2023年高考數(shù)學(xué)大招4等差數(shù)列前

大招4等差數(shù)列前〃項和秒殺

大招總結(jié)

等差數(shù)列中，有S2,i=(2〃-l)a,，此公式在選填中對偶數(shù)項也適用，公式拓展如下：

="3

2

證明：與1=3+%；)(2〃T)=2%(j—

將2〃-1換元為〃即可

運用：S7=7%,56=6/5,你沒看錯,選填里面可以出現(xiàn)％5,我們通過幾個例子來看

看.

典型例題

例1.若等差數(shù)列｛a?｝的前5項和S5=25,且%=3,則為=()

A.12

B.13

C.14

D.15

解：

方法1：設(shè)｛%｝的公差為凡首項為％,由題意得a；-'解得

q+d=3,1”=2，

a7=1+6X2=13,故選B.

方法2:S$=5%=25,/.a3=59a2=3,/.d=%-4=2,%=%+4d=5+8=13,故選B.

例2.(2021秋?番禺區(qū)期末)記S〃為等差數(shù)列｛〃“｝的前〃項和，若

%+為=24,§6=48,則｛4｝的公差為()

A.1

B.2

C.4

D.8

解：

方法1Sn為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，4+%=24,S6=48,

14+34+4+4d=24,

.-.J+6X5八48解得4=-21=4,；.｛?！埃墓顬?.故選。

方法2:4+%=24,a45=12,S6=6a35=48,a35=8,d=a45-a35=4,故選C.

例3.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，若機(jī)〉1,且

%+4+1-dT=o,s2m_,=39,則m等于

A.39

B.20

C.19

D.10

解：

數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則+限=2am，則成-1=0可化為

2冊一%T=°，解得=1.XS2m_]=（2m~r）altl=39,則機(jī)=20.故選B.

例4.（2021-東非市一模）設(shè)等差數(shù)列｛%｝前〃項和為S“，若4+$5=2,S7=14,則

a\o=

A.12

B.14

C.16

D.18

解:

$7=14=7a4,即4=2,又q+S5=2=2+5%,所以。3=。，所以公差

d=%一%=2,《0=%+64=2+12=14.故選B.

例5.(2021秋?拉薩期末)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5“，且

%+%=22,S”=143,若S“>195,則n的最小值為()

A.13

B.14

C.15

D.16

解：

方法1：等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且為+%=22,%=143,

4+2"+q+6d=22

11x10,…解得，4=3,d=2,,

114H------d—143,

2

n(n-\\

S.=3〃H--------x2=〃9~+2n,

t2

a〉195,/.n2+2/7>195,解得〃〈一15或〃>13,.〃￡n的最小值為14.故選B.

方法2:%+%=2a5=22,a5=11,Su=1\a6=143,牝=13,

d=牝一。5=13-11=2,4=%-4d=3,后面過程同方法1

例6.(2021秋?北海期末)在等差數(shù)列｛q｝中，若S”為其前〃項和，若S”(0,Sj0,則

使S“最小的〃的值為()

A.14

B.13

C.8

D.7

解:

方法1：由題意知，兀=(①)=13%<0,兀=14色產(chǎn).)=7(%+%)>(),所以

/(0,?。?.所以當(dāng)〃=7E1寸，S“取得最小值.故選D.

方法2:幾=13%(0,%(0,幾=，所以當(dāng)”=7時，5,取得最小值.故選

D.

例7.(2021秋?隆德縣期末)已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S.,若

§9=54,Q[[+62+々13=27,貝|JS]6=()

A.120

B.60

C.160

D.80

解：

方法1:「等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為5〃,$9=54,即+/+%=27,

3q+33d=27

Anza3()3.3016x153A

解得a,——,d——=16x--------1----------------x—=120.故選A.

16

'77727

方法2:S9=9a$=54,a5=6,61+an+?13=3a,2=27,a%=9,

(…)16=(…)16=[20,故選A.

1622—

例8.(2021秋?替樓區(qū)校級期末-多選)記S“為等差數(shù)列｛〃”｝的前幾項和,若

§5=0,。6=6,則()

A.%=2〃-6

B.an-3n-12

2

C.SH=n-5n

解:

5x4

寸54+h4=°,解得

方法1：S?為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，S5=0,a6=6,.-.

&=q+5d=6

n(n-\\

4=-4,d=2,a”———4+(”—1)x2=2〃—6,S——4〃+-------x2=n~9-5n.

n2

故A和C正確，B和D錯誤。故選AC.

方法2:*=5%=0,。3=°.。6=6,d—9"3"’=2,=%+(〃—3)d=(〃—3)x2=2〃—6,

riln—\]

s=-4n+-^——^x2=〃2-5〃.故A和C正確,B和D錯誤.故選AC.

2

例9.(2021秋?運城期末)若等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S,$=52,4+/=50,則

解：

方法1:設(shè)等差數(shù)列｛",｝的公差為d,由S4=52,4+%=50,得

4a14x31=52

<12，解得q=7,d=4,,所以?！?4〃+3,所以

4+3d+4+6〃=50

%%=43x47=2021;故答案為:2021.

方法2:=4^2,5=52,a=13,%+%=2%5=50,a=25,d=a55~a25=4,

25553

4=出5—L5d=7,c1n=4〃+3,4O〃H=43x47=2021,故答案為2021.

例10.（2021秋?邯鄲期末）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若

%+%=m~2a4,S9=36,則加=

解：

%+為=2%嗎+%=根一2々4，「?相=2（%+4）=4。5?

S9=36=9。5，?二%=4?

加=16.故答案是:16.

例11.(2021秋?常州期末)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且4=3,S7=28.

⑴求｛a,,｝的通項公式；(2)若%,10<a…求Sm的值.

解：

(1)由S7=28可彳生：7a4=28,即2=4，又％=3,

...公差〃=幺二七4-3]_

4-22

/_\._n_2〃+4

4=4+(〃-2)d=3+—=

(2)%例0<冊+1,:."：410<，解得：15<〃&16,m&N*,

20]

i,,s-曳守=.

例12.(2021秋一天期末)在⑴3%+打+々=0,⑵4=4,⑶$3=-27這三個條件

中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的九存在,求實數(shù)九的取值范圍;若問題中

的X不存在,請說明理由.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前幾項和為5?,數(shù)列｛〃｝的前"項和為

卻為="4(=3d-1(〃eN*),是否存在實數(shù)4,對任意neN*都有4,Sn?

解：

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,當(dāng)“=1時，47；=34-1,得4=-1,從而％=-1,當(dāng)幾.2

時,他=4『4h=(3仇-1)-(3%-1)=32-3%,得a=-3%,所以數(shù)列同是

首項為-1,公比為-3的等比數(shù)歹％所以a=-(-3)"，由對任意〃eN*,都有4,S“，當(dāng)

等差數(shù)列｛4｝的前"項和S,存在最小值時,假設(shè)〃=攵時，S“取最小值.

(1)若補(bǔ)充條件是(1)3%+b2+b4=0,因為a=3也=27,從而

a2=一；("+“)=一10，由4=。2+34得4=3,所以

an=4+(〃-1)1=。2+(〃-2)d=-10+3(〃-2)=3〃-16,由等差數(shù)列｛〃〃｝的前n項和

S“存在最小值，則，得葭領(lǐng)Jt與，又4eN*,所以％=5,所以4,55=-35,故實數(shù)4

的取值范圍為(-。,-35〉

(2)若補(bǔ)充條件是(2)a4=b4,由。4=27,即％=27，又。5=4=-1,所以

d=%-%=-1-27=—28;所以

an=4+(〃一l)d=a5+(〃-5)4=-1-28(〃-5)=-28〃+139,由于該數(shù)列｛□〃｝是遞減

數(shù)列,所以不存在攵，使得S〃取最小值,故實數(shù)X不存在.

(3)若補(bǔ)充條件是(3)S3=一27,由S3=3%=-27，得。?=一9,又%=4=-1=%+3d,

所以d=43&=g,所以=4+-l)d=。2+("一2)〃=-9+[(〃-2)=[及一F，

由等差數(shù)列｛4｝的前〃項和S“存在最小值,貝加得至領(lǐng)Jt空，又女eN*,所以％=5,

88

所以存在k=5,使得S,取最小值,所以九,S5=-y,故實數(shù)X的取值范圍為

(_95'

自我檢測

1.(2021秋?南崗區(qū)校級期末)已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，前〃項和為S“，且％=5,則

59=

答案：

根據(jù)題意，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，則S9=9%=45.故答案是：45.

2.已知S,,為等差數(shù)列｛??｝的前〃項和，S產(chǎn)28,?=66,則S9的值為

A.47

B.45

C.38

D.54

答案:

7%+三1=28,

12

方法1：設(shè)公差為d,由S7=28,5,,=66得，-即

「11x1()-

1la,H-------aJ—66,

2

解得｛1=：折以Sg=gx2

9x1+----x1=45.故選B.

2

方法2:S7=28,74=28,%=4,S”=66,11%=66,%=6,%=5,S9=9x5=45.故選

B.

3.已知等差數(shù)列｛afl｝的前〃項和是S〃,S3=9,$6=36,則公差d為

A.6

B.-2

C.9

D.2

答案：

方法1:S3=9,§6=36,/.34+3；2d=9,64+‘；5d=36,解得公差d=2.故

選D.

方法2:S3=9,34=9,a2=3,S6=36,6a35=36,=6,d=——―=2.

3.5—2

4.設(shè)等差數(shù)列｛a,｝的前n項和為S“，若，2=288,S9=162,則S6=

A.18

B.36

C.54

D.72

答案:

方法1：設(shè)等差數(shù)列｛??｝的公差為d,由題意可得

IOX11QxQ

=12a+-^-^(7=288,S9=9a.+^J=162,解得

22

4=2,6?=4,S6=6qH----d=72,故選D.

方法2：Sl2=12a6.5=288,%.5=24,S9=9%=162,%=18,.a65+a35=2%,

。35=2%-〃6.5=12,§6=6〃35=72,故選D.

5.（2021秋?臨沂期末）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為=4,Sg=45,電021=

A.2022

B.2021

C.2019

D.2018

答案：

q+3d=4

方法Ik等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為SW,^4=4,S9=45,/J9X8，

9。］+---d=45

I12

解得a.=l,^=l,/.a2021=1+2020=2021.故選B.

方法2:Sq=9a5=45,a5=5,d=a5—a4=1,q=%—4d=1^021=1+2020=2021.故

選B.

6.（2021秋?泰州期末）已知等差數(shù)列｛4｝前10項的和是310,前20項的和是1220,

則數(shù)列｛q｝的通項公式為

A.an=6/24-2

B.an=6n-2

C.an=4n+2

D.an=4〃-2

答案：

方法1：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,10q+45d=310,20%+1901=1220,解

得：at-4,d-6,an-4+6（〃—1）=6"—2.故選B.

方法2：%=10陽=31（），期=31￡=2（）八=1220,磯=61/=外*=6,

an=0^5+(n—10)d=61+(n—10.5)x6=6n—2故選B.

7.(2021秋?蕪湖期末)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,，4=6,$3=0,則S=

A.0

B.15

C.20

D.30

答案：

q+3d=6

方法l：v等差數(shù)列｛a“｝的前n項和為S,a=6,S=0,.'.<3x2，解

A33a,+---d=()

I2

5x4

得——3,d=3,/.S5=5x(—3)H——x3=15.故選B.

,5x4

方法2:%=6,$3=3%=0,。2=°,解得d=3,a]——3,/.55=5x(—3)H——x3=15.

故選B.

8.(2021秋?青羊區(qū)校級期末)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S〃,且

S?=28,生+%=7,則a6=

A.3

B.4

C.5

D.6

答案：

方法1：設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為

d,邑=28,4+%=7,「?7q+21d=28,2q+4d=7.解得：=^,d=g.貝!j

tz=—+5x—=5故選C.

622

方法2：

S7-7a4=28,%=4,a,+4=2tz3=7,q=3.5,d=—.<26=%+3d—3.5+3x—=5.故選

C.

9.（2021秋?溫州期末）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,，且外國,S530,則4的最

小值是

A.-1

B.0

C.1

D.2

答案:

設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的首項為d,且S5=5a3W,O36,則

%+<7?2at+2d6

%+24京6'；1一4一2"-則的最小值是0,故選B.

10.（2021秋?煙臺期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，若S9=52,S4=22,則

A.4

B.5

C.6

D.7

答案：

方法1:已知等差數(shù)列｛??｝的前〃項和為S”,若S9=52,S4=22,設(shè)等差

數(shù)列的首項為公差為d,由，

$9=4+&+/+&+。5+4+%+融+/=52,=q++。3+4=22,由兩式減

可得(S9-S4)=火+4+/+4+%=5%=52-22,即%=6,故選C.

方法2：

S()=9a5=52,a5=—,S4=4a25=22,%5=",d=———=—,a7=a5+2d=6,故選

922.59

C.此題用大招計算較復(fù)雜，優(yōu)勢不明顯.

11.（2021秋?沙依巴克區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列｛a,J的前〃項和為

S?,a3=7,S4=20,貝?。輆10=

A.25

B.32

C.35

D.40

答案:

丁＜、＞12d=7

方法1：二等差數(shù)列｛??｝的前n項和為S?,a3=7,54=20,.-J

=4%+64=20'

聯(lián)立解得=—l,d=4,.*.al0=a,+9d=—1+36=35,故選C.

方法2：

tz3=7,S4—4a25=20,tz,5=5,d=305*5=4,4=%—Id=—1am=q+9d=—1+36=35

故選C.

12.（2021秋?南關(guān)區(qū)校級期末）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為s,，且

'Sg=9,則%=

A-?

B.1

c-4

D.2

答案:

9（4+3_9（生+%）2V

方法1：由題設(shè)知S=9=

g2

a.=—,故選C.

22

方法2：〃3=9%=9,%=1，。3+%=2〃5，「.%=一g，故選C.

13.(2021?十二模擬)已知等差數(shù)列也｝總是其前〃項和，若品)=q。=10,則

A.%=2

B.%=—2

C.S5=18

D.S5=-20

答案：

、d?、nw2kl(\八%、r,口S=10^,+—X1()X9^/=1()

萬法1：設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,由題意可得p°in12,

4o=a｝+9d=1()

解得a,=-S,d=2,:.a5=q+4d=0,S5=棗詈^=一2(),故選D.

方法2:S=10?=10,a=1,a=10,J=――=2,a=?-9d=-8,后面同法

1055551010—5.5A10

1

14.(2021秋?龍湖區(qū)校級期末)設(shè)S“是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若59=184=30,

則%=

答案：

方法1：設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,由等差數(shù)列的性質(zhì)得，

Sg=—(12~~~—9^5=18,解得a5=ax+4d=2,(1)又a”=4+10d=30,(2)

所以聯(lián)立(1)(2),可得d=-,a]=--f所以S|5=15x[—竺]+受辿

33V3J2

14,

X—=240.故答案為：240.

3

、、上(a,+ae)xl5(a.+a.)xl5

:

方法2:S9=9a5=18,Q5=2,S15=-----------=—------=240.

15.（2021?十二模擬）己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，且q+生=16,%=260,則

5"=

答案：

根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則有％+%=24=16,即

%=8,S[3=13%=260,即%=20,則有d=—~=3則

-mi門,n（3n+l],,Mn（3n+\]

a、=a12d=2,貝！]Sn-na｝+-~-~~~d，故答案為：---.

16.（2021秋?海南期末）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為5,,%=738=-4,則當(dāng)S,

最大時，n

答案：

方法1：設(shè)｛%｝的公差為d,則q+d=7,8q+28d=-4,解得

4=10/=-3,所以4=13-3%所以4>°，。5<°，所以當(dāng)S“最大時，

〃=4.故答案為：4.

方法2:a=7,S=8a=-4,?=--,d=—~=-3,q=%一</=10,剩下同法

2s454524.5—2

1.

17.（2021秋?海珠區(qū)期末）（1）%+%=-4,（2）4+%=-6,（3）S,=14這三個條件中

任選一個,補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的攵存在，求攵的值;若攵不存在,說明理

由.問題:等差數(shù)列｛%｝前“項和為S”%=3,若,是否存在女，使得SQ>“且

s?<Sg?

答案:

若存在3使得Sk7>Sk且S?<S“則以設(shè)等差數(shù)列｛4｝首項

為％,公差為d,若選擇條件⑴：由1%為可得卜64：3解

aA+a5=-A[2q+7d=-4

得9,所以a”=-9+2(〃-l)=2"-ll,"eN*,,<+^,人，解得

[d=2v7[2<2,+6d=-6

q=l

q=—9q+6d=3

d=2'17q+21d=14，可得1

d=—

方法2:57=7%—14,%=2,d=-=§，G=%—6d=1,所以

117

=14--(n-l)=-n+—,/?€N\易知an>0恒成立，所以不存在滿足條件的

k.

18.(2021秋?昌江區(qū)校級期中)等差數(shù)列包｝的前〃項和為S“，已知4=7,S5=5

求｛4｝的通項公式；

求s〃，并求S"的最大值.

答案：

⑴方法1：設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,a,=7,S5=15,.-.5X7+^XJ=15,

解得d=-2.:q=1-2(n-1)=9-2〃.

方法2:S.5=5%=15,%=3,d=%2"=一2，后面同法1(2)

〃(7+9-2〃)=_〃2+8〃=_5_4產(chǎn)+16.可得：當(dāng)〃=4時，S,,取得最大值

2

S4=16.

19.(2021秋?密云區(qū)期中)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S，，，滿足$7=%.

若生=2,求數(shù)列｛?,｝的通項公式及前〃項和S”；

若4<0,且S.,,4,求〃的取值范圍.

答案：

⑴方法1：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為

7x6/

d,S7二%，，？。]+^—"=4+3d,/.4=一3乩a3=2,/.ax+2d=2,解得

/、z、n(n-\\

L

q=6,d=-2,/.an-q=-2〃+8,(〃=1,2,3,?),/.Sn-四~d=

6〃一〃(〃-1)=一〃24-771.

方法2:S7=7a4,又題中S7=a4,.\la4=a4,a4=0,J=a4-a3=-2,