專題14 相似三角形模型-原卷版

專題14相似三角形模型★知識點(diǎn)1：A字型相似【基本模型】①如圖，在中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．典例分析【例1】（2022·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【例2】（2021·江蘇·九年級自主招生）在中，，D為上一點(diǎn)，過D作DEBC交于點(diǎn)E，連接．設(shè)，求的取值范圍．【即學(xué)即練】1．（2021秋·安徽安慶·九年級安慶市石化第一中學(xué)?？计谥校﹫D，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．2．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點(diǎn)，，，，，求CD的長．★知識點(diǎn)2：8字型相似【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．典例分析【例1】（2021秋·江西吉安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)E在對角線上，，過點(diǎn)E的直線分別交，于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)時，的長為________，________；（2）已知．①若，求此時的長；②當(dāng)E，F(xiàn)為的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上時，是否存在滿足的情況？如果存在，請通過分析指出這樣的點(diǎn)的個數(shù)；如果不存在，說明理由．【例2】（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=8，點(diǎn)E、F是對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE=EF=FD，AE的延長線交BC于點(diǎn)G，GF的延長線交AD于點(diǎn)H．（1）求HD的長；（2）設(shè)的面積為a，求四邊形AEFH的面積．（用含a的代數(shù)式表示）即學(xué)即練1．（2021秋·重慶·九年級校聯(lián)考期末）如圖與交于，且．（1）求證：∽．（2）若，，，求的長．2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為這個三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是的邊AB的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點(diǎn)D是的“理想點(diǎn)”，求CD的長．★知識點(diǎn)3母子型相似【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當(dāng)時，，則有．．如圖所示，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當(dāng)時，，則有．典例分析【例1】（2021秋·福建漳州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求的值．【例2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．即學(xué)即練1．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)．△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關(guān)系為______，AD與BE的位置關(guān)系為______；(2)當(dāng)0°＜α≤360°時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請說明理由；(3)△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出運(yùn)動過程中P點(diǎn)運(yùn)動軌跡的長度和P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．★知識點(diǎn)4手拉手型相似【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點(diǎn)P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)、另一點(diǎn)及其旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．典例分析【例1】（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．①求的值；②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．【例2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）觀察猜想(1)如圖1，在等邊中，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等邊，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是______．(2)類比探究如圖2，在等邊中，點(diǎn)M是延長線上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)論還成立嗎？請說明理由．(3)拓展延伸如圖3，在等腰中，，點(diǎn)M是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接，以為邊作等腰，使頂角．連按．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．即學(xué)即練1．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考三模）如圖，和是有公共頂點(diǎn)直角三角形，，點(diǎn)P為射線，的交點(diǎn)．（1）如圖1，若和是等腰直角三角形，求證：；（2）如圖2，若，問：（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）在（1）的條件下，，，若把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，請直接寫出的長度2.（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）（1）問題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長．★知識點(diǎn)5K字型相似【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點(diǎn)，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補(bǔ)充：其他常見的一線三等角圖形典例分析【例1】（2022春·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．【例2】．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知△ABC和△DCE中，AB＝AC，DC＝DE，BF＝EF，點(diǎn)B，C，E都在同一直線上，且△ABC和△DCE在該直線同側(cè)．（1）如圖①，若∠BAC＝∠CDE＝90°，請猜想線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖②，若∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）如圖③，若∠BAC＝α，∠CDE＝180°﹣α，且BC＞CE，請直接寫出線段AF與DF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（用含α的式子表示）．即學(xué)即練1．（2020秋·浙江臺州·九年級天臺實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）【問題情境】如圖①，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長線于點(diǎn).易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交的延長線于點(diǎn).【問題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【類比遷移】如圖③，在等邊中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），將射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)．當(dāng)時，______．2．（2019秋·吉林長春·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點(diǎn)D，以PD為邊在PD右側(cè)作正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時，求t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）作射線PE交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)DF．當(dāng)DF＝4EG時，直接寫出t的值．★知識點(diǎn)6三角形內(nèi)接矩形【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，典例分析【例1】（2022秋·上海嘉定·九年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，在中，，，，矩形的邊在的邊上，頂點(diǎn)、分別在邊、上．

(1)設(shè)，用含的代數(shù)式表示的長，則_______；(2)當(dāng)矩形是正方形時，求的長．【例2】（2022秋·上海青浦·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊三角形鐵板，，高，把這塊鐵板截成一塊矩形，使邊在上，頂點(diǎn)G、H分別在邊上，矩形長與寬之比為，求截得的矩形的周長．即學(xué)即練1．（2023·吉林白山·校聯(lián)考一模）如圖，光源P在水平橫桿AB的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為CD（點(diǎn)P、A、C在一條直線上，點(diǎn)P、B、D在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，點(diǎn)P到橫桿AB的距離是1m，則點(diǎn)P到地面的距離等于m．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長．1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·九年級單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．144．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，，連接BE交AC于點(diǎn)G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．5．（2020秋·貴州貴陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長為（

）

A．3 B． C． D．6．（2019秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，給出下列四個結(jié)論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABF：S四邊形CDEF＝2：5，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2022秋·陜西西安·九年級高新一中校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置邊長分別為3，4，x的三個正方形，則x的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．88．（2021秋·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．9．（2021秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長為10的等邊中，點(diǎn)D在邊上，且，將含角的直角三角板（）繞直角頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交邊于P、Q，連接，當(dāng)時，的長為（

）A．6 B． C． D．10．（2023秋·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，運(yùn)動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當(dāng)以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時，求t值．11．（2021秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．（1）求證：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．12．（2021秋·湖南永州·九年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，求證：；（2）如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在直線的同側(cè)，，，，，求的值；（3）如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，，，點(diǎn)在邊上，連接，，，求的值．13