重難突破01 三角形的導(dǎo)角模型解析版

重難突破01三角形的導(dǎo)角模型重難突破一、單選題1．（2023春·福建泉州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)O，若∠A=80°，則∠O等于（）

A．40° B．50° C．60° D．80°【答案】B【分析】如圖，由∠A=80°，∠A+∠ACB+∠ABC=180°，可得∠ACB+∠ABC=100°，則∠ECB+∠DBC=180°-∠ACB+180°-∠ABC=260°，由∠CBD、∠BCE的平分線相交于點(diǎn)O，可得∠OCB=1【詳解】解：如圖，

∵∠A=80°，∴∠ACB+∠ABC=100°，∴∠ECB+∠DBC=180°-∠ACB+180°-∠ABC=260°，∵∠CBD、∠BCE的平分線相交于點(diǎn)∴∠OCB=1∴∠OCB+∠OBC=1∴∠O=180°-∠OCB+∠OBC故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．2．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】連接AA'，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC，再根據(jù)∠1=∠DAA'+∠D【詳解】解：如圖，連接AA∵BA'平分∠ABC，CA'平分∴∠A∴∠ABC+∠ACB=2(∠A∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=40°，∵∠1=∠DAA'+∠D∵∠DAA'=∠D∴∠1+∠2=2∠BAC=80°，∵∠1=40°，∴∠2=35°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，正確作出輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．3．（2022春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD和CE是△ABC的兩條角平分線．若∠A=52°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．116° B．126° C．128° D．142°【答案】A【分析】根據(jù)∠A=52°可求出∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，再利用角平分線可知∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB【詳解】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，∵BD和CE是△ABC的兩條角平分線，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-64°=116°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)，找出角之間的關(guān)系．4．（2022秋·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的外角∠BAD的平分線，BF平分∠ABC與AE的反向延長線相交于點(diǎn)F，則∠BFE為（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】C【分析】設(shè)∠ABF=x，根據(jù)BF平分∠ABC得到∠ABC=2x，求出∠DAB=90°+2x，利用AE是∠BAD的平分線，得到∠EAB=45°+x，結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到答案．【詳解】解：設(shè)∠ABF=x，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABF=2x，∵∠C=90°，∴∠DAB=∠C+∠ABC=90°+2x，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠EAB=45°+x，∵∠EAB=∠ABF+∠BFE∴∠BFE=45°故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線計(jì)算，三角形的外角性質(zhì)，綜合考查了分析能力及推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題型．5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州延安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（）

A．90° B．180° C．120° D．360°【答案】B【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠1=∠A+∠C+∠D，再由∠1+∠B+∠E=180°，即可求解．【詳解】解：如圖：

∵∠1=∠2+∠C,∠2=∠A+∠D，∴∠1=∠A+∠C+∠D，∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直角三角形ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，BD、CE相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥BC，過點(diǎn)C作CG⊥DG交DG于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①∠CFB=135°；②∠CDG=2∠BCE；③CA平分∠ECG；④∠AEC=∠ECG．其中正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得出∠DBC+∠ECB=12∠ABC+∠ACB，再求解即可判斷①正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠CDG=2∠BCE，故②正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CA平分∠ECG，故③錯(cuò)誤；根據(jù)∠AEC=90°-∠ACE，以及∠ECG=∠ECA+90°-2∠ECA，得出【詳解】解：∵∠A=90°，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠DBC+∠ECB=1∴∠CFB=180°-∠DBC+∠ECB=180°-1∵DG∥BC，∴∠CDG=∠ACB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCE，∴∠CDG=2∠BCE，故②正確；∵∠AEC=90°-∠ACE，∠ECG=∠ECA+90°-∠CDG∴∠AEC=∠ECG，故④正確；根據(jù)現(xiàn)有條件，無法推出CA平分∠ECG，故③錯(cuò)誤；正確的是①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，平行線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB<∠A,BD是角平分線，BE是邊AC上的高，延長BD與外角∠ACF的平分線交于點(diǎn)G．以下四個(gè)結(jié)論：①∠ABD=∠CBD；②∠ABE+∠A=90°；③∠G=45°；④∠A-∠ACB=2∠EBD．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由三角形的角平分線的含義可判斷①，由三角形的高的含義可判斷②，證明∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF，∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，可判斷③，由2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB，可得2∠BED=180°-2∠DBC+2∠ACB，從而可判斷【詳解】解：∵BD是△ABC角平分線，∴∠ABD=∠CBD，故①符合題意；∵BE是邊AC上的高，∴∠ABE+∠A=90°，故②符合題意；∵BD是△ABC角平分線，CG平分∠ACF，∴∠ABC=2∠GBC，∠ACF=2∠GCF∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠GCF=∠GBC+∠G，∴2∠GCF=2∠GBC+∠A，∴∠G=1∵∠A<90°，∴∠G<45°，故③不符合題意；∵2∠BED=290°-∠ADB，∠ADB=∠DBC+∠ACB∴2∠BED=180°-=180°-=180°-=∠A-∠ACB，故④符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的角平分線與高的含義，三角形的外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．8．（2022春·福建泉州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC的內(nèi)角∠A=α，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得A．12α B．90+12α C【答案】D【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)和角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠A1=α2，∠【詳解】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A∴∠A1BC=又∠A1CD=∠∴∠A∴1∴∠A∵∠A=α，∴∠A同理可得：∠A∴∠A∴∠A故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律探究：圖形的變化類，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，若按圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°【答案】C【分析】如圖，根據(jù)題意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出∠1+∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖．∵△ABC為直角三角形，∠B=90°，∴∠BNM+∠BMN=90°，∵∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，∴∠1+∠2=270°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于得出∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN．10．（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠1的度數(shù)是（

）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】A【分析】直接根據(jù)外角的定義求解即可．【詳解】解：∵∠1是△ABC的外角，∴∠1=30°+40°=70°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．11．（2022春·福建泉州·七年級(jí)晉江市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時(shí)，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A=∠A'，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到∠1=∠DOA+∠A，【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∠A=∠A在△AOD中，∠1=∠DOA+∠A，在△A'OE∴∠1=∠A'+∠2+∠A故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)把角與角之間聯(lián)系起來是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)龍巖二中?？计谥校┤鐖D，∠C=∠A=90°，∠B=25°，則∠D的度數(shù)是（

）A．55° B．35° C．45° D．25°【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等求解即可．【詳解】解：設(shè)AD與BC相交于O，則∠COD=∠AOB，∵∠C+∠COD+∠D=180°，∠A+∠AOB=∠B=180°，∠C=∠A=90°，∴∠D=∠B=25°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角相等，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180°是解答的關(guān)鍵．13．（2022秋·福建莆田·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)在△ABC邊上的位置圖，根據(jù)圖中的符號(hào)和數(shù)據(jù)，則x＋y的值為（）A．110 B．120 C．160 D．165【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠A，再求出y、x即可．【詳解】解：∠A=180-65-75=40°，y=180-40-75=65，x=180-85-40=55，x＋y=65+55=120，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是利用不同的三角形求x、y．14．（2022秋·福建福州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，則∠B＝（

）A．45° B．60° C．50° D．55°【答案】C【分析】由AE平分∠BAC，可得∠BAE和∠EAC相等，由∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，可求得∠EAD的度數(shù)，已知∠BAE和∠EAD，求出∠BAD，在直角三角形ABD中利用兩銳角互余，可求得答案．【詳解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=∠EAD+∠CAD，∴∠EAD=∠BAE-∠CAD=30°-20°=10°，∴∠BAD=∠BAE＋∠EAD=40°∴Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-40°=50°故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形的角平分線、中線和高，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的角平分線、中線和高的相關(guān)知識(shí)．15．（2022春·福建福州·七年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，則∠BAD的大小是（

）A．45° B．40° C．54° D．50°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，利用角平分線定義求出答案．【詳解】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，正確掌握三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·福建三明·八年級(jí)三明一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°【答案】C【詳解】試題分析：解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故選C．考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.17．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門市第十一中學(xué)校考期中）如圖，△ABC中，∠B=∠C=∠EDF=α，BD=CF，BE=CD，則下列結(jié)論正確的是（）A．2α+∠A=180°B．α+∠A=90°C．2α+∠A=90°D．α+∠A=180°【答案】A【詳解】試題解析：A、正確．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C=α，∴2α+∠A=180°．B、錯(cuò)誤．不妨設(shè)，α+∠A=90°，∵2α+∠A=180°，∴α=90°，這個(gè)顯然與已知矛盾，故結(jié)論不成立．C、錯(cuò)誤．∵2α+∠A=180°，∴2α+∠A=90°不成立．D、錯(cuò)誤．∵2α+∠A=180°，∴α+∠A=180°不成立．故選A．18．（2023春·福建三明·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，則∠A等于（

）A．45° B．30° C．60° D．75°【答案】A【分析】設(shè)∠EBD＝x，多次利用等邊對(duì)等角表示出∠A、∠ABC和∠C，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出x即可解決問題．【詳解】解：設(shè)∠EBD＝x，∵DE=EB，∴∠EBD＝∠EDB＝x，∴∠AED＝∠EBD＋∠EDB＝2x，∵AD=DE，∴∠A＝∠AED＝2x，∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝3x，∵BC=BD，∴∠BDC＝∠C＝3x，∵AB=AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，則2x＋3x＋3x＝180°，∴x＝22.5°，∴∠A＝2x＝45°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·福建三明·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D是螳螂的示意圖，已知AB∥DE，∠ABC=120°，∠CDE=72°，則∠BCD的度數(shù)為（A．12° B．22° C．18° D．28°【答案】A【分析】延長ED交BC于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EFB=∠ABC=120°，利用鄰補(bǔ)角的定義求出∠CFD=60°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】延長ED交BC于F，∵AB∥DE，∴∠EFB=∠ABC=120°，∴∠CFD=180°-120°=60°∵∠CDE=72°，∴∠BCD=∠CDE-∠CFD=72°-60°=12°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知三角形紙片ABC中，∠A=69°，∠B=76°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落則在△ABC內(nèi)，若∠1=22°，則∠2的度數(shù)為（

）A．38° B．48° C．58° D．68°【答案】B【分析】延長AD和BE，交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠CED=∠FED，∠CDE=∠FDE，求出∠EDF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DEF的度數(shù)，得到∠CEF的度數(shù)，從而得出∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖，延長AD和BE，交于點(diǎn)F，∵∠A=69°，∠B=76°，∴∠F=180°-69°-76°=35°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠CED=∠FED，∠CDE=∠FDE，∵∠1=22°，∴∠CDF=180°-22°=158°，∴∠FDE=1∴∠FED=180°-79°-35°=66°，∴∠CEF=2∠FED=2×66°=132°，∴∠2=180°-132°=48°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題），三角形內(nèi)角和定理．延長AD和BE，交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和折疊的性質(zhì)求角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題21．（2022秋·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M、N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結(jié)論正確的有【答案】①③④【分析】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB//CD，故①正確；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，

∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②錯(cuò)誤；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF=1∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)及角平分線的定義，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．22．（2022春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∠ACB的外角平分線所在直線與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，與∠ABC的外角平分線相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）①∠BOC=90°+12∠A，②∠D=12∠A，【答案】①②④【分析】由角平分線的定義可得∠OBC＋∠OCB＝12（∠ABC＋∠ACB），再由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠BOC＝90°＋12∠A，即可判定①；由角平分線的定義可得∠DCF＝12∠ACF，，結(jié)合三角形外角的額性質(zhì)可判定②；由三角形外角的性質(zhì)可得∠MBC＋∠BCN＝180°＋∠A，再利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可判定③；利用三角形外角的性質(zhì)可得∠E＋∠DCF＝90°＋∠DBC，結(jié)合∠ABD＝∠DBC【詳解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，∴∠ABD＝∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝12∠∴∠OBC＋∠OCB＝12（∠ABC＋∠ACB∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?∠A，∵∠BOC＋∠OBC＋∠OCB＝180°，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?12×（180°?∠A）＝90°＋12∠A，故∵CD平分∠ACF，∴∠DCF＝12∠ACF∵∠ACF＝∠ABC＋∠A，∠DCF＝∠OBC＋∠D，∴∠D＝12∠A，故②如圖，∵∠MBC＝∠A＋∠ACB，∠BCN＝∠A＋∠ABC，∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°，∴∠MBC＋∠BCN＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝180°＋∠A，∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，∴∠EBC＋∠BCE＝90°＋12∠A∵∠E＋∠EBC＋＋BCE＝180°，∴∠E＝180°?（∠EBC＋＋BCE）＝180°?（90°＋12∠A）＝90°?12∠A，故∵∠DCF＝∠DBC＋∠D，∴∠E＋∠DCF＝90°?12∠A＋∠DBC＋12∠A＝90°＋∠∵∠ABD＝∠DBC，∴∠E＋∠DCF＝90°＋∠ABD．故④正確，綜上正確的有：①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．23．（2022秋·福建莆田·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD是高，BE是∠ABC的平分線，AD，BE交于點(diǎn)F，則∠BEC＝．【答案】85°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBE，然后在△BCE中，利用三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠CBE＝12∠ABC＝12×70°＝在△BCE中，∠BEC＝180°﹣∠CBE﹣∠C＝180°﹣35°﹣60°＝85°．故答案為：85°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．24．（2022春·福建泉州·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線相交于點(diǎn)F，則∠E與∠F的數(shù)量關(guān)系是.【答案】∠E+∠F=180°【詳解】分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，∠ABC=2∠CBF，∠BCD=2∠BCF，由多邊形的內(nèi)角和可得2∠DAE+2∠ADE+2∠CBF+2∠BCF=360°，進(jìn)而得到∠DAE+∠ADE+∠CBF+∠BCF=180°，再結(jié)合△ADE與△CBF的內(nèi)角和即可求解.詳解：∠E與∠F的數(shù)量關(guān)系是∠E+∠F=180°.理由：∵∠BAD的平分線與∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E∴∠BAD=2∠DAE，∠ADC=2∠ADE，∵∠ABC的平分線與∠BCD的平分線相交于F∴∠ABC=2∠CBF，∠BCD=2∠BCF，∵∠BAD+∠ADC+∠ABC+∠BCD=360°,∴2∠DAE+2∠ADE+2∠CBF+2∠BCF=360°∴∠DAE+∠ADE+∠CBF+∠BCF=180°∵∠DAE+∠ADE=180°-∠E，∠CBF+∠BCF=180°-∠F∴180°-∠E+180°-∠F=180°,∴∠E+∠F=180°,故答案為∠E+∠F=180°..點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是求出∠DAE+∠ADE+∠CBF+∠BCF=180°.25．（2022春·福建三明·七年級(jí)三明一中?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，CD是高，CE是角平分線，且∠A＝60°，∠B＝38°，則∠DCE的度數(shù)是．【答案】11°【分析】先在△ABC中求得∠ACB,再由角平分線的性質(zhì)求得∠ACE,在Rt△ACD中，求得∠ACD,進(jìn)一步可求∠DCE的度數(shù).【詳解】在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝38°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=82°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACE=1∵CD是高，∴∠CDE=90°，∴∠ACD=90°-∠A=30°，∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=41°-30°=11°.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，注意結(jié)合角平分線，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查，難度不大.26．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，將∠B、∠C按如圖所示的方式折疊，點(diǎn)B、C均落于邊BC上的點(diǎn)Q處，MN、EF為折痕，若∠A=80°，則∠MQE=度．【答案】80【分析】由折疊的性質(zhì)可知：∠B=∠MQB，∠C=∠EQC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，可求出∠B+∠C的度數(shù)，進(jìn)而得到∠MQB+∠EQC的度數(shù)，問題得解．【詳解】解：∵線段MN、EF為折痕，∴∠B=∠MQB，∠C=∠EQC，∵∠A=80°，∴∠B+∠C=180°-80°=100°，∴∠MQB+∠EQC=∠B+∠C=100°，∴∠MQE=180°-100°=80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，解題的關(guān)鍵是利用整體思想得到∠MQB+∠EQC的度數(shù)．27．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門一中校考期中）如圖，△ABC，∠C=90°，將△ABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)F處，若∠CFD=60°且△AEF為等腰三角形，則∠A的度數(shù)為．【答案】40°或50°【分析】△AEF為等腰三角形，要分類討論：情況一，當(dāng)AE=AF時(shí)，∠AEF=∠AFE=12(180°-∠A)，∠B=∠DFE=90°-∠A，∠AFD=180°-60°=120°，由此即可求解；情況二，當(dāng)AF=EF時(shí)，∠AEF=180°-2∠A，∠AFE+∠EFD=(180°-2∠A)+(90°-∠A)=120°，由此即可求解；情況三，當(dāng)AE=EF時(shí)，點(diǎn)F【詳解】解：情況一：當(dāng)AE=AF時(shí)，∴∠AEF=∠AFE=12在Rt△ABC中，將△ABC沿DE∴∠B=∠DFE=90°-∠A，∵∠CFD=60°，∴∠AFD=180°-60°=120°，即∠AFE+∠EFD=∠AFE+∠B=120°，∴12∴∠A=40°；情況二：當(dāng)AF=EF時(shí)，∴∠AEF=180°-2∠A，同理可知∠AFE+∠EFD=(180°-2∠A)+(90°-∠A)=120°，∴∠A=50°；情況三：當(dāng)AE=EF時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，不符合題意．綜上所述，∠A的度數(shù)是40°或50°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題．28．（2022·福建泉州·校聯(lián)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，若∠A=20°，則∠ADE的度數(shù)是.【答案】50°【分析】首先根據(jù)題意，可得：∠CED=∠B，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠B的度數(shù)，即可求出∠ADE的度數(shù)是多少．【詳解】∵將△ABC沿CD折疊，使點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)E處，∴∠CED=∠B，∵∠ACB=90°，∠A=20°，∴∠B=180°-90°-20°=70°，∴∠CED=70°，∵∠CED=∠ADE+∠A，∴∠ADE=70°-20°=50°．故答案是：50°．【點(diǎn)睛】考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．29．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，將△ABC按如圖方式進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)F重合，折痕分別與AC,AB交于點(diǎn)D，點(diǎn)E．下列結(jié)論：①∠1=∠2；②∠1+∠2=90°；③∠3+∠B=90°；④DF∥AB．其中一定正確的結(jié)論序號(hào)為．【答案】②③/③②【分析】由折疊性質(zhì)可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性質(zhì)得∠A=∠B=∠3=45°，即可得到∠3+∠B=90°；設(shè)∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，可得∠1+∠ADE+∠FED=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，即可推導(dǎo)出∠1+∠2=90°；∠1與∠2不一定相等，DF與AB不一定平行，即可確定答案．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=∠B=∠3=45°，∴∠3+∠B=90°，故選項(xiàng)③正確；設(shè)∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，∴∠1+∠ADE+∠FED=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，由①＋②得：∠1+2α+∠2+2β=∠1+∠2+2(α+β)=360°，∴∠1+∠2=90°，故②正確；∵∠1+∠2=90°，∠1與∠2不一定相等，故①不一定正確；∵點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，不固定，∴DF與AB不一定平行，故④不一定正確．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．30．（2023秋·福建莆田·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，△ABC中，∠A=65°，則∠1+∠2=°．【答案】245【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，然后再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義解答即可．【詳解】解：∵△ABC中，∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠1+∠2=180°-∠ADE+180°-∠AED=360°-∠ADE+∠AED故答案為：245．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°．31．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】360°/360度【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠AGB+∠CJD+∠EHF=180°×3=540°，再由對(duì)頂角相等，可得∠AGB=∠JGH,∠CJD=∠GJH,∠EHF=∠JHG，從而得到【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得：∠A+∠B+∠AGB=180°,∠C+∠D+∠CJD=180°,∠E+∠F+∠EHF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠AGB+∠CJD+∠EHF∵∠AGB=∠JGH,∠CJD=∠GJH,∠EHF=∠JHG，∠JGH+∠GJH+∠JHG=180°，∴∠AGB+∠CJD+∠EHF=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°-180°=360°．故答案為：360°【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．32．（2022·福建福州·統(tǒng)考二模）如圖，∠CO'D的頂點(diǎn)O'落在∠AOB的邊OB上，邊O'C,O'D分別交∠AOB的邊OA【答案】66°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠OEO′＝180°?∠AOB?∠OO′E，∠BO′D＝180°?∠CO′D?∠OO′E，∵∠AOB＝∠CO′D，∴∠BO′D＝∠OEO′，∵∠OEO′＝66°，∴∠BO′D＝66°，故答案為：66°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平角的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．33．（2023春·福建廈門·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AC//BD，BC平分∠ABD，若∠EAF=130°，則∠ACB=．【答案】25°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB=∠CBD，結(jié)合角平分線的定義得到∠ABC=∠CBD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)果.【詳解】解：∵AC//BD，∴∠ACB=∠CBD，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠CBD，∴∠ACB=∠ABC，∵∠EAF=130°=∠CAB，∴∠ACB=（180°-130°）÷2=25°，故答案為：25°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和，難度不大，屬于基礎(chǔ)知識(shí).34．（2022春·福建·七年級(jí)廈門市第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，把一張寬度相等的紙條按圖上所示的方式折疊，則∠1的度數(shù)等于°．【答案】65【分析】利用翻折不變性，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，由翻折不變性可知：∠2=∠3，∵AB∥CD∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∵∠4=180°?130°=50°，∴∠1=∠2=12(180°?50°)=65°故答案為65．【點(diǎn)睛】本題考查翻折、平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折、平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．35．（2022春·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，∠1的度數(shù)為．【答案】120°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和鄰補(bǔ)角，即可解答．【詳解】如圖∵∠3=140°∴∠4=180°-∠3=40°又∠1=∠2+∠4,且∠2=80°∴∠1=120°故答案為：120°【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角，解題關(guān)鍵在于掌握其定義．36．（2022·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,在△ABC中,∠B=∠C,點(diǎn)F為AC上一點(diǎn),FD⊥BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.若∠AFD=158°,則∠EDF的度數(shù)為.【答案】68°【詳解】∵AB=AC∴∠B=∠C∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E∴∠BED=∠FDC=90°∵∠AFD=158°∴∠EDB=∠CFD=180°-158°=22°∴∠EDF=90°-∠EDB=90°-22°=68°37．（2023秋·全國·八年級(jí)課堂例題）如圖，AC⊥BC于點(diǎn)C，BC平分∠ABE，D為BC上一點(diǎn)，DE⊥BE于點(diǎn)E，∠BDE=58°，則∠A=°．

【答案】58【分析】利用三角形內(nèi)角和定理即可得到∠A=∠BDE=58°．【詳解】解：∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠DBE，∵AC⊥BC，∴∠A+∠ABC=90°，∠BDE+∠DBE=90°，∴∠A=∠BDE=58°．故答案為：58．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．38．（2023春·江西南昌·七年級(jí)南昌二中?？计谀┤粢粋€(gè)三角形中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的3倍，則稱這樣的三角形為“和諧三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°,20°,40°的三角形是“和諧三角形”，如圖，∠CAB=90°，∠ABC=60°，當(dāng)△ADC是“和諧三角形”時(shí)，∠DAB的度數(shù)是．

【答案】30°或80°或52.5°或0°．【分析】分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠ADC=3∠C時(shí)；②當(dāng)∠C=3∠CAD時(shí)；③當(dāng)∠ADC=3∠CAD時(shí)；④當(dāng)∠CAD=3∠C時(shí)．根據(jù)“和諧三角形”的定義求解即可．【詳解】解：∵∠CAB=90°，∴∠C=90°-∠ABC=30°．當(dāng)△ADC是“和諧三角形”時(shí)，分四種情況：①當(dāng)∠ADC=3∠C時(shí)，∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=60°，∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=30°；②當(dāng)∠C=3∠CAD時(shí)，∠CAD=10°，∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=80°；③當(dāng)∠ADC=3∠CAD時(shí)，∵∠ADC+∠CAD=180°-∠C=150°∴∠CAD=1∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=52.5°．④當(dāng)∠CAD=3∠C時(shí)，∠CAD=90°，∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=0°．綜上所述，∠DAB的度數(shù)是30°或80°或52.5°或0°．故答案為：30°或80°或52.5°或0°．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，三角形內(nèi)角和定理，理解“和諧三角形”的定義并且能夠應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．39．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了如上圖這樣一個(gè)零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，

【答案】70【分析】延長BE、CF，交于點(diǎn)G，連接AG，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和為360°即可求解．【詳解】解：延長BE、CF，交于點(diǎn)G，連接AG，如圖，

∴∠AGB=180°-∠B-∠BAG，∠AGC=180°-∠C-∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠BAG+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠BAC=253°，∴∠CGB=360°-∠AGB+∠AGC∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．40．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A、∠B、∠E保持不變，經(jīng)研究當(dāng)∠EFD=140°時(shí)最舒適，則圖中∠D應(yīng)為°．

【答案】40【分析】連接DE，在△CDE中，求出∠CDE+∠CED，然后再△FDE中，求出∠FDE+∠FED，即可求解．【詳解】解：連接DE，如圖所示，

∵∠A=50°，∠B=60∴∠ACB=180°-50°-60°=70°，∴∠DCE=∠ACB=70°，∴∠CDE+∠CED=180°-70°=110°，∵∠EFD=140°，∴∠FDE+∠FED=180°-140°=40°，∵∠CED=∠CEF+∠FED，∠CDE=∠CDF+∠FDE，∵∠CDE+∠CED=180°-70°=110°，∴∠CDF+∵∠CEF=30°，∴∠CDF+30∴∠CDF=40°，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和的度數(shù)以及對(duì)頂角相等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．三、解答題41．（2023秋·全國·八年級(jí)課堂例題）如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，判斷∠A，∠C與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】∠A+∠C=2∠E，見解析【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等以及三角形內(nèi)角為180°可得推出∠1+∠A=∠3+∠E①，∠4+∠C=∠2+∠E②，①+【詳解】解：結(jié)論：∠A+∠C=2∠E．證明：由模型可知：∠1+∠A=∠3+∠E，①∠4+∠C=∠2+∠E，②①+②，得∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠A+∠C=2∠E．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等以及三角形內(nèi)角為180°等知識(shí)，總結(jié)模型，得出∠1+∠A=∠3+∠E①，∠4+∠C=∠2+∠E②，是解答本題的關(guān)鍵．42．（2023春·四川宜賓·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=31°，∠C=55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度數(shù)．【答案】∠ADF=78°【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求得∠BAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的內(nèi)角和求得∠AED，再根據(jù)等角的余角相等，即∠ADF的度數(shù)等于∠AED的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B=31°，∠C=55°，∴∠BAC=94°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∴∠AED=∠B+∠BAE=31°+47°=78°，∵AD⊥BC，DF⊥AE，∴∠EFD=∠ADE=90°，∴∠AED+∠EDF=∠EDF+∠ADF，∴∠ADF=∠AED=78°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及其推論、角平分線的定義、等角的余角相等進(jìn)行求解，難度適中．43．（2023春·四川宜賓·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖①，在△ABC中，AE平分∠BAC∠C>∠B，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且FD⊥BC于點(diǎn)D

(1)當(dāng)∠B=45°，∠C=75°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)；(2)若∠B=α，∠C=β，請(qǐng)結(jié)合（1）的計(jì)算猜想∠EFD、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不說明理由；（用含有α、β的式子表示∠EFD）(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)F在AE的延長線上時(shí)，其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明為什么；若不成立，請(qǐng)寫出成立的結(jié)論，并說明為什么．【答案】(1)∠EFD=15°(2)∠EFD=(3)成立，理由見詳解；【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義表示出∠BAE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠AEC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式整理即可得解；（3）結(jié)論仍然成立．根據(jù)（2）可以得到∠AEC=90°+12∠C-∠B【詳解】（1）解：∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠BAC＝∵AE平分∠BAC∠C>∠B∴∠BAE=1由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+30°=75°，∴∠EFD=90°-75°=15°；（2）解：∠EFD=1由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BAC＝∵AE平分∠BAC∠C>∠B∴∠BAE=1由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=α+1∵FD⊥BC，∴∠EFD=90°-∠AEC=90°-90°-1即∠EFD=1（3）解：結(jié)論∠EFD=1同（2）可證，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BAC＝∵AE平分∠BAC∠C>∠B∴∠BAE=1由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEC=∠B+∠BAE=α+1∴∠DEF=∠AEC=90°+1∴∠EFD=90°-90°+即∠EFD=1【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，要注意整體思想的利用．44．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【課本再現(xiàn)】蘇科新版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）第43頁第21題如下：如圖1，∠MON=90°，點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D．【特殊探究】當(dāng)∠OAB=60°時(shí)，∠ADB=__________°；【推理論證】隨著點(diǎn)A、B的運(yùn)動(dòng)，∠ADB的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求∠ADB的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由；

【拓展探究1】如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上分別作∠DAO與∠DBO的平分線，交于點(diǎn)E，則∠AEB=__________°；

【拓展探究2】如圖3，若將圖1中的“∠MON=90°”拓展為一般情況，即∠MON=α，點(diǎn)P是射線OM反向延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，∠OPB與∠OBP的平分線相交于點(diǎn)Q，延長BQ交直線PM于點(diǎn)G，試判斷∠PQG與∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】特殊探究：45推理論證：不會(huì)，∠ADB的度數(shù)為45°拓展探究1：67.5拓展探究2：∠PQG=∠D，理由見解析【分析】特殊探究：根據(jù)已知角度和角平分線，先求出∠ABD和∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD計(jì)算即可；推理論證：設(shè)∠OAB=x，根據(jù)已知角度和角平分線，用含x的代數(shù)式表示∠ABD和∠BAD，再根據(jù)∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD計(jì)算即可；拓展探究1：設(shè)∠OAB=x，根據(jù)已知角度和角平分線，用含x的代數(shù)式表示∠EAB和∠EBA，再根據(jù)∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA計(jì)算即可；拓展探究2：設(shè)∠OAB=m，∠BPA=n，得∠BAD=12m，∠BPQ=12n，表示出∠DBA=180°-12α-12m，∠PBQ=12α-【詳解】特殊探究：∵∠MON=90°，∠OAB=60°，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D，∴∠BAD=12×60°=30°∠NBA=180°-∠OBA=150°，∠CBA=1∴∠ABD=180°-∠CBA=180°-75°=105°，∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=180°-105°-30°=45°，故答案為：45推理論證：設(shè)∠OAB=x，∵∠MON=90°，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D，∴∠BAD=12x，∠OBA=90°-x∠CBA=1∠DBA=180°-∠CBA=180°-45°-1∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=180°-拓展探究1：設(shè)∠OAB=x，∵∠MON=90°，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D，∴∠OAD=∠BAD=12x，∠OBA=90°-x∠DBO=∠NBC=∠CBA=45°+1∵在圖1的基礎(chǔ)上分別作∠DAO與∠DBO的平分線，交于點(diǎn)E，∴∠EAD=1∠EAB=∠EAD+∠BAD=34x∠EBA=∠EBO+∠OBA=112.5°-3∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=180故答案為：67.5拓展探究2：設(shè)∠OAB=m，∠BPA=n，∵∠MON=α，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)D，∠OPB與∠OBP的平分線相交于點(diǎn)Q，延長BQ交直線PM于點(diǎn)G，∴∠PAD=∠BAD=12m∠ABN=180°-∠OBA=α+m，∠DBO=1∴∠DBA=1∴∠D=180°-∠DBA-∠BAD=180°-(180°-1∵∠GPQ=∠BPQ=12n∴∠PBO=180°-∠POB-∠BPG=180∠PBQ=12∴∠PQB=180°-∠BPQ-∠PBQ=180°-1∴∠PQG=180°-PQB=1∴∠PQG=∠D【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形中角的計(jì)算，結(jié)合代數(shù)式表示、三角形內(nèi)角和，根據(jù)圖形推理證明是解題的關(guān)鍵．45．（2023春·河南信陽·七年級(jí)?？计谀厩榫耙搿浚海?）如圖1，BD、CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線，說明∠D=90°+1【深入探究】：（2）①如圖2，BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是______；②如圖3，BD、CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是______．【拓展應(yīng)用】：（3）請(qǐng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在△ABC中，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長線上，BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分別平分∠EBC、∠ECQ．①∠A=80°，則∠F的度數(shù)為______；②∠F=n°，則∠A的度數(shù)為______．

【答案】（1）見解析；（2）①∠D=90°-12∠A，②∠D=12∠A；（3【分析】（1）利用角平分線的定義得出∠1+∠2=1（2）①利用三角形內(nèi)角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，利用角平分線的定義可得∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF，從而得到∠A-2180°-∠D②利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，從而得到∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，化簡即可求解；（3）由（1）知：∠D=90°+12∠A，即可求出∠A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠MBC+∠NCB，再利用角平分線的性質(zhì)可得∠CBE+∠BCE，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠E，再由（2）②【詳解】解：（1）∵BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠1=12∠ABC∴∠1+∠2=1∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-1∴∠D=90°+1（2）①∵BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線，∴∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=180°-2∠DBC，∠ACB=180°-2∠DCB，∴∠A+180°-2∠DBC+180°-2∠DCB=180°，∠DBC+∠DCB=180°-∠D，∴∠A-2∠DBC+∠DCB∴∠A-2180°-∠D∴∠A+2∠D=180°，∴∠D=90°-1故答案為：∠D=90°-1②∵BD、CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，∵∠DCE=∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC=2∠DCE，∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D，∴∠A=2∠D，∴∠D=1所以∠D與∠A之間的等量關(guān)系是：∠D=1故答案為：∠D=1（3）①由（1）知：∠D=90°+1∵∠A=80°，∴∠D=130°，∴∠DBC+∠DCB=50°，∴∠MBC+∠NCB=360°-50°=310°，∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴∠CBE+∠BCE=1∴∠E=180°-155°=25°．由（2）②知：∠F=1∴∠F=1故答案為：12.5°；②由（1）知：∠D=90°+1∵BE、CE分別平分∠MBC、∠BCN，∴2∠EBC+∠ECB∵∠EBC+∠ECB=180°-∠E，∠DBC+∠DCB=180°-∠D，∴2180°-∠E∴∠E=90°-1∴∠F=1∴∠A=180°-8n°．故答案為：180°-8n°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟記三角形外角性質(zhì)，內(nèi)角和定理，角平分線的定義．46．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于180°”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊AC,BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC'=58°，則∠C＝，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC'與∠C的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC'=42°，∠AD(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，若設(shè)∠BEC'的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請(qǐng)求出∠C與【答案】(1)29°，互余(2)31°(3)∠C=【分析】（1）根據(jù)平角定義求出∠CDC'，再利用折疊性質(zhì)即可求出（2）根據(jù)平角定義求出∠CDC'，∠CEC（3）根據(jù)平角定義求出∠CDC'，再利用折疊性質(zhì)即可求出【詳解】（1）解：∵∠ADC∴∠CDC由折疊得：∠CDE=∠C∴∠C=180°-∠EDC-∠DEC=29°，∵∠ADC∴∠ADC'與（2）解：∵∠BEC∴∠CEC由折疊得：∠CDE=∠∴∠C=180°-∠EDC-∠DEC=31°，∴∠C的度數(shù)為31°（3）解：如圖：

∵∠BEC∴∠CEC由折疊得：∠CDE=∠C∴∠C=180°-∠EDC-∠DEC=180°-(90°+1=1∴∠C與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：∠C=1【點(diǎn)睛】本題考擦汗折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．47．（2023秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將∠B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到∠EFD．(1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______；(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)100°；(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，證明見解析．【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折疊的性質(zhì)得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，進(jìn)而可求出∠AEF+∠FDC的度數(shù)；（2）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=180°-∠B，再由折疊的性質(zhì)得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°-∠B，進(jìn)而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系．【詳解】（1）在△BDE中，∠B=50°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=180由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°-(∠BED+∠FED)+180°-(∠BDE+∠FDE)=360°-(∠BDE+∠BED)-(∠FDE+∠FED)=360°-130°-130°=100°．故答案為：100°；（2）∠AEF+∠FDC=2∠B．證明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B．由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°-∠B．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°-(∠BED+∠FED)+180°-(∠BDE+∠FDE)=360°-(∠BDE+∠BED)-(∠FDE+∠FED)=360°-(180°-∠B)-(180°-∠B)=2∠B，即∠AEF+∠FDC=2∠B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．48．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.

(1)若∠B=42°，∠C=78°，求∠DAE的度數(shù)(2)若∠B=α，∠C=βα<β則∠DAE的度數(shù)是_______.（用含α，β【答案】(1)18°(2)∠DAE=【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)即可；根據(jù)AD⊥BC及三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAD的度數(shù)，再由（1）中求出的∠BAE的度數(shù)即可求出∠DAE的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)用∠B、∠C表示出∠BAE的度數(shù)