2022年湖南省婁底市婁星區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2022年湖南省婁底市婁星區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（每小題3分，共12小題，滿分36分。請把表示正確答案的字母填入下表中

對應(yīng)的題號下）

1.（3分）-2022的絕對值是（）

A.-2022B.2022C.-ID.2021

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.xi,x3—xB.（a/?3）”=a仲C.x8-rx4=x2D.（2x）3=8x3

3.（3分）李明同學(xué)在“百度搜索引擎中輸入“冬奧會”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果的條數(shù)

約6880萬，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.6.88X105B.6.88X106C.6.88X107D.6.88X108

4.（3分）下列生態(tài)環(huán)保標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（）

QB舟

Ca

5.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.相等的兩個角是對頂角

C.菱形的對角線相等

D.相似三角形的面積比等于相似比

6.（3分）如圖，一塊直角三角尺的一個頂點落在直尺的一邊上，若/1=45°,則N2的度

數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.（3分）如圖,5個完全相同的小正方體組成了一個幾何體，則這個幾何體的主視圖是（)

8.（3分）如圖，正方形ABC。四個頂點都在上,點尸是在弧BC上的一點（P點與C

點不重合），則NCPO的度數(shù)是（）

O

P

A.35°B.40°C.45°D.60°

9.（3分）不等式組卜一3可的解集為（）

[3x+6>0

A.x<3B.x>-2C.-2<xW3D.無解

10.（3分）函數(shù)y=’的大致圖象是（）

x+1

4'

A.IB.

-4一

C.IVD.

11.（3分）已知二次函數(shù)y=o?+fcc+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac<0,?b-2<a<0,

③■-4"cV0,@a-b+c<Q,正確的是()

C.②③D.②④

12.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點P每次沿著與x軸成45°的方向運動，第一

次從原點0向右上方運動1個單位長度到P\（YZ,亞），第二次從點P\向右下方運

22

動1個單位長度到P2（a,0）,第三次從點P2向右下方運動2個單位長度到P3

（2&,-V2）,第四次從點P3向右上方動2個單位長度到P4（3五,0）,第五次從點

P4向右上方運動3個單位長度到P5（生巨，老巨），第六次從點P5向右下方運動3個

22

則尸43的坐標(biāo)為（）

(242&,11V2)

-21V2.)(441V221日)

D.

C,呼2~2~，2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.（3分）正多邊形的一個內(nèi)角等于144°,則該多邊形是正邊形.

14.（3分）從-3.-1,ir,0,3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，恰好是負數(shù)的概率是.

15.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程/-x+優(yōu)-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)相

的取值范圍是.

16.（3分）如圖，邊長為2JEc機的正六邊形螺帽，中心為點O,OA垂直平分邊CC,垂

足為B,AB=l7cm,用扳手擰動螺帽旋轉(zhuǎn)90°,則點A在該過程中所經(jīng)過的路徑長為

cm.

17.（3分）在物理課中，同學(xué)們曾學(xué)過小孔成像：在較暗的屋子里，把一只點燃的蠟燭放

在一塊半透明的塑料薄膜前面，在它們之間放一塊鉆有小孔的紙板，由于光沿直線傳播,

塑料薄膜上就出現(xiàn)了蠟燭火焰倒立的像，這種現(xiàn)象就是小孔成像（如圖1）.如圖2,如

果火焰A8的高度是2cm,倒立的像A'B'的高度為5cm,

蠟燭火焰根8到小孔。的距離為4”“，則火焰根的像夕到0的距離是cm.

fA

ul

18.（3分）規(guī)定：sin（-x）=-sinx,cos（-x）=cosx,sin（x+y）=siru-cosy+cosx,siny.

據(jù)此判斷下列等式成立的是（寫出所有正確的序號）

①cos（-60°）=-_1；

2

②sin75。=逅也1.；

4

③sin2i=2siar?cosjv；

④sin（x-y）=sinx-siny.

三、計算題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.（6分）計算：（2022+兀）°+（A）-2-|亞-2|-2sin45°?

20.（6分）先化簡，再求值：（“-1-空工），并從-1,0,1,2四個數(shù)中，選一

a+1a+1

個合適的數(shù)代入求值.

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）如圖，為了解九年級學(xué)生的體能情況，學(xué)校組織了一次體能測試，并隨機選取

了50名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，得出相關(guān)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（其中部分數(shù)據(jù)不慎丟失，暫用

字母,〃，”表示）.根據(jù)圖表所提供的信息回答下列問題：

成績優(yōu)秀良好合格不合格

人數(shù)m30n5

（1）統(tǒng)計表中的〃z=?n=；并補全統(tǒng)計圖；

（2）若該校九年級有500名學(xué)生，請據(jù)此估計該校九年級學(xué)生體能良好及以上的學(xué)生有

多少名？

（3）根據(jù)以往經(jīng)驗，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，有60%的學(xué)生成績可以上升一個等級，請估

計經(jīng)過訓(xùn)練后九年級學(xué)生的體能達標(biāo)率（成績在良好及以上）.

網(wǎng)

30一.........

25-

20-

15-

10-■…卜十…二;….

優(yōu)秀良好合格不合格成績

22.（8分）如圖，在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，兩名同學(xué)要測量小河對岸大樹BC的高度，甲

同學(xué)在點A測得大樹頂端B的仰角為45°,乙同學(xué)從A點出發(fā)沿斜坡走6粕米到達斜

坡上點。，在此處測得樹頂端點3的仰角為26.7°,且斜坡AF的坡度為1：2.

（1）求乙同學(xué)從點A到點。的過程中上升的高度;

（2）依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)求出大樹8c的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin26.7°弋0.45,cos26.7°20.89,tan26.7°七0.50）

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）為落實“五育并舉”，提升學(xué)生的身體素質(zhì)，婁底某校在課后服務(wù)中大力開展球

類運動，現(xiàn)需要購買一批足球、籃球，已知購買1個足球和1個籃球共需140元；購買2

個足球和3個籃球共需340元.

（1）求每個足球和每個籃球的價格各是多少元；

（2）若該學(xué)校需一次性購買足球、籃球共100個，且購買總資金不超過6800元，學(xué)校

最多可以購買多少個足球？

24.(9分)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與8。相交于點。，點E,F分別為

0B,0。的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

(1)求證：△ABE'S：XCDF；

(2)當(dāng)線段AB與線段AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由.

六、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)

25.(10分)如圖，以A8為直徑的。0,交AC于點E,過點。作半徑。于點G,

連接8。交AC于點F,且FC=BC.

(1)求證：BC是的切線；

(2)若。。的半徑為5,taM=3,求G尸的長.

26.(10分)如圖，已知拋物線y=/+fcv+3與x軸交于4(-1,0)、B(3,0)兩點，與

y軸交于點C,連接8C.

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點P為線段BC上的一動點(不與&C重合)，PM〃y軸，且PM交拋物線于點

M,交x軸于點N,當(dāng)△BCM的面積最大時，求點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時，點/)是拋物線的對稱軸上的動點，在

拋物線上是否存在點E,使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，

請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2022年湖南省婁底市婁星區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共12小題，滿分36分。請把表示正確答案的字母填入下表中

對應(yīng)的題號下）

1.（3分）-2022的絕對值是（）

A.-2022B.2022C.-1D.2021

【解答】解：-2022的絕對值是：2022.

故選：B.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.xi*xi—xB.（abD--atf'C.口.（2x）3=8/

【解答】解：人故4錯誤；

B、（〃/）2=〃2萬6,故B錯誤；

C、故c錯誤；

D、（2x）3=8x3,故。正確；

故選：D.

3.（3分）李明同學(xué)在“百度搜索引擎中輸入“冬奧會”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果的條數(shù)

約6880萬，這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.6.88X105B.6.88X106C.6.88X107D.6.88X108

【解答】解：6880萬=68800（X）0=6.88X107.

故選：C.

4.（3分）下列生態(tài)環(huán)保標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（）

由

?

【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項正確;

B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

。、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

5.（3分）下列命題是真命題的是（）

A.兩直線平行，同位角相等

B.相等的兩個角是對頂角

C.菱形的對角線相等

D.相似三角形的面積比等于相似比

【解答】解：A、兩直線平行，同位角相等，為真命題；

8、相等的兩個角不一定是對頂角，故原命題為假命題；

C、菱形的對角線互相垂直平分，但不一定相等，故原命題為假命題：

。、相似三角形的面積比等于相似比的平方，故原命題為假命題；

故選：A.

6.（3分）如圖，一塊直角三角尺的一個頂點落在直尺的一邊上，若/1=45°,則N2的度

，/3=/1=45°,

VZ2+Z3=90°,

.?.Z2=45°.

故選：B.

7.（3分）如圖,5個完全相同的小正方體組成了一個幾何體，則這個幾何體的主視圖是（）

【解答】解：從正面看第一層是三個小正方形，第二層中間一個小正方形，

故選：D.

8.（3分）如圖，正方形ABC。四個頂點都在。。上，點P是在弧8C上的一點（P點與C

點不重合），則/CP。的度數(shù)是（）

A.35°B.40°C.45°D.60°

【解答】解：連接班），

:四邊形A8CD為正方形，

：.ZDBC=45°,

由圓周角定理得：NCPD=NDBC=45°,

故選：C.

9.（3分）不等式組［x-34f的解集為（

)

13x+6>0

A.xW3B.x>-2

【解答】解：由x-3<0,得：xW3,

由3x+6>0,得：x>-2,

則不等式組的解集為-2<xW3.

故選：C.

【解答】解：y=’的大致圖象是由y=」向左平移1個單位得到,

x+1x

???y=L的圖象是雙曲線，圖象在一、三象限，

X

函數(shù)），=’的大致圖象是D.

x+1

故選：D.

11.（3分）已知二次函數(shù)ynaAfcc+c,的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac<0,?b-2a<0,

A.①②B.①④C.②③D.②④

【解答】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，能得到：?<0,e>0,

/.ac<0.故①正確；

②：對稱軸xV-1,

，-旦<-1,a<0,

2a

:?b<2a,

:?b-2〃VO,故②正確.

③圖象與x軸有2個不同的交點，依據(jù)根的判別式可知房-4改>0,故③錯誤.

④當(dāng)x=-1時，y>0,...a-b+c>0,故④錯誤；

故選：A.

12.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動點。每次沿著與x軸成45°的方向運動，第一

次從原點。向右上方運動1個單位長度到p\（亞，Y2）,第二次從點尸1向右下方運

22

動1個單位長度到P2（a,0）,第三次從點p2向右下方運動2個單位長度到P3

（2&,-V2）,第四次從點P3向右上方動2個單位長度到P4（3近，0）,第五次從點

P4向右上方運動3個單位長度到尸5（生反，司國），第六次從點P5向右下方運動3個

22

C(48372_21V2)D(441V22172)

'-2-'2'-2-'2

【解答】解：由題意：P2(V2-0),P4(3加,0),P6(6&,0)……,P42(231&,

0),

點P43在第四象限，橫坐標(biāo)=231弧+11弧=242近，縱坐標(biāo)為-11J5，

.”43在(242&,-11V2).

故選：A.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.（3分）正多邊形的一個內(nèi)角等于144°,則該多邊形是正十邊形.

【解答】解：設(shè)正多邊形是〃邊形，由題意得

（H-2）X1800=144°n.

解得〃=10,

故答案為：十.

14.（3分）從-3.-1,ir,0,3這五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，恰好是負數(shù)的概率是2.

一5一

【解答】解：?.?在-3.-1,m0,3這五個數(shù)中，負數(shù)有-3和-1這2個，

抽取一個數(shù)，恰好為負數(shù)的概率為2,

5

故答案為：2.

5

15.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)根

的取值范圍是口

4

【解答】解：???關(guān)于X的一元二次方程1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

??.△=（-1）2一4X1X（/w-1）=5-4心0,

4

故答案為：，"<±.

4

16.（3分）如圖，邊長為2的正六邊形螺帽，中心為點O,OA垂直平分邊CC,垂

足為B,A8=17cm,用扳手擰動螺帽旋轉(zhuǎn)90°，則點A在該過程中所經(jīng)過的路徑長為

：NOOC=60°,OD=OC,

.?.△one是等邊三角形，

：.OD=OC=DC=2y[3(cm),

'JOBLCD,

:.BC=BD=M(cm),

OB=\J3BC=3(cm),

\"AB=\lcm,

：.OA=OB+AB^20(.cm),

，點A在該過程中所經(jīng)過的路徑長=處三理=l（hr（an）,

180

故答案為IOTT.

17.（3分）在物理課中，同學(xué)們曾學(xué)過小孔成像：在較暗的屋子里，把一只點燃的蠟燭放

在一塊半透明的塑料薄膜前面，在它們之間放一塊鉆有小孔的紙板，由于光沿直線傳播,

塑料薄膜上就出現(xiàn)了蠟燭火焰倒立的像，這種現(xiàn)象就是小孔成像（如圖1）.如圖2,如

果火焰A8的高度是2cm倒立的像A'B'的高度為5e",

蠟燭火焰根B到小孔。的距離為4CW,則火焰根的像夕到火的距離是10，，".

,JAB//A'B',

.?.△ABOsZWB'O,

則—蛆—=°B,即2=4,

NB，OB'5OB'

解得：OB'=10,

故答案為：10.

18.(3分)規(guī)定：sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,sin(x+y)=sinx?cosy+cosx?siny.

據(jù)此判斷下列等式成立的是②③(寫出所有正確的序號)

①cos(-60°)=-」；

2

②sin75。=近!返：

4

③sin2%=2sinx?cos%；

@sin(x-y)=sinx-siny.

【解答】解：①cos(-60°)=cos600=1,所以①錯誤；

2___

②sin75°=sin(30°+45°)=sin30°?cos450+cos30°?sin450=」X亞+近義亞

_2222

=逅巫，所以②正確；

4

(3)sin2x=sin(x+x)=sinx*cosx+cosx*sinx=2sin^*cosx,所以③正確；

@sin(x-y)=sinxecos(-y)+cosx*sin(-y)=sinx*cosy-cosx*siny,所以④錯誤.

故答案為：②③.

三、計算題(本大題共2小題，每小題6分，共12分)

9(6分)計算：(2022+兀)°+(T)-2T亞-2|-2sin45°?

【解答】解：原式=1+9-(2-V2)-2義返_

2

-1+9-2+72-V2

=8.

20.(6分)先化簡，再求值：_亙_+(a-1-生L),并從-1,0,1,2四個數(shù)中，選一

a+1a+1

個合適的數(shù)代入求值.

2

【解答】解：原式=-—+(里二L-"支)

a+1a+1a+1

=&二a2~~2a

a+1a+1

=a?a+1

a+1a(a-2)

—_—1>

a-2

-1且aWO且a豐2,

則原式=，=-1.

1-2

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.（8分）如圖，為了解九年級學(xué)生的體能情況，學(xué)校組織了一次體能測試，并隨機選取

了50名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計，得出相關(guān)統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（其中部分數(shù)據(jù)不慎丟失，暫用

字母機，〃表示）.根據(jù)圖表所提供的信息回答下列問題：

成績優(yōu)秀良好合格不合格

人數(shù)m30n5

（1）統(tǒng)計表中的，??=5,n—10；并補全統(tǒng)計圖；

（2）若該校九年級有500名學(xué)生，請據(jù)此估計該校九年級學(xué)生體能良好及以上的學(xué)生有

多少名？

（3）根據(jù)以往經(jīng)驗，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，有60%的學(xué)生成績可以上升一個等級，請估

計經(jīng)過訓(xùn)練后九年級學(xué)生的體能達標(biāo)率（成績在良好及以上）.

30..........

25

20

15

10

0T~1

優(yōu)秀良好合格

【解答】解：（1）根據(jù)條形圖可以得到：機=5,

“=50-5-30-5=10,

優(yōu)秀良好合格不合格成績

故答案為：5^10；

（2）估計該校九年級學(xué)生體能良好以上的學(xué)生有500X跑坦=350（人）；

50

（3）根據(jù)題意得：

(35+10X60%)4-50=82%,

答：估計經(jīng)過訓(xùn)練后九年級學(xué)生體能達標(biāo)率為82%.

22.（8分）如圖，在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，兩名同學(xué)要測量小河對岸大樹BC的高度，甲

同學(xué)在點A測得大樹頂端B的仰角為45°,乙同學(xué)從A點出發(fā)沿斜坡走6粕米到達斜

坡上點力，在此處測得樹頂端點8的仰角為26.7°,且斜坡4尸的坡度為1：2.

（1）求乙同學(xué)從點A到點。的過程中上升的高度；

（2）依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)求出大樹BC的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin26.70弋0.45,cos26.7°-0.89,tan26.7°-0.50）

在RtAADH中，

AH2

：.AH=2DH,

'：AH2+DH2=AD2,

：.（2DW）2+DH2=（6遙）2,

.?.rw=6米.

答：乙同學(xué)從點A到點。的過程中，他上升的高度為6米;

(2)如圖所示：過點。作OG_LBC于點G,設(shè)BC=x米，

在RtZ^ABC中，ZBAC=45°,

."C=BC=x米，

由(1)得AH=2DH=12米,

在矩形OGC"中，O"=CG=6米，DG=CH=AH+AC=(x+12)米,

在RtzXBQG中，BG=BC-CG=BC-DH=(x-6)米，

：tan/BZ)G=幽，

DG

x-6^0.5,

x+12

解得：x七24米,

答：大樹的高度約為24米.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.（9分）為落實“五育并舉”，提升學(xué)生的身體素質(zhì)，婁底某校在課后服務(wù)中大力開展球

類運動，現(xiàn)需要購買一批足球、籃球，已知購買1個足球和1個籃球共需140元；購買2

個足球和3個籃球共需340元.

（I）求每個足球和每個籃球的價格各是多少元；

（2）若該學(xué)校需一次性購買足球、籃球共100個，且購買總資金不超過6800元，學(xué)校

最多可以購買多少個足球？

【解答】解：（1）設(shè)足球的單價為x元，籃球的單價為y元，

依題意得：（X+y=14°，

（2x+3y=340

解得：卜=80

]y=60

答：足球的單價為80元，籃球的單價為60元；

（2）設(shè)購買足球機個，則購買籃球（100-/n）個，

依題意得：80m+60（1OO-/77）W6800,

解得：，"W40.

答：學(xué)校最多購買40個足球.

24.（9分）如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與8。相交于點O,點E,F分別為

OB,。。的中點，延長AE至G,使EG=AE,連接CG.

（1）求證：AABE咨ACDF；

（2）當(dāng)線段AB與線段4c滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形EGC尸是矩形？請說明理由.

B

G

【解答】證明：(1)???四邊形48co是平行四邊形，

：.AB=CDfAB"CD,0B=0D,0A=0C,

：./ABE=/CDF,

?:點、E,尸分別為03,0。的中點，

：.BE=l-OBfDF=LOD,

22

:?BE=DF,

在△A8E和△口)尸中，

'AB=CD

,ZABE=ZCDF

BE=DF

AAABE^ACDF(SAS)；

(2)解：當(dāng)4C=2A8時，四邊形EGCb是矩形；理由如下:

VAC=20AfAC=2ABf

：.AB=0Af

YE是05的中點，

???AGJ_OB,

：.ZOEG=90°,

同理：CF_LOO,

：.AG//CF,

:?EG〃CF,

;EG=AE,0A=0Cf

JOE是△ACG的中位線，

J.OE//CG,

:?EF〃CG,

???四邊形EGC/是平行四邊形，

VZOEG=90°,

...四邊形EGCF是矩形.

六、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)

25.(10分)如圖，以為直徑的O。，交AC于點E,過點。作半徑。DLAC于點G,

連接BD交AC于點尸，且FC=BC.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若。。的半徑為5,tanA=3,求GF的長.

【解答】解：(1)證明：'：OB=OD,

；.NOBD=NODB,

,:FC=BC,

:.NCFB=NCBF,

；OD±AC,

/.ZDGF=90°,

：.ZODB+ZDFG=90°

?：ZCFB=NDFG,

：.ZODB+ZCFB=ZOBD+ZCBF=ZOBC=90°,

OBIBC,

；OB是。。的半徑，

；.BC是。。的切線；

(2)如圖，連接8E,

〈AB是。。的直徑,

???NAEB=90°,

VZAGO=90°,

:.OD//BE9

：.ZGDF=ZEBF,

???。0的半徑為5,tanA=3,

4

.'.OA=OD=5yOG=3,AG=4,

:?DG=OD-OG=2,

???在RtZ\A8E中，AB=10,tanA=3,

4

: