 C．18 【分析】該顧客獲獎(jiǎng)的概率，即陰影部分與整個(gè)圓面的面積之比．【解答】解：因?yàn)?6360=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．【變式2-2】（2023?慶元縣校級(jí)一模）在同一副撲克牌中抽取2張“方塊”，3張”梅花”，1張“紅桃”．將這6張牌背面朝上，從中任意抽取1張，是“紅桃”的概率為（）A．16 B．13 C．12 【分析】直接利用概率公式計(jì)算可得．【解答】解：在同一副撲克牌中抽取2張“方塊”，3張“梅花”，1張“紅桃”．將這6張牌背面朝上，從中任意抽取1張，是“紅桃”的概率為16故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【變式2-3】（2023秋?拱墅區(qū)月考）端午節(jié)是我國傳統(tǒng)節(jié)日，這天小穎的媽媽買了3只紅豆粽和6只紅棗粽，這些粽子除了內(nèi)部餡料不同外其他均相同．小穎從中隨意選一個(gè)，她選到紅豆粽的概率是（）A．12 B．13 C．23 【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：小穎的媽媽買了3只紅豆粽和6只紅棗粽，共9只粽子，其中紅豆粽有3只，∴選到紅豆粽的概率為39故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式2-4】（2023秋?柯城區(qū)校級(jí)月考）小聰和媽媽計(jì)劃在“江郎山、爛柯山、九華山、藥王山四個(gè)景區(qū)中隨機(jī)選擇一個(gè)地點(diǎn)出游，則他們選中“江郎山”的概率為（）A．1 B．12 C．13 D【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：供選擇的地點(diǎn)有4種等可能的情況，他們選中“江郎山”的情況有1種，∴選中“江郎山”的概率為=1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式2-5】（2023秋?拱墅區(qū)月考）擲一枚六個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6的正方形骰子，則向上一面的數(shù)不大于5的概率是．【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)題意，不大于5的面有1，2，3，4，5，則向上一面的數(shù)不大于5的概率是56故答案為：56【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【變式2-6】（2023春?鄠邑區(qū)期末）在一個(gè)不透明的袋子中裝有除顏色外都相同的黃球、綠球和紅球共12個(gè)，其中紅球有2個(gè)．（1）摸到紅球的概率是；（2）若摸到綠球的概率是23【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算；（2）設(shè)袋子中黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，利用概率公式得到12-2-x12【解答】解：（1）摸到紅球的概率=2故答案為16（2）設(shè)袋子中黃球的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得12-2-x12=23，解得即袋子中黃球的個(gè)數(shù)為2個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：某事件的概率＝某事件所占的結(jié)果數(shù)除以所有結(jié)果數(shù)．題型三題型三列舉法或樹狀圖求概率（卡片問題）【例題3】抽屜里裝有3張卡片，兩張印有圖案，一張印有的，三張卡片除了圖案不同外其他完全相同，現(xiàn)在隨機(jī)從抽屜里抽取一張卡片，不放回然后抽取第二張，則兩次抽到卡片上圖案均為軸對(duì)稱圖形的概率是．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次抽到卡片上圖案均為軸對(duì)稱圖形的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：設(shè)兩張印有圖案的卡片記為A，B，一張印有的的卡片記為C，則卡片A，B上的圖案為軸對(duì)稱圖形．畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中兩次抽到卡片上圖案均為軸對(duì)稱圖形的結(jié)果有2種，∴兩次抽到卡片上圖案均為軸對(duì)稱圖形的概率為26故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、軸對(duì)稱圖形，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)【變式3-1】（2023?南漳縣模擬）將分別寫有“心”“氧”“氧”“去”“南”“漳”漢字的六張除漢字外均相同的卡片（每張卡片上只有一個(gè)漢字）放入一個(gè)不透明的袋子里，每次摸之前先均勻攪拌，隨機(jī)摸出一張卡片，不放回，再隨機(jī)摸出一張卡片，兩次摸出卡片上的漢字能組成“南漳”的概率為．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩次摸出卡片上的漢字能組成“南漳”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：畫樹狀圖為：共有30種等可能的結(jié)果，其中選到“南漳”的結(jié)果數(shù)為2，所以兩次摸出卡片上的漢字能組成“南漳”的概率為230故答案為：115【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023?光山縣三模）現(xiàn)有正面標(biāo)有漢字，“誠”“實(shí)”“友”“善”的4張卡片，他們除漢字外完全相同，若把四張卡片背面朝上洗勻放在桌子上，然后任意抽取一張卡片，不放回，再任意抽取一張，這兩次抽取的卡片上的漢字能組成詞語的概率為．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合題意的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片上的漢字能組成詞語的結(jié)果有4種，∴兩次抽取的卡片上的漢字能組成詞語的概率為412故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式3-3】（2023秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）中秋節(jié)前，學(xué)校舉行“傳經(jīng)典?樂中秋”系列活動(dòng)，共有四項(xiàng)活動(dòng)：并分別制作了編號(hào)為A、B、C、D的4張卡片（如圖，除編號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同），并將它們背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）小麗隨機(jī)抽取1張卡片，抽到卡片編號(hào)為A的概率為；（2）小麗從4張卡片中隨機(jī)抽取1張（不放回），小明再從余下的3張卡片中隨機(jī)抽取1張，求小麗、小明兩人中恰好有一人“誦詩詞”的概率（請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出過程）．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根據(jù)題意先列出圖表，得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）小麗隨機(jī)抽取1張卡片，抽到卡片編號(hào)為A的概率為14故答案為：14（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）∴一共有12種情況，小麗、小明兩人中恰好有一人“誦詩詞”的有6種情況，∴小麗、小明兩人中恰好有一人“誦詩詞”的概率為：612【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式3-4】（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）為了鍛煉學(xué)生的寫作能力，某中學(xué)組織開展了一場作文比賽，老師將四個(gè)備選的寫作主題分別編號(hào)為1，2，3，4，并將編號(hào)分別寫在完全相同的4張卡片的正面，將洗勻后的卡片背面朝上，每位參賽同學(xué)隨機(jī)抽取一張卡片，根據(jù)其正面編號(hào)確定自己的寫作主題，然后卡片放回洗勻，待下一位參賽同學(xué)繼續(xù)抽取．（1）康康同學(xué)隨機(jī)抽取一張卡片，卡片上的數(shù)字是“4”的概率是．（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求李磊和金英兩位參賽同學(xué)抽中同一寫作主題的概率．【分析】（1）根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）用樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）從寫有1、2、3、4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中是4的只有1種，所以康康同學(xué)隨機(jī)抽取一張卡片，卡片上的數(shù)字是“4”的概率是14故答案為：14（2）用樹狀圖表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共用16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中李磊和金英兩位參賽同學(xué)抽中同一寫作主題的有4種，所以李磊和金英兩位參賽同學(xué)抽中同一寫作主題的概率為416【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹狀圖法，用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．題型四題型四列舉法或樹狀圖求概率（轉(zhuǎn)盤問題）【例題4】（2022?歷下區(qū)三模）某商戶開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個(gè)和4個(gè)扇形．每個(gè)扇形上都標(biāo)有數(shù)字，當(dāng)滿足抽獎(jiǎng)條件的某個(gè)客戶同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤．則轉(zhuǎn)盤停止后，指針都落在偶數(shù)上（指針落在線上時(shí)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）的概率是（）A．310 B．15 C．25 【分析】利用列表法，列出表格指出所有的等可能性，利用計(jì)算概率的公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成5個(gè)和4個(gè)扇形，自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，∴指針落在每個(gè)數(shù)字上的可能性是相同的．依據(jù)題意列樹狀圖如下：∵從圖中可以看出共有20中等可能，其中指針都落在偶數(shù)上的可能有4種，∴指針都落在奇數(shù)上的概率是：420故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用列表法或樹狀圖求事件的概率．選擇合適的方法正確找出所有的等可能是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022?安徽模擬）如圖是一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤，連續(xù)自由轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次（如果落在分隔線上，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)，直至轉(zhuǎn)到其中一塊區(qū)域），則兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（）A．19 B．16 C．14 【分析】畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：如圖，把分隔線上方的兩個(gè)扇形記為A、B，下方的半圓分成兩個(gè)小扇形記為C、D，畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的結(jié)果有4種，∴兩次轉(zhuǎn)動(dòng)指針都落在數(shù)字“Ⅲ”所示區(qū)域內(nèi)的概率為416故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用列表法或樹狀圖求事件的概率．選擇合適的方法正確找出所有的等可能是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】春節(jié)期間，小剛和大明相約一起看賀歲片，兩人了解到，《唐人街探案3》，《你好，李煥英》，《新神榜：哪吒重生》，《熊出沒?狂野大陸》等多部影片上映，而且票房均已過億，兩人準(zhǔn)備從這四部電影中選一部觀看．將《唐人街探案3》表示為A，《你好，李煥英》表示為B，《新神榜：哪吒重生》表示為C，《熊出沒?狂野大陸》表示為D．（1）請(qǐng)你計(jì)算小剛和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率．（2）小剛和大明制作了一個(gè)如圖所示的轉(zhuǎn)盤（整個(gè)圓盤被平均分成了4份），小剛和大明分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，如果指針轉(zhuǎn)到相同的區(qū)域，那他們就看這個(gè)區(qū)域所代表的電影．請(qǐng)問，小剛和大明各轉(zhuǎn)動(dòng)一次就轉(zhuǎn)到相同的區(qū)域的概率是多少？【分析】（1）先列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）從表格中找到小剛和大明各轉(zhuǎn)動(dòng)一次就轉(zhuǎn)到相同的區(qū)域的結(jié)果數(shù)，利用概率公式求解即可．【解答】解：（1）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表知共有16種等可能結(jié)果，其中小剛和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的只有1種結(jié)果，∴小剛和大明一起去看《新神榜：哪吒重生》的概率為116（2）由表可知，小剛和大明各轉(zhuǎn)動(dòng)一次就轉(zhuǎn)到相同的區(qū)域的有4種結(jié)果，所以小剛和大明各轉(zhuǎn)動(dòng)一次就轉(zhuǎn)到相同的區(qū)域的概率為416【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹狀圖法，以及概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式4-3】（2023春?順德區(qū)期末）如圖，一個(gè)轉(zhuǎn)盤平均分成6等份，分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字．隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字（指向分界線時(shí)重新轉(zhuǎn)動(dòng)）．（1）隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，求轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于3的概率；（2）現(xiàn)有兩張分別寫有2和3的卡片．隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字與兩張卡片上的數(shù)字分別作為三條線段的長度，求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率是多少？【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）共有6種等可能的結(jié)果，其中三條線段能構(gòu)成三角形的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵一個(gè)轉(zhuǎn)盤平均分成6等份，分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字，∴隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)出的數(shù)字小于3的概率為26（2）由題意可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中三條線段能構(gòu)成三角形的結(jié)果有3種，即2、3、2或2、3、3或2、3、4，∴三條線段能構(gòu)成三角形的概率為36【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式以及三角形的三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式4-4】某商場在“五一”促銷活動(dòng)中規(guī)定，顧客每消費(fèi)100元就能獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．為了活躍氣氛，設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案．方案一：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A一次，指針指向紅的部分可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品．方案二：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤B兩次，兩次指針都指向紅的部分可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品．（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤都被平均分成3份，若指針指向分界線，則重轉(zhuǎn)）（1）轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤A，獲得獎(jiǎng)品的概率是13（2）如果你獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，你會(huì)選擇哪種方案？請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法說明理由．【分析】（1）利用概率公式求解；（2）利用樹狀圖法求出方案二中領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品的概率，然后比較兩個(gè)方案中領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品的概率的大小來判斷選擇哪個(gè)方案．【解答】解：（1）若轉(zhuǎn)動(dòng)一次A轉(zhuǎn)盤，求領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品的概率為13故答案為：13（2）選擇方案二．理由如下：畫樹狀圖為：共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次都轉(zhuǎn)出紅色的結(jié)果數(shù)為4，所以轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤B兩次，兩次都轉(zhuǎn)出紅色可領(lǐng)取一份獎(jiǎng)品的概率為49所以選擇方案二．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．題型五題型五列舉法或樹狀圖求概率（不放回的摸球問題）【例題5】（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）不透明的袋子中裝了2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，1個(gè)白球，這些球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球，摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的結(jié)果有4種，∴摸出1個(gè)紅球1個(gè)黑球的概率為412故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022?武漢模擬）甲、乙兩名同學(xué)玩一個(gè)游戲：在一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)小球（除標(biāo)號(hào)外無其他差異）．從口袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，記下標(biāo)號(hào)．若兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為奇數(shù)，則甲獲勝；若兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)，則乙獲勝．乙獲勝的概率是（）A．112 B．16 C．12 【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)的結(jié)果有10種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩個(gè)小球的標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)的結(jié)果有10種，∴乙獲勝的概率=10故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022?泌陽縣四模）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的6個(gè)小球，其中有3個(gè)小球是白色的，2個(gè)小球是紅色的，1個(gè)小球是黑色的，那么不放回連續(xù)取出兩個(gè)小球都是白色的概率為（）A．15 B．14 C．13 【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：白白白紅紅黑白（白，白）（白，白）（紅，白）（紅，白）（黑，白）白（白，白）（白，白）（紅，白）（紅，白）（黑，白）白（白，白）（白，白）（紅，白）（紅，白）（黑，白）紅（白，紅）（白，紅）（白，紅）（紅，紅）（黑，紅）紅（白，紅）（白，紅）（白，紅）（紅，紅）（黑，紅）黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）（紅，黑）（紅，黑）由表知，共有30種等可能結(jié)果，其中取出兩個(gè)小球都是白色的有6種結(jié)果，所以取出兩個(gè)小球都是白色的概率為630故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率．【變式5-3】將分別標(biāo)有“?！薄罢n”“不”“?！薄皩W(xué)”漢字的五個(gè)小球裝在一個(gè)不透明口袋中，這些球除漢字外無其他差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機(jī)摸出一球，不放回；再隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字是“不”“?！钡母怕适牵ǎ〢．325 B．320 C．110 【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和兩次摸出的球上的漢字是“不”“?！钡那闆r數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有20種等情況數(shù)，其中兩次摸出的球上的漢字是“不”“?！钡挠?種，則隨機(jī)摸出一球，兩次摸出的球上的漢字是“不”“?！钡母怕适?20故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是樹狀圖法求概率．樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式5-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有一個(gè)不透明的口袋裝有分別標(biāo)有漢字“最”、“美”、“蘭”、“州”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球．（1）若從中任取一個(gè)球，取出的球上的漢字是“美”的概率為；（2）小明同學(xué)從中任取一個(gè)球，不放回，再從中任取一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求出小明取出兩個(gè)球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率．【分析】（1）直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）先畫出樹狀圖，從而可得小明取出兩個(gè)球上的漢字的所有等可能的結(jié)果，再找出小明取出兩個(gè)球上的漢字恰能組成“蘭州”的結(jié)果，然后利用概率公式求解即可得．【解答】解：（1）由題意，從中任取一個(gè)球共有4種結(jié)果，則從中任取一個(gè)球，取出的球上的漢字是“美”的概率為14故答案為：14（2）由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，小明取出兩個(gè)球上的漢字的所有等可能的結(jié)果共有12種，其中，小明取出兩個(gè)球上的漢字恰能組成“蘭州”的結(jié)果有2種，則小明取出兩個(gè)球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率為P=2答：小明取出兩個(gè)球上的漢字恰能組成“蘭州”的概率為16【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．題型六題型六列舉法或樹狀圖求概率（放回的摸球問題）【例題6】（2022?西工區(qū)模擬）將分別標(biāo)有“精”“準(zhǔn)”“扶”“貧”漢字的四個(gè)小球裝在一個(gè)不透明的口袋中，這些球除漢字外無其它差別，每次摸球前先攪拌均勻，隨機(jī)摸出一球，放回后；再隨機(jī)摸出一球，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率是（）A．14 B．16 C．18 【分析】畫樹狀圖，共有16個(gè)等可能的結(jié)果，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的結(jié)果有2個(gè)，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有16個(gè)等可能的結(jié)果，兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的結(jié)果有2個(gè)，∴兩次摸的球上的漢字組成詞語“扶貧”的概率為216故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2022?同安區(qū)二模）小林和小華在進(jìn)行摸球游戲．在不透明的袋子里有4個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的小球，這些小球除數(shù)字外完全一樣．小林先摸，將摸到的小球數(shù)字記為m，然后將小球放回．再由小華摸球，小華摸到的小球數(shù)字記為n．如果m，n滿足|m﹣n|≤1，就稱小林、小華兩人“心有靈犀”．則小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是（）A．14 B．38 C．12 【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求出小林、小華兩人“心有靈犀”的概率．【解答】解：樹狀圖如下所示，由上可得，一共有16種可能性，其中|m﹣n|≤1的可能性有10種，∴小林、小華兩人“心有靈犀”的概率是1016故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022?宛城區(qū)一模）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其余都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回?cái)噭?，再從中摸出?個(gè)球．則兩次摸出的球顏色相同的概率是（）A．59 B．49 C．13 【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次摸出的球顏色相同的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：所有可能的結(jié)果有9種，兩次摸出顏色相同球的結(jié)果有5種；則兩次摸出的球顏色相同的概率是59故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023?灞橋區(qū)校級(jí)開學(xué)）一個(gè)不透明的口袋中有4個(gè)大小相同的小球，球面上分別寫有數(shù)字1、2、3、3，袋中隨機(jī)地摸出一個(gè)小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機(jī)地摸出一個(gè)小球．（1）求第一次摸出一個(gè)球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是；（2）請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表法的方法，求兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，第一次摸出一個(gè)球，球上的數(shù)字是偶數(shù)的概率是14故答案為：14（2）畫樹狀圖如下：共有16種可能的結(jié)果，兩次摸出球上的數(shù)字的和分別為：2，3，4，4，3，4，5，5，4，5，6，6，4，5，6，6，其中兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的結(jié)果有6種，∴兩次摸出球上的數(shù)字的和為奇數(shù)的概率為616【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-4】四個(gè)完全相同的乒乓球，分別標(biāo)注數(shù)字1、2、3、4，將它們放入一個(gè)不透明的盒子中．從盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回，再從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后再放回．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法解決下列問題：（1）求兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的概率；（2）在上面的問題中，如果第一次摸出球后不放回，繼續(xù)第二次摸球，求兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【分析】（1）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的結(jié)果有4種，∴兩次摸到的球上數(shù)字同時(shí)為偶數(shù)的概率為416（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，∴兩次摸到的球上數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為412【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型七題型七列舉法或樹狀圖求概率（電路問題）【例題7】如圖，電路圖上有四個(gè)開關(guān)A、B、C、D和一個(gè)小燈泡，任意閉合其中一個(gè)開關(guān)，小燈泡不發(fā)光的概率為（）A．12 B．13 C．14 【分析】用滿足條件的個(gè)數(shù)除以總的個(gè)數(shù)即可得出概率的值．【解答】解：有4個(gè)開關(guān)，只有D開關(guān)一個(gè)閉合小燈發(fā)亮，其它開關(guān)閉合小燈都不發(fā)亮，所以任意閉合其中一個(gè)開關(guān)，則小燈泡不發(fā)光的概率是34故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式7-1】如圖所示的電路中，當(dāng)隨機(jī)閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個(gè)時(shí)，能夠讓燈泡不發(fā)光的概率是．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能夠讓燈泡不發(fā)光的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：設(shè)S1、S2、S3中分別用1、2、3表示，畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能夠讓燈泡不發(fā)光的有2種結(jié)果，∴能夠讓燈泡不發(fā)光的概率為：26故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹狀圖法求概率的知識(shí)．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式7-2】（2022?海勃灣區(qū)校級(jí)一模）如圖，電路圖上有4個(gè)開關(guān)A，B，C，D和1個(gè)小燈泡，同時(shí)閉合開關(guān)A，B或同時(shí)閉合開關(guān)C，D都可以使小燈泡發(fā)光．現(xiàn)隨機(jī)閉合兩個(gè)開關(guān)，小燈泡發(fā)光的概率為（）A．12 B．13 C．23 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小燈泡發(fā)光的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，現(xiàn)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的有4種情況，∴小燈泡發(fā)光的概率為412故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的公式，用滿足條件的個(gè)數(shù)除以總的個(gè)數(shù)即可得出概率的值．【變式7-3】（2023?杏花嶺區(qū)校級(jí)模擬）學(xué)習(xí)電學(xué)知識(shí)后，小亮同學(xué)用四個(gè)開關(guān)A、B、C、D，一個(gè)電源和一個(gè)燈泡設(shè)計(jì)了一個(gè)電路圖，現(xiàn)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率為（）A．14 B．13 C．12 【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有6種，即AD、BD、CD、DA、DB、DC，∴小燈泡發(fā)光的概率為612故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式7-4】（2023?安慶二模）如圖是某電路圖，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的任意2個(gè)，能同時(shí)使兩盞小燈泡發(fā)光的概率是（）A．12 B．13 C．25 【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個(gè)燈泡發(fā)光的有4種，然后由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖得：共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓兩個(gè)燈泡發(fā)光的結(jié)果數(shù)為4，∴能讓燈泡L2發(fā)光的概率為：46故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型八題型八列舉法或樹狀圖求概率（數(shù)字問題）【例題8】（2023?麗水模擬）實(shí)數(shù)3與2，5，6中任意一個(gè)數(shù)組成的兩位數(shù)是奇數(shù)的概率為（）A．14 B．12 C．23 【分析】根據(jù)題意可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及組成的兩位數(shù)是奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：實(shí)數(shù)3與2，5，6中任意一個(gè)數(shù)組成的兩位數(shù)的所有等可能的結(jié)果為：32，35，36，23，53，63，共6種結(jié)果，其中是奇數(shù)的結(jié)果有：35，23，53，63，共4種，∴實(shí)數(shù)3與2，5，6中任意一個(gè)數(shù)組成的兩位數(shù)是奇數(shù)的概率為46故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式8-1】從﹣2，0，1這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)記為m，另一個(gè)記為n，則點(diǎn)（m，n）落在y軸上的概率是（）A．16 B．15 C．14 【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中點(diǎn)（m，n）落在y軸上的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中點(diǎn)（m，n）落在y軸上的結(jié)果有2種，∴點(diǎn)（m，n）落在y軸上的概率是26故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式8-2】從﹣1、﹣2、3、4四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為b、c，則關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)解的概率為（）A．14 B．13 C．12 【分析】首先畫出樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果與關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)解的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：由樹形圖可知：一共有12種等可能的結(jié)果，其中關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)解的有6種結(jié)果，則關(guān)于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)解的概率為612故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式8-3】（2023春?中江縣期中）從1、2、3三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，c，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實(shí)數(shù)根的概率為（）A．12 B．13 C．23 【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，再找出滿足Δ＝16﹣4ac＜0的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中滿足Δ＝16﹣4ac＜0，即ac＞4的結(jié)果有（2，3）、（3，2）這2種結(jié)果，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0沒有實(shí)數(shù)根的概率為26故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．也考查了根的判別式．【變式8-4】（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)月考）從﹣3，﹣2，1三個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a，c，則關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c的圖象與x軸有交點(diǎn)的概率為．【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，其中使判別式Δ＝16﹣4ac≥0的有4種結(jié)果，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖得：由樹形圖可知：共有6種等可能的結(jié)果，其中使判別式Δ＝16﹣4ac≥0的有4種結(jié)果，∴二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c的圖象與x軸有交點(diǎn)的概率為46故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型九題型九列舉法或樹狀圖求概率（實(shí)際應(yīng)用問題）【例題九】（2023?振興區(qū)校級(jí)二模）如圖A是某公園的進(jìn)口，B，C，D是三個(gè)不同的出口，小明從A處進(jìn)入公園，那么從B，C，D三個(gè)出口中恰好在C出口出來的概率為（）A．14 B．13 C．12 【分析】列出所有等可能結(jié)果，從所有結(jié)果中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：從A口進(jìn)入，出口有B、C、D三種情況，其中從C口出的只有1種結(jié)果，∴從B、C、D三個(gè)出口中恰好在C出口出來的概率為13故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式，找到所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．【變式9-1】（2022?海淀區(qū)二模）“宮商角徵羽”是中國古樂的五個(gè)基本音階（相當(dāng)于西樂的1，2，3，5，6），是采用“三分損益法”通過數(shù)學(xué)方法獲得．現(xiàn)有一款“一起聽古音”的音樂玩具，音樂小球從A處沿軌道進(jìn)入小洞就可以發(fā)出相應(yīng)的聲音，且小球進(jìn)入每個(gè)小洞的可能性大小相同．現(xiàn)有一個(gè)音樂小球從A處先后兩次進(jìn)入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是（）A．125 B．110 C．15 【分析】畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有25種等可能的情況數(shù)，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的有1種，則先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是125故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法求概率以及概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023?鳳城市一模）人類的性別是由一對(duì)性染色體（X，Y）決定，當(dāng)染色體為XX時(shí)，是女性；當(dāng)染色體為XY時(shí)，是男性．如圖為一對(duì)夫妻的性染色體遺傳圖譜，如果這位女士懷上了一個(gè)小孩，該小孩為女孩的概率是（）A．14 B．13 C．12 【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種，∴該小孩為女孩的概率為24故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了樹狀圖法求概率以及概率公式，正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某校舉辦了學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”；比賽項(xiàng)目為：A：唐詩；B．宋詞；C，論語；D三字經(jīng)，比賽形式分“單人組”和“雙人組”．（1）小麗參加“單人組”，她從中隨機(jī)抽取一個(gè)比賽項(xiàng)目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是．（2）小紅和小明組成一個(gè)小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊(duì)員的比賽項(xiàng)目不能相同，且每人只能隨機(jī)抽取一次，則小紅和小明都沒有抽到“論語”的概率是多少？請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和小紅和小明都沒有抽到“論語”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵共有4個(gè)比賽項(xiàng)目，∴恰好抽中“三字經(jīng)”的概率是14故答案為：14（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中小紅和小明都沒有抽到“論語”的結(jié)果有6種，∴小紅和小明都沒有抽到“論語”的概率為612【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式9-4】（2022秋?余姚市校級(jí)月考）余姚全面推進(jìn)生活垃圾分類工作，如圖是某小區(qū)放置的垃圾桶，從左到右依次是綠色：廚余垃圾；藍(lán)色：可回收垃圾；黑色：其他垃圾；紅色：有害垃圾．（1）居民A將一袋廚余垃圾隨手放入一個(gè)垃圾桶，他能正確投放垃圾的概率是．（2）居民B手拎兩袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先將可回收垃圾隨手放入一個(gè)垃圾桶，然后把另一袋垃圾又隨手放入另外的垃圾桶中的一個(gè)．問：兩袋垃圾都投放正確的概率？請(qǐng)畫出樹狀圖或列表說明理由．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩袋垃圾都投放正確的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵共有4個(gè)垃圾桶，∴他能正確投放垃圾的概率是14故答案為：14（2）記廚余垃圾桶為A，可回收垃圾桶為B，其他垃圾桶為C，有害垃圾桶為D，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩袋垃圾都投放正確的結(jié)果有1種，∴兩袋垃圾都投放正確的概率為112【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．題型十題型十概率與幾何圖形相結(jié)合問題【例題10】（2023?太平區(qū)二模）如圖，在一塊正三角形飛鏢游戲板上畫一個(gè)正六邊形（圖中陰影部分），假設(shè)飛鏢投中游戲板上的每一點(diǎn)是等可能的（若投中邊界或沒有投中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，則飛鏢投中陰影部分的概率為（）A．13 B．49 C．12 【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：如圖，根據(jù)等邊三角形和正六邊形的性質(zhì)，可知圖中所有小三角形的面積都相等，∴任意投擲飛鏢一次，飛鏢投中陰影部分的概率為69故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．【變式10-1】（2022?撫順縣一模）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線EF分別交邊AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在這個(gè)平行四邊形上做隨機(jī)投擲圖釘試驗(yàn)，針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是．【分析】用陰影部分的面積除以平行四邊形的總面積即可求得答案．【解答】解：∵四邊形是平行四邊形，∴對(duì)角線把平行四邊形分成面積相等的四部分，觀察發(fā)現(xiàn)：圖中陰影部分面積＝14S四邊形ABCD∴點(diǎn)A落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為14故答案為：14【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了幾何概率，以及平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．【變式10-2】（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A．49 B．23 C．59 【分析】根據(jù)幾何概率的求法：最終停留在黑色的方磚上的概率就是黑色區(qū)域的面積與總面積的比值．【解答】解：觀察這個(gè)圖可知：黑色區(qū)域（5塊）的面積占總面積（9塊）的59則它最終停留在黑磚上的概率是59故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．【變式10-3】（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，一只螞蟻在地板上自由爬行，并隨機(jī)停在某塊方磚上，那么螞蟻?zhàn)罱K停留在三角形區(qū)域上的概率是（）A．720 B．25 C．12 【分析】用黑磚的面積除以總面積即可得出答案．【解答】解：由圖知，若設(shè)方磚的邊長為a，則地板的總面積為5a×4a＝20a2，黑磚的面積為20a2-12（3a×3a+2a×4a+a×5a）＝9a∴小球最終停留在黑磚上的概率是9a故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查幾何概率，求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長度比，面積比，體積比等．【變式10-4】向如圖所示的等邊三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包（區(qū)域中每個(gè)小等邊三角形除顏色外完全相同），沙包隨機(jī)落在某個(gè)等邊三角形內(nèi)．（1）扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是；（2）要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為12【分析】（1）由圖中共有16個(gè)等邊三角形，其中陰影部分的三角形有6個(gè)，利用概率公式計(jì)算可得；（2）要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為12，所以圖形中陰影部分的小等邊三角形要達(dá)到8【解答】解：（1）圖中共有16個(gè)等邊三角形，其中陰影部分的三角形有6個(gè)，∴扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是616故答案為：38（2）涂黑2個(gè)；∵圖形中有16個(gè)小等邊三角形，要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為12∴所以圖形中陰影部分的小等邊三角形要達(dá)到8個(gè)，已經(jīng)涂黑了6個(gè)，∴還需要涂黑2個(gè)；如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個(gè)比例即事件（A）發(fā)生的概率．題型十一題型十一游戲的公平性問題【例題11】（2023?長安區(qū)四模）甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)則如下：如圖是兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A，B，A轉(zhuǎn)，盤中數(shù)字1所對(duì)扇形區(qū)域的圓心角為90°，B轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的三個(gè)扇形，依次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指向的兩個(gè)區(qū)域的數(shù)字之和大于5，則甲獲勝；否則乙獲勝；如果落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，指向的數(shù)字為1的概率是；（2）試用列表或畫樹狀圖的方法說明游戲是否公平．若公平，請(qǐng)說明理由；若不公平，誰獲勝的可能性更大？【分析】（1）求出A盤中數(shù)字1所對(duì)扇形區(qū)域占整體的幾分之幾即可；（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再根據(jù)概率的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵A盤中數(shù)字1所對(duì)扇形區(qū)域的圓心角為90°，∴A盤中數(shù)字1所對(duì)扇形區(qū)域占整體的90360∴轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，指向的數(shù)字為1的概率是14故答案為：14（2）如圖，將A盤4等分，這樣才是指向每個(gè)區(qū)域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中指針指向的兩個(gè)區(qū)域的數(shù)字之和大于5，即甲獲勝的有7種，所以甲獲勝的概率為712，乙獲勝的概率為5所以這個(gè)游戲不公平，甲獲勝的可能性較大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．【變式11-1】（2023?西安校級(jí)三模）有A、B兩組卡片共5張，A組的三張分別寫有數(shù)字2，4，6；B組的兩張分別寫有3，5．它們除了數(shù)字外沒有任何區(qū)別．（1）隨機(jī)從A組抽取一張，求抽到數(shù)字為2的概率；（2）隨機(jī)地分別從A組、B組各抽取一張，請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法表示所有等可能的結(jié)果．現(xiàn)制定這樣一個(gè)游戲規(guī)則：若選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)，則甲獲勝；否則乙獲勝．請(qǐng)問這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方公平嗎？為什么？【分析】（1）三個(gè)數(shù)中抽到數(shù)字為2，故概率是13（2）畫樹狀圖分析甲乙獲勝的概率即可做出判斷．【解答】解：（1）由題知，A組三個(gè)數(shù)中抽到數(shù)字為2，故概率為13（2）不公平，理由如下，畫樹狀圖如下：積61012201830從樹狀圖中可知共有6個(gè)可能的結(jié)果，而所選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù)的機(jī)會(huì)有4個(gè)，∴P（甲獲勝）=4∴P（乙獲勝）=1-2∵P（甲獲勝）＞P（乙獲勝），∴這樣的游戲規(guī)則對(duì)甲乙雙方不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的知識(shí)，掌握概率的知識(shí)分析游戲的公平性是關(guān)鍵．【變式11-2】（2023?灞橋區(qū)校級(jí)開學(xué)）現(xiàn)有電影票一張，明明和磊磊打算通過玩擲骰子的游戲決定誰擁有，游戲規(guī)則是：在一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的每個(gè)面上分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各擲一次骰子，若兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則明明獲勝，電影票歸明明所有；否則磊磊獲勝，電影票歸磊磊所有．（1）明明擲一次骰子，使得向上一面的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)的概率是．（2）這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)用列表或樹狀圖的方法說明理由．【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求出即可；（2）用列舉法或畫樹狀圖法分別求出明明獲勝和磊磊獲勝的概率，若概率相等則公平，否則不公平．【解答】解：（1）∵擲一次骰子有6種等可能的結(jié)果，其中向上一面的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)有2種可能的結(jié)果，∴P（向上一面的點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)）=2故答案為：13（2）不公平，理由如下：列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112一共有36種等可能的結(jié)果，其中兩次朝上的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)有12種可能的結(jié)果，∴P（明明獲勝）=12P（磊磊獲勝）=36-12∵P（明明獲勝）≠P（磊磊獲勝），∴這個(gè)游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，以及游戲的公平性，掌握列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2023秋?寧?？h月考）把大小和形狀完全相同的6個(gè)球分成兩組，每組3個(gè)球．其中一組標(biāo)上數(shù)字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一組標(biāo)上數(shù)字2，3，4后放入不透明的乙盒子，攪勻后，從甲、乙兩個(gè)盒子中各隨機(jī)抽取一個(gè)球．（1）請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩個(gè)球上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率；（2）若取出的兩球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則甲勝，若取出的兩球上的數(shù)字和為偶數(shù)，則乙勝，試分析這個(gè)游戲是否公平？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到甲、乙獲勝的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：（1）列表如下：1232（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）4（1，4）（2，4）（3，4）由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中取出的兩個(gè)球上的數(shù)字都為奇數(shù)的有2種結(jié)果，所以取出的兩個(gè)球上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率為29（2）這個(gè)游戲不公平，理由如下：列表如下：1232345345645657由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩球上的數(shù)字和為奇數(shù)的有5種結(jié)果，和為偶數(shù)的有4種結(jié)果，所以甲獲勝的概率為59，乙獲勝的概率為4∵59∴這個(gè)游戲不公平．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了游戲公平性，用樹狀圖或表格表達(dá)事件出現(xiàn)的可能性是求解概率的常用方法．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式11-4】（2022秋?豐南區(qū)校級(jí)期末）小明和小亮玩一個(gè)游戲：三張大小、質(zhì)地都相同的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，現(xiàn)將標(biāo)有數(shù)字的一面朝下，小明從中任意抽取一張后，小亮再從剩下的卡片中抽取一張．計(jì)算小明和小亮抽得的兩個(gè)數(shù)字之和，如果和為奇數(shù)則小明勝，和為偶數(shù)則小亮勝．（1）請(qǐng)用列表法或樹狀圖等方法求小明獲勝的概率；（2）你認(rèn)為該游戲?qū)﹄p方是否公平？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）將所有可能的情況在圖中表示出來即可；（2）計(jì)算出和為奇數(shù)與和為偶數(shù)的概率，即可得到游戲是否公平．【解答】解：（1）列表如下：小明小亮12312+1＝33+1＝421+2＝33+2＝531+3＝42+3＝5由上表可知，所有等可能的結(jié)果共有6種．（2）∵共有6種等可能的情況數(shù)，其中和為奇數(shù)的有4種，和為偶數(shù)的有2種，P（和為奇數(shù)）=46=23∵23∴這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方是不公平的．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．【變式11-5】（2023?內(nèi)蒙古）如圖，A，B兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是﹣6，﹣1，5，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是6，﹣7，4（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）．小聰和小明同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)A，B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，使之旋轉(zhuǎn)（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次）．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤A指針指向正數(shù)的概率是；（2）若同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤A指針?biāo)傅臄?shù)字記為a，轉(zhuǎn)盤B指針?biāo)傅臄?shù)字記為b，若a+b＞0，則小聰獲勝；若a+b＜0，則小明獲勝；請(qǐng)用列表法或樹狀圖法說明這個(gè)游戲是否公平．【分析】（1）利用概率公式直接求出即可；（2）利用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，分別求出小聰獲勝的概率，以及小明獲勝的概率，再比較概率的大小，如果概率相等則公平，否則不公平．【解答】解：（1）∵A帶指針的轉(zhuǎn)盤被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤上的數(shù)字分別是﹣6，﹣1，5，其中正數(shù)有1個(gè)，∴P（轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤A指針指向正數(shù)）=1故答案為：13（2）列表如下：﹣6﹣1560511﹣7﹣13﹣8﹣24﹣239一共有9種等可能的結(jié)果，其中a+b＞0有4種可能的結(jié)果，a+b＜0有4種等可能的結(jié)果，∴P（小聰獲勝）=4P（小明獲勝）=4∵P（小聰獲勝）＝P（小明獲勝），∴這個(gè)游戲公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，游戲的公平性，掌握列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關(guān)鍵．題型十二題型十二概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的綜合應(yīng)用【例題12】（2023秋?佛山月考）黨的二十大報(bào)告再次將勞動(dòng)教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的重要性；為落實(shí)勞動(dòng)教育，我校在暑假期間組織學(xué)生積極參與“勞動(dòng)最光榮”活動(dòng)，并設(shè)置了四個(gè)勞動(dòng)項(xiàng)目：A．為家人做早飯，B．洗碗，C．打掃，D．洗衣服．要求每個(gè)學(xué)生必須選擇一個(gè)自己最擅長的勞動(dòng)項(xiàng)目，并要堅(jiān)持整個(gè)暑假．為了解全校參加各項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是人；（2）請(qǐng)將上述兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中缺失的部分補(bǔ)充完整；（3）該校參加活動(dòng)的學(xué)生共2600人，請(qǐng)估計(jì)該校參加A項(xiàng)目的學(xué)生有390人；（4）小雯同學(xué)在暑假中養(yǎng)成了很好的勞動(dòng)習(xí)慣，媽媽決定獎(jiǎng)勵(lì)帶她去看兩場電影，已知新上映的四部電影《志愿軍》《汪汪隊(duì)》《孤注一擲》《我是哪吒2》（依次記為a，b，c，d）都深受大家喜愛，很難做出決定，于是將寫有這四個(gè)編號(hào)的卡片（除序號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取兩張卡片．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的概率．【分析】（1）用參加B項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)．（2）用本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)乘以參加C項(xiàng)目的人數(shù)所占的百分比，可求出參加C項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；用參加A項(xiàng)目的人數(shù)除以本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)再乘以100%，可得參加A項(xiàng)目的人數(shù)所占的百分比，補(bǔ)全扇形統(tǒng)計(jì)圖即可．（3）根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用2600乘以本次抽樣調(diào)查中參加A項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．（4）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是45÷37.5%＝120（人）．故答案為：120．（2）參加C項(xiàng)目的人數(shù)為120×25%＝30（人），參加A項(xiàng)目的人數(shù)所占的百分比為18120×100%＝補(bǔ)全兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖如下．（3）估計(jì)該校參加A項(xiàng)目的學(xué)生有2600×15%＝390（人）．故答案為：390．（4）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》，即a和c的結(jié)果有2種，∴抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的概率為212【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，能夠理解條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解答本題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2022秋?龍崗區(qū)校級(jí)期末）我校開展“陽光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球等球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有名；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全市中學(xué)生籃球比賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法分析甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率．【分析】（1）用選擇“籃球”的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；求出選擇“足球”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可．（2）用選擇“排球”的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以360°即可．（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為30÷30%＝100（名）．故答案為：100．選擇“足球”的人數(shù)為35%×100＝35（名）．補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為5100×360°＝故答案為：18°．（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，∴甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率為212【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2023秋?鐘山區(qū)期中）隨著中國第一部反電信詐騙電影《孤注一擲》的熱播，電信詐騙的常見陷阱和欺騙案例著實(shí)令人唏噓，“校園防電信詐騙安全”也受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注．某中學(xué)對(duì)九年級(jí)學(xué)生就防電信詐騙安全知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行了調(diào)查，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如所示的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：（1）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若從對(duì)校園防電信詐騙安全知識(shí)達(dá)到“了解”程度的2名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加“校園防電信詐騙安全”知識(shí)競賽，請(qǐng)用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率；（3）請(qǐng)幫助該校寫一句防電信詐騙的宣傳標(biāo)語．【分析】（1）用了解程度為C的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，再分別減