2022年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案詳解）

2022年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

22

1.已知集合/={x\x—3%+2=0},B={x\x—2%+a—1=0},AB=Bf則a

應(yīng)滿足的條件是()

A.a=1B.a=2C.a=1或Q=2D.a>2

2.已知復(fù)數(shù)Z,3,滿足z2=3=&2,且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限，則|與*|=

'z2+z+l'

()

A.3B.iC.ID.勺

2424

3.已知平面a〃平面氏直線mqa,直線九冬夕，下列結(jié)論中不正確的是()

A.m///?B.n//aC.m//nD.m與九不相交

4.已知角e的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為不軸的正半軸，若/(%,-1)是角。終邊上的一點(diǎn),

且cos0=等，貝收的值為()

A.—2B.2C.-3D.3

5.設(shè)等比數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)和為右,。2=-8,a7=^,則56=()

15

A.-yB.C.yD.y

2222

6.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是()

A.—a=(-x)lB.=腎(x>0)

C.=yjD.[^/(―x)2]J=X2(X<0)

7.若圓C：x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6=0對(duì)稱，則由點(diǎn)(a,b)向

圓C所作的切線長(zhǎng)的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

8.已知函數(shù)/'(X)=a|x|—3a—1,若命題使/(a)=0是真命題，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為()

11

A.(-00,--]B.(-00,--]U(0,+00)

D.(-00,-|)U[-1,0)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.以下四個(gè)命題中真命題是()

A.為了了解800名學(xué)生的成績(jī)，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)

抽樣，則分段的間隔k為40

B.線性回歸直線9=+a恒過樣本點(diǎn)的中心G3)

C.隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(2R2)9>0),若在(—8,1)內(nèi)取值的概率為o.l,則

在(2,3)內(nèi)的概率為0.4

D.概率值為零的事件是不可能事件

10.正方體4BCD-&B1GD1中，EE棱力B的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線

與EF所成角的余弦值可以是()

A包B.立C.辿D.叵

52102

11.已知拋物線C：y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線的斜率為次且經(jīng)過點(diǎn)尸，直線1與

拋物線C交于點(diǎn)4B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在第一象限)、與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)。，若|AF|=4,

則以下結(jié)論正確的是()

A.p=2B.F為AD中點(diǎn)C.\BD\=2\BF\D.\BF\=2

12.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)辭匯，定義如下：在直角坐

標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)4(%1，%)8(%2，%)的曼哈頓距離為:d(A,B)=\xx-x2\+

丫21在此定義下以下結(jié)論正確的是()

A.已知點(diǎn)0(0,0),滿足d(O,M)=1的點(diǎn)M軌跡圍成的圖形面積為2

B.已知點(diǎn)a(一1,0),F2(l,0),滿足d(M,FJ+(M,F2)=4的點(diǎn)M軌跡的形狀為六邊

形

C.已知點(diǎn)&(-1,0),尸2(1,0)，不存在動(dòng)點(diǎn)M滿足方程：|d(M,Fi)-d(M“)|=l

D.已知點(diǎn)M在圓0：/+了2=1上，點(diǎn)可在直線心2x+y-6=0±,則d(M、N)

的最小值為3-在

2

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知雙曲線r：捻-《=19>0/>0)的右頂點(diǎn)為4與x軸平行的直線交r于B,

C兩點(diǎn)，記荏?前=771,若r的離心率為無(wú)，則?n的取值的集合是.

14.若%E(0,7T),則函數(shù)/(x)=sinxcosx+WCOS2X—9的單調(diào)遞減區(qū)間為.

15.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足:/(x+4)=/(x)+f(2),且當(dāng)xG[0,2]時(shí),y=/(x)

單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題：

第2頁(yè)，共22頁(yè)

①/⑵=0；

@x=4是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸；

③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［6,8］上單調(diào)遞增；

④若方程萬(wàn)?=0.在區(qū)間［-2,2］上有兩根為與,不，則/+%2=0?

以上命題正確的是.(填序號(hào))

16.若數(shù)列｛an｝滿足的=1,an+1=2an(nG/V*),則CI4=；前8項(xiàng)的和

S8=.(用數(shù)字作答)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.如圖，在等腰梯形4BCD中，AD//BC,AD=AB=CD=2,BC=4,M,N,Q分

別為BC,CD,AC的中點(diǎn)，以4C為折痕將△4CD折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P位置(P任平

面4BC).

(1)若“為直線QN上任意一點(diǎn)，證明：〃平面2BP；

(2)若直線2B與MN所成角為會(huì)求二面角4-PC-B的余弦值.

如圖，棱錐P—ABC。的底面ABC。是矩形，P41平面

ABCD,PA=AD=AB=2.

(1)求證：BDl￥fflP/lC；

(2)求二面角P-CD-B余弦值的大小.

BC

19.在北方某城市隨機(jī)選取一年內(nèi)40天的空氣污染指數(shù)(4P/)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如

下：

API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300](300,+8)

天數(shù)35810842

(I)已知污染指數(shù)4P/大于250為重度污染，若本次抽取樣本數(shù)據(jù)有9天是在供暖季,

其中有3天為重度污染，完成下面的2x2列聯(lián)表，問有多大把握認(rèn)為該城市空氣重

度污染與供暖有關(guān)？

非重度污染重度污染合計(jì)

供暖季

非供暖季

合計(jì)40

(II)在樣本中，從污染指數(shù)4P/大于250的6天中任取2天，求至少有1天4P/大于300

的概率.

2

2n(ad-bc)

附注:k=(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'?i=Q+b+c+d

P(K2>k)0.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k1.3232.0722.7063.8415.0256.6357.87910.828

第4頁(yè)，共22頁(yè)

20.已知有窮數(shù)列｛an｝共有2k項(xiàng)(整數(shù)kN2),首項(xiàng)的=2,設(shè)該數(shù)列的前n項(xiàng)和為工,

且又==1,2,3，…,2/c-1),其中常數(shù)a>1.

a—1

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=2uT，數(shù)列出"滿足%=9。出(%。2…&1)，(n=1,2,3,...,2k),求證：

1<<2；

(3)若(2)中數(shù)列也｝滿足不等式：|人一11+電―11+…+也k-1-11+也k-

||<4,求k的最大值.

21.已知橢圓E：捺+，=l(a>b>0)離心率為右且經(jīng)過點(diǎn)(0,遮).

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(11)設(shè)直線％=1與橢圓后在》軸上方的交點(diǎn)為時(shí)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若平行于OM的直

線/與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求此公共點(diǎn)的坐標(biāo).

22.已知函數(shù)/(x)=ax?一(口+2)%+仇x,其中a￡R.

(1)當(dāng)Q>0時(shí)，若/(乃在區(qū)間［l,e］上的最小值為一2,求Q的取值范圍;

(2)若對(duì)于任意%2>%1>0,/(%1)-/(%2)<2x2-2%1恒成立，求a的取值范圍.

第6頁(yè)，共22頁(yè)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：集合4={x|x2-3x+2=0}={1,2}

當(dāng)B=0,即：(-2)2-4(a-1)<0,a>2時(shí)，ADB=0=B

當(dāng)BK。時(shí)，4、B不可能相等，故8中的方程要么兩個(gè)解都是1,或兩個(gè)解都是2

由前者得a=2,后者滿足條件的a不存在

故a的取值范圍是：a22.

故選：D.

首先化簡(jiǎn)集合4然后分B=。和B*。兩種情況進(jìn)行討論，即可得出正確答案.

本題主要考查了一元二次方程的解和集合之間的關(guān)系，注意分類討論.

2.【答案】C

【解析】解：設(shè)3=a+bi,根據(jù)3=d得a+bi2一2一2加.?.{\)/

解得J'］或{MS或IK.

_(a=

由Z2=3=6?且復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限，可知{2,

(b=~

|i+e+2,=.汨-爭(zhēng)三+怦+2=.1

1Z2+Z+11―1泊+彖+扛今+J-11+V3i

.i-技__.1-佰,_1

?(1+V3i)(l-V3i)?一?4?一2.

故選：c.

設(shè)3=a+bi,根據(jù)3=^2,可求得3,然后可求得z,最后可求得|皆答

本題考查復(fù)數(shù)模及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】解:

A.由平面a〃平面/?,直線九1/?,貝g〃a,故A正確；

員由平面a〃平面0,直線m?a,則m〃出故B正確

C.由平面a〃平面氏直線m2a,直線n9夕，知：m,n平行或異面，故C錯(cuò)誤，

￡>.由平面a〃平面￡,直線6冬a,直線n^S，知：m,n平行或異面，一定不相交.故

。正確；

故選C.

由平面a〃平面夕，直線m車a,直線知m,n平行或異面.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：由任意角的三角函數(shù)的定義可得皿。=下焉=竿,

解得x=2.

故選：B.

由任意角的三角函數(shù)的定義，通過cos。=%=品=管，由此解得x的值.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，

若d2=-8,a7-則/=則q=一：，

又由a2=—8,則的=二=16,

2

故S6=笑為2=注立號(hào)

q2

故選：C.

根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛為1｝的公比為q,由q5=,求出公比，進(jìn)而求出的,由等比數(shù)列

a2

前幾項(xiàng)和公式計(jì)算可得答案.

第8頁(yè)，共22頁(yè)

本題考查等比數(shù)列的求和，關(guān)鍵求出的和公比q,屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4：-Vx=-X2>故A不成立；

對(duì)于B：》3=，否。>0)，故B成立；

對(duì)于C：y/y2=lyH故C不

對(duì)于。：［V(-x)2F=(-x)3)J=(-x)5>X<0,故。不成立.

故選：B.

根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)判斷即可.

本題考查了指數(shù)基的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：圓c：/+y2+2%-4y+3=0化為(X+1)2+(y-2)2=2,圓的圓心

坐標(biāo)為(-1,2)半徑為VI

圓C：/+y2+2%—4y+3=0關(guān)于直線2ax+by+6-0對(duì)稱，所以(—1,2)在直線上，

可得—2a+2b+6=0,

即a=b+3.

點(diǎn)(a,b)與圓心的距離d=J(a+l)2+(b-2)2,

所以點(diǎn)(a,b)向圓C所作切線長(zhǎng)：所2_「2

=J(a++(b_2尸―2

=+4-+(b—2)2—2

=72(6+l)2+16>4.當(dāng)且僅當(dāng)6=-1時(shí)弦長(zhǎng)最小，最小值為4.

故選：A.

由題意可知直線經(jīng)過圓的圓心，推出a,。的關(guān)系，利用(a,b)與圓心的距離，半徑，求

出切線長(zhǎng)的表達(dá)式，然后求出最小值.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)稱問題，圓的切線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

8.【答案】C

【解析】解：由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，因此只考慮函數(shù)f(x)=ax-3a-l,若命題改()6

[0,1],使/'(殉)=0是真命題，即可得出.

?**(—3a—1)(—2a—1)W0,

解得一:WaW—

故選：C.

由于函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，因此只考慮函數(shù)/(x)=ax—3a—l,若命題三與6[0,1],使

/'(Xo)=0是真命題，即可得出.可得/(0)f(l)S0,解出即可得出.

本題考查了不等式的解法、函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】

【分析】

本題主要考查系統(tǒng)抽樣，線性回歸直線，正態(tài)分布以及概率的知識(shí)，屬于中檔題.

4根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進(jìn)行判斷，B根據(jù)回歸直線的性質(zhì)進(jìn)行判斷，C根據(jù)正態(tài)分布的概

率關(guān)系進(jìn)行判斷，。根據(jù)概率和不可能事件的關(guān)系進(jìn)行判斷.

【解答】

解：為了了解800名學(xué)生的成績(jī)，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，

則分段的間隔k為800+40=20,故A錯(cuò)誤，

線性回歸直線亨=bx+6恒過樣本點(diǎn)的中心G，歷，故B正確，

隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(2,M)9>0),若在(-8,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則在(1,2)內(nèi)

取值的概率為0.5—0.1=0.4,

根據(jù)對(duì)稱性可知，在(2,3)內(nèi)的概率也為0.4,故C正確，

不可能事件的概率為0,但概率值為零的事件是不可能事件不一定正確，故。錯(cuò)誤，

故選：BC.

10.【答案】ABC

第10頁(yè)，共22頁(yè)

【解析】解：因?yàn)檎襟w4BCD-4BiGDi中，z

所以以D為原點(diǎn),為X軸，。。為y軸，DA為z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)邊長(zhǎng)為1,F(O,a,O),4(1,0,0),。式0,0,1),E(l,i,0),

則=(―1,0,1),EF=(-1,<2—pO),

所以cos<AD，EF>=可小2=可工

又因a2—'(1+1=(61—02+121,而OSaWl,所以a2-a+［〈z，

所以COS<砧，前>e倍凈.

故選：ABC.

建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量的方法求出異面直線

與EF所成角的余弦值，從而可判定選項(xiàng).

本題主要考查了利用空間向量的方法解決立體幾何問題，以及異面直線所成角的求解,

同時(shí)考查了二次函數(shù)的最值，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解：如圖,

廣?,0),直線/的斜率為次,則直線方程為y=V3(%-^),

y2=2px

=臼(％_Py得12/-20px+3P2=0.

(y

解得：/=fp?x=；p,

ZBO

由|4F|=|p+g=2p=4,得p=2.

???拋物線方程為必=4x.

XB=H貝!1田尸1=3+l=￡

但必=黑=!=1，A啊=2|BF|,

AO

|BD|+|BF|=(+:=4,則尸為4D中點(diǎn).

???運(yùn)算結(jié)論正確的是4B,C.

故選：ABC.

由題意畫出圖形，寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得4的坐標(biāo)，再由焦半徑公式

求P，進(jìn)一步求出舊可，陽(yáng)。|的值，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中

檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4設(shè)M（x,y）,因?yàn)閐（O,M）=l,所以田+|川=1,

①當(dāng)xy=#0時(shí)，

x+y=l,x>0,y>0

x—y=l,x>0,y<0

—x+y=l,x<0,y>0

—x-y=l,x<0,y<0

易知這是一個(gè)邊長(zhǎng)為迎的正方形，所以面積為（企產(chǎn)=2,故4正確

對(duì)于B,設(shè)因?yàn)閐（M，6）+d（M，6）=4,所以|x-1|++1|+2|y|=4,

①當(dāng)x工±1且y#0時(shí),

f-x—y=2,x<—l,y<0

-x+y=2,x<-l,y>0

1-y=2,-1<%<l,y<0

1+y=2,-1<x<l,y>0'

x-y=2,x>l,y<0

<x+y=2,x>l,y>0

②當(dāng)x=l時(shí)，y=±l；當(dāng)x=-1時(shí)，y=±—1；當(dāng)y=0時(shí)，x=±2；

作出圖象如下圖所示,

第12頁(yè)，共22頁(yè)

所以M點(diǎn)軌跡是一個(gè)六邊形，故B正確.

對(duì)于C,設(shè)M(x,y),因?yàn)閨d(M,尸i)-d(M,F2)|=1,

所以+——=解得x=±T，所以M點(diǎn)的軌跡為兩條直線，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如下圖所示，M為圓。上一點(diǎn)，N為直線1上一點(diǎn)，過“點(diǎn)作x軸的平行線交直線

I與點(diǎn)、D,過N點(diǎn)作x軸的垂線交MD于點(diǎn)C,

當(dāng)M點(diǎn)固定時(shí)，顯然當(dāng)N在D,點(diǎn)上方時(shí)d(M,N)=CM+CN最小，則

d(M,N)=CM+CN=MD-CD+CN,

又因?yàn)镹C>CD,所以d(M,N)=CM+CN=MD—CD+CN)MD,

由幾何關(guān)系易得當(dāng)。M1，時(shí)此時(shí)MD取得最小值，如下圖所不

MDMT(^-1)-3_V5

=—^MDOT=62=3-2

~0HOT

I-

所以d(M,N)=CM+CN=MD-CD+CN>MD>3-浮故。正確.

故選：ABD.

A,B直線去絕對(duì)值作圖；C解絕對(duì)值方程；。先通過固定圓的點(diǎn)來d(M,N)何時(shí)最小值,

進(jìn)而讓圓上的點(diǎn)動(dòng)起來再求出d(M,N)的最小值.

本題考查新定義問題，考查分類討論思想，考查絕對(duì)值方程的解法，考查點(diǎn)到直線的距

離公式，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.

13.【答案】{0}

【解析】解：的離心率為近，

a=b,.?.雙曲線廣：三一［=1化為=。2,

a2b2

設(shè)8(一居y),C(x,y),A(at0),

：?AB-X?=(-%—a,y)?(%—a,y)=a2-x2+y2=0，

/.m=0.

故答案為：{0}.

利用r的離心率為或，可得a=b,雙曲線r：三一1=1化為/—y2=a2,利用向量

az

的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論.

第14頁(yè)，共22頁(yè)

本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中

檔題.

14.【答案】哈，專

【解析】解：/(x)=sinxcosx+V3cos2x—當(dāng)

1..V3Q

=-sino2xH——cos2x

22

=sin(2x+§

令：+2kn<2%+^<y-+2/CTT

解得：專+而4工工.+而

由于：Xe(0,7T),

所以：當(dāng)k=o時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：已爭(zhēng)

故答案為：珠，勻

直接對(duì)三角函數(shù)關(guān)系是進(jìn)行恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整

體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用整體思想求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

屬于基礎(chǔ)題型.

15.【答案】①②③④

【解析】解:①?."(％+4)=/(%)+/(2),令％=-2,則〃-2+4)=/(—2)+/(2),

f(2)=2/(2),解得/'(2)=0,因此①正確;

②由①可知：f(x+4)=f(x),二f(4-x)=f(-X)=f(x),(x=2是函數(shù)/(%)的對(duì)

稱軸，周期T=4,

又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，因此x=4也是其對(duì)稱軸，故正確；

③當(dāng)x6［0,2］時(shí)，y=f(x)單調(diào)遞減，又函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，.?.函數(shù)f(x)在［0,2］時(shí),

、=’(%)單調(diào)遞增.「7=4,二函數(shù)/(乃在區(qū)間［6,8］上單調(diào)遞增，因此正確：

④?.?當(dāng)x6［0,2］時(shí)，y=f(x)單調(diào)遞減，/(2)=0,.?.當(dāng)xe［0,2)時(shí)，/(x)>0,不妨取

%2=2，

則f(%2)=0.同理在區(qū)間［-2,0)上只有/(-2)=0,取/=-2,滿足=0.

可知：%1+%2=-2+2=0.因此正確.

綜上可知：①②③④都正確.

故答案為：①②③④.

①由于/(x+4)=/(%)+f(2),令％=—2,及函數(shù)f(x)是偶函數(shù)即可得出；

②由①可知：f(x+4)=/(x),可得周期7=4,再利用函數(shù)/(%)是偶函數(shù)，關(guān)于y軸

對(duì)稱，可得x=4也是其對(duì)稱軸；

③當(dāng)x6［0,2］時(shí)，y=/(%)單調(diào)遞減，又函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可得函數(shù)f(x)在xC［0,2］時(shí)

單調(diào)遞增.再利用其周期性可得：函數(shù)/(久)在區(qū)間［6,8］上單調(diào)遞增；

④利用當(dāng)x6［0,2］時(shí),y=單調(diào)遞減,/(2)=0,可知：在x€［0,2］時(shí)，只有/(2)=0.

同理在區(qū)間［-2,0)上只有f(-2)=0,即可得出.

本題綜合考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性，考查了推理能力和數(shù)形結(jié)合能力，屬于

難題.

16.【答案】8255

【解析】解：根據(jù)題意,數(shù)列｛%｝滿足的=1>an+i=2an(nGN*),

則數(shù)列｛即｝是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則即=%xqi=2f

故d4=23=8,

前8項(xiàng)的和58=兇匕范=255,

故答案為：8；255.

根據(jù)題意，分析可得數(shù)列｛%?｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，由此計(jì)算可得答案.

本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】(1)證明：連接QM,rM,N,Q分別為BC,CD,4C的中點(diǎn)，

???QM//AB,

又???QMC平面/MB,4Bu平面P4B,

???QM〃平面P4B,

同理，QN〃平面248,

???QMu平面MNQ,QNu平面MNQ,且QMnQN=Q,

二平面MNQ〃平面P4B,

???MHu平面MNQ,

第16頁(yè)，共22頁(yè)

MH〃平面ABP；

(2)解：連接PQ,在△4CD與UBC?中，

由全駭岸理可?得(AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos乙4BC

田余弦定埋"導(dǎo)’&c2=m+加一24。?CD?cosNZDC'

由N4BC與"DC互補(bǔ)，AD=AB=CD=2,BC=4,

解得ZC=2g，于是8c2=AB?+4。2,則4B14C,QMA.AC.

vQM//AB,直線AB與MN所成角為%??./QMN=a

rr

又QM=QN=1,?-?乙MQN=即QM1QN,

又QNCAC=Q,QN、ACu平面4PC,

則QM_L平面力PC,

又QMu平面ABC,

???平面ABC1平面4PC,

Q為AC的中點(diǎn)，PQJ.4C,且平面/BCD平面4PC=4C,

PQ_L平面ABC.

如圖，分別以QM,QC,QP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則B(2,-V5,0),C(0,V3,0)，P(0,0,l),

麗=(2,一百,-1),PC=(0,V3,-l).

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

由卜?哈島-zL。'取yj得"(悔L?

又平面4PC的一個(gè)法向量為沆=(1,0,0),

,一?、mnV21

Acos<m,n>=——=—.

|m|-|n|7

由圖可知二面角4-PC-B的平面角為銳角，

???二面角A-PC-B的余弦值為名.

7

【解析】本題考查直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思

維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角，是中檔題.

(1)連接QM,由三角形中位線定理可得QM〃/18,再由直線與平面平行的判定可得QM〃

平面P4B,同理,QN〃平面P4B,再由平面與平面平行的判定得到平面MNQ〃平面P2B,

進(jìn)一步得到〃平面4BP;

（2）求解三角形證明QM,QC,QP兩兩互相垂直，分別以QM,QC,QP所在直線為x,y,

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC與平面4PC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角

的余弦值可得二面角A-PC-B的余弦值.

18.【答案】解：方法一：證：（1）在RtABAD中，AD=

AB=2,ABC。為正方形，因此BD14C.

???P41平面ABC。，BDu平面ABC。，BD1P4又；

PAQAC=ABD?L平面P4C….（4分）

解：（2）由P41面4BCD,知4。為PD在平面4BCD的射

影，又CC14D,CD_LPC,知NPZM為二面角P-

CD-B的平面角.

又???PA=AD,：.乙PDA=45°.......（8分）

方法二：證：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）、￡＞（0,2,0）、P（0,0,2）

在RtABAC中，AD=2,BO=2近，

.?■AB=2..-.B(2,0,0)、C(2,2,0),

???AP=(0,0,2)函=(2,2,0),麗=(-2,2,0)

■■BD-AP=0,BD-AC=0,即B0_L4P,BD1AC,

又4PnAC=4,BD1平面P4C….(4分)

解：(2)由(1)得而=(0,2,-2),CD=(-2,0,0).

設(shè)平面PCD的法向量為濟(jì)=(x,y,z),則蘇?麗=0,濟(jì)?而=0,

即｛上2In^n-n'"\v?故平面也。的法向量可取為可=(0,1,1)

???PAL平面ABCD,

AP=(0,01)為平面48CD的法向量.

設(shè)二面角P-CD-B的大小為0,依題意可得cos。=|尚襦I=號(hào)?…(8分)

【解析】方法一：（1）證明：8。14。8。1/34然后證明8。_1平面41。.

（2）說明NPZM為二面角P-CD-B的平面角.通過求解三角形推出結(jié)果即可.

方法二：（1）建立如空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過前?存=O.JD-AC=0.

第18頁(yè)，共22頁(yè)

然后證明BD，平面P2C.

(2)求出平面PCD的法向量為沱?=(x,y,z),平面PCD的法向量，設(shè)二面角P-CD-B的

大小為仇利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能

力以及計(jì)算能力.

19.【答案】解：(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)得到如表:

非重度污染重度污染合計(jì)

供暖季639

非供暖季28331

合計(jì)34640

個(gè)的觀測(cè)值不=嘿總察”3.061>2.706,

所以有90%的把握認(rèn)為空氣重度污染與供暖有關(guān);

(2)污染指數(shù)4P/在(250,300)有4天，污染指數(shù)4P/大于300有2天，6天中任取2天，共有

鬣=15種，至少有1天4P/大于300,共有15-廢=9天，

所以在樣本中，從污染指數(shù)4P/大于250的6天中任取2天，至少有1天4P/大于300的概

率為金|.

【解析】(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測(cè)值的公式，代入數(shù)據(jù)做出

觀測(cè)值，同臨界值進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論；

(2)污染指數(shù)AP/在(250,300)有4天，污染指數(shù)ZP/大于300有2天，6天中任取2天，共有

或=15種，至少有1天AP/大于300,共有15-底=9天，即可求出概率.

本題考查概率知識(shí)，考查列聯(lián)表，觀測(cè)值的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

20.【答案】解：(l)Sn=2/①，Sn+i=%?②

a-ia-i

1

②-①得，Sn+1-Sn=%+1=%丁

化簡(jiǎn)整理得，an+2=a-an+1,署=以n>1)

又由已知的=Si=寄，整理得出。2=展％

二數(shù)列｛aj是以a為公比，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)歹U,

通項(xiàng)公式為冊(cè)=2xan-1

⑵由(1)得廝=2a「T

n(n-l)n(n-l)

71nn

:.a1a2cin=2al+2+…+(九-1)=2a―2—=2+21，

bn=；1n++!(n=1,2,...,2k).

???2fc—1>n—1

n—1

:.0<------<1

-2k-1-

即1<<2；

(3)設(shè)bn<|,解得nWk+T，又n是正整數(shù)，于是當(dāng)nWk時(shí)，bn<|；

當(dāng)nNk+1時(shí)，%>|.

原式=(|一瓦)+(|-匕2)+…+(|-尻)+(尻+1-|)+-"+(b2k~|)

=(bk+i+…+b2k)-血+…+bQ

=[今+用-[*+小急

當(dāng)上W4,得k2-8k+4W0,4-26WkW4+25又kN2,

2k—1

???當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí)，原不等式成立.

k的最大值為7.

【解析】(1)要根據(jù)Sn與cm的固有關(guān)系a.=￡i[=1得出即+2=。-即+1，

(sn-sn_in>z

再考慮器的值，判定｛即｝的性質(zhì)去求解.

(2)首先利用(1)的結(jié)論和條件獲得與的表達(dá)式，然后對(duì)aiaz.^n進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)

算即可獲得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)首先利用分類討論對(duì)砥與|的大小進(jìn)行判斷，然后對(duì)所給不等式去絕對(duì)值，即可找到

關(guān)于k的不等式，進(jìn)而問題即可獲得解答.

本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思

想、對(duì)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)以及絕對(duì)值和解不等式的知識(shí).值得同學(xué)們體會(huì)和反思.