2023年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模C題月上柳梢頭

2023高教社杯全國高校生數(shù)學(xué)建模競賽

承諾書

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2023高教社杯全國高校生數(shù)學(xué)建模競賽

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月上柳梢頭

摘要

北宋歐陽修喜聞樂見的詩句“月上柳梢頭，人約黃昏后”描寫了詩人與佳人相約的

情景，同時又隱含了相關(guān)天文學(xué)的學(xué)問，情景交融又富含哲理，被世人廣為流傳。本文

首先從天文學(xué)的角度對該詩句進(jìn)行賞析，然后從詩人描寫的情景動身利用相關(guān)的基本天

文學(xué)、物理學(xué)、學(xué)問在適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)模型。

一年當(dāng)中同一地點(diǎn)每天日落月出的時間均不同，而且同一時間不同地點(diǎn)日落月出的

時間也不同，我們把一年當(dāng)中日期的改變轉(zhuǎn)換成太陽直射點(diǎn)高度的改變(-23.26°至

23.26°),把地理位置的不同用經(jīng)緯度來描述，這樣不同日期不同地點(diǎn)日落月出的時間就

可以寫成一個關(guān)于緯度a、經(jīng)度B、太陽直射高度丫的多元函數(shù)Tsun(a,B,丫)和

由于月上柳梢和黃昏同時發(fā)生，所以丫)與

Tmoon(a,B,y)oTsun(a,B,Tmoon

(a,B,丫)時間差在一個很小的范圍之間。而且，經(jīng)過人們長時間的視察結(jié)果顯示，

日落月出同時發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者共線的時間只能在農(nóng)歷的每月15號，

再利用Maple數(shù)學(xué)計算軟件編寫相應(yīng)的程序就可以計算出地球上隨意一位置在農(nóng)歷每

月15號能否發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景。

本文依據(jù)相關(guān)的天文學(xué)資料驗證了我們所建的模型在肯定的誤差范圍內(nèi)是合理的，

并且預(yù)料2023年農(nóng)歷8月15號可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景，依據(jù)

模型推斷出2023年哈爾濱、上海、昆明、成都可以發(fā)生這一場景，烏魯木齊不能發(fā)生

這一場景。最終對所建模型及求解方法的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行客觀評價，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)方

法。

關(guān)鍵詞：Maple、經(jīng)緯度、日落時間函數(shù)、月出時間函數(shù)、線性規(guī)劃

一、問題的重述

“月上柳梢頭，人約黃昏后”是北宋學(xué)者歐陽修的名句，寫的是與佳人相約的情景。

請用天文學(xué)的觀點(diǎn)賞析該名句，并進(jìn)行如下的探討：

1.定義“月上柳梢頭”時月亮在空中的角度和什么時間稱為“黃昏后”。依據(jù)天文學(xué)的

基本學(xué)問，在適當(dāng)簡化的基礎(chǔ)上，建立數(shù)學(xué)模型，分別確定“月上柳梢頭”和“人

約黃昏后”發(fā)生的日期與時間。并依據(jù)已有的天文資料(如太陽和月亮在天空中的

位置、日出日沒時刻、月出月沒時刻)驗證所建模型的合理性。

2.依據(jù)所建立的模型，分析2023年北京地區(qū)“月上柳梢頭，人約黃昏后”發(fā)生的日期

與時間。依據(jù)模型推斷2023年在哈爾濱、上海、廣州、昆明、成都、烏魯木齊是否

能發(fā)生這一情景？假如能，請給出相應(yīng)的日期與時間；假如不能，請給出緣由。

二、基本假設(shè)

1.不考慮月食的形成。

2.假設(shè)天氣晴朗，便于視察。

3.假設(shè)地面平整，不考慮高山、建筑物對視察的影響。

4.將一個城市看成一個質(zhì)點(diǎn)。

5.不考慮太陽落山時云層對太陽光線的散射效應(yīng)。

三、符號約定

1.a緯度

2.B經(jīng)度

3.ysun,一二季度太陽直射點(diǎn)高度函數(shù)(-23.26°~23.26°)

4.ysun2三四季度太陽直射點(diǎn)的高度函數(shù)(-23.26°~23.26。)

5.ymoom前半個月月亮直射的高度函數(shù)(-5.1°~5.1°)

6.丫moon2后半個月月亮直射點(diǎn)的高度函數(shù)(-5.1°~5.1°)

7.Tsun日落時間函數(shù)

8.Tmoon月出時間函數(shù)

9.n,該天在前兩個季度或后兩個季度中天的序數(shù)(譬如5月5日，它是其次季度中的第

五天，ni=105)

10.n2前半個月或者后半個月天的序數(shù)(譬如5月17號，n2=2)

11.0月球每小時相對于地球轉(zhuǎn)過的弧度

12.DT日落月出時間差的肯定值

四、問題分析

1.詩文賞析

《生查子?元夕》

歐陽修

去年元夜時，花市燈如晝。

月上柳梢頭，人約黃昏后。

今年元夜時，月與燈照舊。

不見去年人，淚濕春衫袖。

圖一“月上柳梢頭，人約黃昏后”意境圖

這首詞是一首相思詞，寫去年與情人會面的甜蜜與今日不見情人的苦痛，明白如話,

饒有韻味，也寫出了情人的漂亮和當(dāng)日相戀時的溫馨甜蜜，又寫出了今日伊人不見的悵

惘和悲傷。其中這句“月上柳梢頭，人約黃昏后”隱含天文學(xué)的相關(guān)學(xué)問，間接的告知

了我們詩人與佳人約會的時間，此時正好是農(nóng)歷正月十五日太陽剛落山月亮剛升起的黃

昏佳時?！霸律狭翌^，人約黃昏后”二句言有盡而意無窮。柔情密意溢于言表。

2.月亮在空中的角度和黃昏后時間的定義

假設(shè)柳樹高度為5m,人距柳樹的距離20米,人的身高為1.7m,依據(jù)三角函數(shù)和相像三

角形基本數(shù)學(xué)學(xué)問求出月亮在空中的角度為9.36°.

依據(jù)天文學(xué)學(xué)問和日常視察閱歷定義黃昏后時間為日落到月出的時間差或者月出

到日落的時間差，不超過10分鐘。

3.日落時間的計算

以地球中心為原點(diǎn)0,赤道所在平面為XY平面，東經(jīng)120度指向西經(jīng)60度為Y軸正

方向.球心指向北極為Z軸正方向.有了Y軸與Z軸就可定X軸的方向（從東經(jīng)30度指向

西經(jīng)150度）。

D

圖二圖三

球面方程:片+Y2+Z2=1（設(shè)地球直徑為1）

由于地球繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)時地軸與黃道平面存在一夾角（23026）所以會導(dǎo)致太陽直射

點(diǎn)在北回來線與南回來線之間改變。這時晨昏線與經(jīng)線就會存在肯定的偏差，因此我們

對這一偏差做坐標(biāo)變換進(jìn)行修訂如下：

日出日落時刻圈方程:『+Z'2=1（Z'以Z軸作坐標(biāo)變換）

Z=Z*sin（Y+90）

其中，￥sum=￡端工23.26網(wǎng)

1,2季度太陽直射點(diǎn)高度的變化函數(shù)

180

23.26*711

(23.26-:）*P

Ysun=-------：88.8——3,4季度太陽直射點(diǎn)高度的改變函數(shù)

2180

求緯度為a度時日落時刻與同經(jīng)度下赤道上點(diǎn)的日落時間的差值.先解出緯度為

a度時對應(yīng)的X,Y坐標(biāo).

sina*sin(4+號)*cos(fi+,)

COSp*COSp

y=[-（l-x2—sina*sina）05]

所以，日落時間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)14代表經(jīng)緯度都為0時日落的時

間，其次項的含義是由經(jīng)度引起的時間修正，第三項代表同一經(jīng)度上由維度的改變引起

的時間修正

xsun

p_8arctan?180]

IysunJ

Tsun=14-1----]5p—I----------

P15，

180

4.月出時間的計算

類比日落時間的計算方法，我們就可以寫月出時間關(guān)于經(jīng)緯度及號數(shù)的函數(shù)，但是，在計算月初時間時由于地球在

自轉(zhuǎn)的同時月球還在繞地球轉(zhuǎn)動，所以月亮相對于地球公轉(zhuǎn)的角速度速度為地球自傳角速度減月球繞地球公轉(zhuǎn)的角

速度，如此，我們就可計算出每小時內(nèi)月亮相對于地球轉(zhuǎn)過的角度為：

36?！?)

e

24

同樣的方法我們就可以求解出緯度為a度時對應(yīng)的X,Y坐標(biāo)

/p\(p\

sin(ot)-sinymoon2+--cosymoon2+—

\乙)\乙)

xmoon=-----------------------------------------------------------------

cos(ymoonl)-cos(ymoon2)

ymoon=-(1—xmoon—sin(a)-sin(a))

其中，￥moon尸(懸*九2-5.1)*擊1T5日月亮直射點(diǎn)高度的改變

ymoon尸(5.1-裝*九2)*總16-30日月亮直射點(diǎn)高度的改變

所以，月出時間我們可以寫成如下形式，下式中的常數(shù)2代表經(jīng)緯度都為0時1號月出的

時間，其次項代表每月號數(shù)不同引起的時間改變修正，第三項的含義是由經(jīng)度引起的時

間修正，第四項代表同一經(jīng)度上由維度的改變引起的時間修正

V180

八nqarctan

48尸一BIymoon,)

Tmoon~2+n2-i++

608PP-9

180

5.月出日落時間差

依據(jù)3,4中得出的日落和月出的時間函數(shù)式，我們將其作差，取肯定值。

(xsun、ic八

arctan--------180

P-QIysun)

DT=\Tsun—07?0?！ú?0=60-++〃2?2

P1560

180

(xmoon

arctan---------?180

+尸一BIymoon

0-PP?3

180

假如該差值的差值的改變范圍恰好小于等于我們剛起先定義的“月上柳梢頭，人約黃昏后”這

一場景的時間段，則，可以發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一現(xiàn)象。

經(jīng)過人們長時間的視察結(jié)果顯示，日落月出同時發(fā)生，也就是說地球太陽月球三者

共線的時間只能在農(nóng)歷的每月15號，再利用Maple數(shù)學(xué)計算軟件編寫相應(yīng)的程序以計

算出北京在農(nóng)歷每月15號日落月出的時間差，并畫出了直觀的點(diǎn)狀圖，如下：

北京地區(qū)日落月初時間隨月份變化圖

依據(jù)前面“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的時間段的定義及上圖可知，北京地區(qū)在2023

年農(nóng)歷4月15日和9月15日可發(fā)生上述現(xiàn)象。

6.模型的檢驗及預(yù)料

依據(jù)相關(guān)的文學(xué)資料，詩人寫此詩的地點(diǎn)為今湖北宜昌旁邊，時間為農(nóng)歷正月15S,依據(jù)宜昌

的經(jīng)緯度我們計算出詩人寫詩那一天的日落時間為17:58,月出時間為18:07,時間差為9分鐘，在

肯定的誤差范圍內(nèi)可以發(fā)生詩人所描繪的場景，所以我們所建的模型基本正確。

依據(jù)圖形可以預(yù)料出上海、哈爾濱、烏魯木齊三地區(qū)地區(qū)在農(nóng)歷4月15和9月15可發(fā)生“月

上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景，廣州、成都、昆明可在農(nóng)歷4月15,5月15,8月15日，9月

15可發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景。

五、模型評價及改進(jìn)

本文圍繞“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景在不同地點(diǎn)發(fā)生的時間的計算綻開。本文利用

Maple計算軟件編程求解是該模型的一大優(yōu)點(diǎn)，大大簡化了計算過程并提高了計算精度，另外本模

型的思路較清楚，從基本的建立直角坐標(biāo)系起先，到推導(dǎo)日落月出時間的過程都具體的給出了具體

的計算方法和思索過程，而且，我們在計算時考慮到了白道平面與赤道平面的夾角及地軸的偏轉(zhuǎn)對

日落月出時間造成的影響。所應(yīng)用的方法簡潔、易懂其好用性也很高。

不足之處在于模型志向化，沒有全面的考慮太陽落山時云層對太陽光線的散射效應(yīng)以及期間可能

發(fā)生的月食形成過程，只是具體的計算出了一些特殊的城市發(fā)生“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一

場景的時間。

我們安排后續(xù)會接著考慮已知某一時間干脆求解出可“月上柳梢頭，人約黃昏后”這一場景的經(jīng)

緯度區(qū)間，更加便利直觀的看出那些地區(qū)在這一刻可發(fā)生上述現(xiàn)象。，使得該模型更加完善，從

而讓該模型能得到更加廣泛的運(yùn)用推廣。

參考文獻(xiàn)

[1]姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教化出版社，2023年8月。

⑵劉承平，數(shù)學(xué)建模方法，北京：高等教化出版社，2023年7月。

⑶萬永革，孟曉春，黃猛，趙曉燕月亮高度及升降與方位的計算防災(zāi)技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報,

第五卷第三期2023年9月。

附錄：

>restart;#計算日落月出時間差

>

nl：=45;#每兩個季度中天的序數(shù)

n2：=15;#每月的號數(shù)

P：=3.141592654;

33.7-P…在

a：=I”；#維度

1oU

105.7,P3以加

o一航滸經(jīng)度

n

黑oo6.8ol-23.2)6)/

ysunl：=;#L2季度太陽直射點(diǎn)高度的變化函數(shù)

180

23.26-23g■p

ysun2：=一;#3,4季度太陽直射點(diǎn)高度的變化函數(shù)

180

ymoonl：=835.1).與由1—15日月亮直射點(diǎn)高度的變化;

loU

?.5.1

和°的2：=5.1-因方?n2H;#16—30時月亮直射點(diǎn)高度的變化;

)loU

36°-黑

：=;#每小時月亮相對地球轉(zhuǎn)動的弧度

e24

nl:=45

n2.:=15

P:=3.141592654

a:=0.5881759579

p:=1.844813020

ysunl:=-0.2002387949

ysun2:=0.2002387949

ynioonl:=-0.04390446489

ymoon2:=0.04390446489

6:=14.49324324

>/+7+z2=i；

^+/+^=1

>y2+zl2=1;

y2+z產(chǎn)=1

>zl：=z-sinYsunl+1

zl:=0.9800191087z

>sin(a)-sinlysun2+—I-costysun2+—I

：sun：=----------------\--------r----匕---;-------；