高中數(shù)學專題“計數(shù)原理”教學研究

高中數(shù)學“計數(shù)原理”教學研究一、對“計數(shù)原理”教學知識的深層次理解計數(shù)問題是數(shù)學中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題問題的最基本、最重要的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多的實際問題提供了思想和工具.在本章學生將學習計數(shù)基本原理、排列、組合、二項式定理及其應(yīng)用，進行了解計數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，會解決簡單的計數(shù)問題.（一）知識結(jié)構(gòu)圖1．返璞歸真地看兩個計數(shù)原理，它們實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的推廣，它們是解決計數(shù)問題的理論基礎(chǔ)．分類加法計數(shù)和分步乘法計數(shù)是處理計數(shù)問題的兩種基本思想方法．2．排列、組合是兩類特殊而重要的計數(shù)問題，而解決它們的基本思想和工具就是兩個計數(shù)原理．教科書從簡化運算的角度提出排列與組合的學習任務(wù)，通過具體實例的概括而得出排列、組合的概念；應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理得出排列數(shù)公式；應(yīng)用分步計數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式．對于排列與組合，有兩個基本想法貫穿始終，一是根據(jù)一類問題的特點和規(guī)律尋找簡便的計數(shù)方法，就像乘法作為加法的簡便運算一樣；二是注意應(yīng)用兩個計數(shù)原理思考和解決問題．3．二項式定理的學習過程是應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決問題的典型過程，其基本思路是“先猜后證”．如可以通過對中n取1，2，3，4的展開式的形式特征的分析而歸納得出；或者直接應(yīng)用兩個計數(shù)原理對展開式的項的特征進行分析．這個分析過程不僅使學生對二項式的展開式與兩個計數(shù)原理之間的內(nèi)在聯(lián)系獲得認識的基礎(chǔ)，而且也為證明猜想提供了基本思路.（二）“計數(shù)原理”在高中數(shù)學知識體系中的地位和作用為了更好的把握計數(shù)原理的要求，首先需要明確整體定位.標準對計數(shù)原理這部分內(nèi)容的整體定位如下：“計數(shù)問題是數(shù)學中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際提供了思想和工具.在本摸塊中，學生將學習計數(shù)基本原理、排列、組合、二項式定理及其應(yīng)用，了解計數(shù)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，會解決簡單的計數(shù)問題.”為了更好的理解整體定位，需要明確以下幾個方面的問題：（Ⅰ）兩個基本計數(shù)原理是計數(shù)原理的開頭課，學習它所需的先行知識與學生已熟知的數(shù)學知識聯(lián)系很少，通常教師們或者感覺很簡單，一帶而過；或者感覺難以開頭.中學數(shù)學課程中引進的關(guān)于排列、組合的計算公式都是以分類加法計數(shù)和分步乘法計數(shù)原理為基礎(chǔ)的，而一些較復雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開兩個基本計數(shù)原理，因此必須使學生學會正確地使用兩個基本計數(shù)原理，學會正確地使用基本計數(shù)原理是這一章教學中必須抓住的一個關(guān)鍵.（Ⅱ）正確使用兩個基本原理的前提是要學生清楚兩個基本原理使用的條件.而原理中提到的分步和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導學生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨立.（Ⅲ）分類加法計數(shù)原理，分步乘法計數(shù)原理，單純這點學生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進行分類、分步，特別是在分類時必須做到既不重復，又不遺漏，找到分步的方法有時是比較困難的，這就要著重進行訓練.（三）教學的重點和難點分析1．本章的重點是分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，排列和組合的意義，以及排列數(shù)、組合數(shù)計算公式，二項式定理.2．本章的主要難點是如何正確運用有關(guān)公式解決應(yīng)用問題.在解決問題時，由于對問題本身和有關(guān)公式的理解不夠準確，常常發(fā)生重復和遺漏計算、用錯公式的情況.為了突破這一難點，教學中應(yīng)強調(diào)一些容易混淆的概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，強調(diào)運用各個公式的前提條件，并對學生計算中出現(xiàn)的一些典型錯誤進行認真剖析.二、“計數(shù)原理”的教學策略第五，在中，共有種不同的同類項，根據(jù)加法原理，其展開式為：（a+b）n=.這樣，我們就通過乘法原理和加法原理證明了二項式定理，這是一種構(gòu)造性的證明，即可以探索出問題的結(jié)果，同時可以證明出結(jié)果的正確性.4．如何理解“會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.”結(jié)合“楊輝三角”和從函數(shù)的角度來分析二項式系數(shù)的一些性質(zhì)（①對稱性②增減性與最大值③各二項式系數(shù)的和），在探究以上性質(zhì)的過程中，實際上是二項式定理的應(yīng)用，在教學中列舉實例，將二項式系數(shù)的性質(zhì)充分應(yīng)用.（三）教學中的幾個思維要點要點1：簡單的計數(shù)問題討論是有限集合所含元素的個數(shù).排列數(shù)、組合數(shù)都是特定集合所含元素的個數(shù)，在討論簡單計數(shù)問題時，應(yīng)明確所討論的集合中元素的基本特征，這是解決簡單計數(shù)問題的基點.要點2：正確使用基本計數(shù)原理是學習本部分內(nèi)容的關(guān)鍵.中學數(shù)學課程中關(guān)于排列組合的計算公式都是以基本的計數(shù)原理為基礎(chǔ)的，而一些較復雜的排列組合應(yīng)用問題的求解，離不開兩個計數(shù)原理，兩個基本的計數(shù)原理是解決簡單計數(shù)問題的通性通法，排列問題、組合問題以及二項式定理等都是依賴這些通性通法解決的.要點3：理解兩個基本計數(shù)原理使用的條件是正確使用兩個基本計數(shù)原理的前提.對于計數(shù)原理中的分布和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，需要教師引導，幫助學生找到分類和分步的特征和要求：分類要“類類互斥”，分步要“步步獨立”.（四）典型例題的教學1．分清兩個原理掌握分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是復習好本章的基礎(chǔ).其應(yīng)用貫穿于本章的始終.正確運用兩個原理的關(guān)鍵在于：（1）先要搞清完成的是怎樣的“一件事”.例1.4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？分析：要完成的是“4名同學每人從三個項目中選報一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是應(yīng)按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有：3×3×3×3=34=81種報名方法.例2.4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？分析：完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步.而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有4×4×4=43=64種可能的情況.例3.乘積（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？分析：因為展開后的每一項為第一個括號中的一個，第二括號中的一個與第三個括號中的一個的乘積，所以應(yīng)分三步m1=3,m2=4,m3=5，于是展開后共有m1×m2×m3=3×4×5=60項.例4.有4部車床，需加工3個不同的零件，其不同的安排方法有（）A.34B.43C43D.4分析：事件為“加工3個零件”，每個零件都加工完這件事就算完成，應(yīng)以“每個零件”分步，共3步，而每個零件能在四部車床中的任一臺上加工，所以有4種方法，于是安排方法為4×4×4=43=64種，故選B.例5.5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學可自由選擇，則不同的選擇種數(shù)是（）A.54B.45C.5×4×3×分析：因為5名同學都去聽講座，這件事才能完成，所以應(yīng)以同學進行分步，又因為講座是同時進行的，每個同學只能選其中一個講座來聽，于是有4種選擇，當完成時共有4×4×4×4×4=45種不同的選法，故選B.例6.設(shè)集合A=，B=，則從A集到B集所有不同映射的個數(shù)是（）A.81B.64C.12D.以上都不正確分析：因映射為從A到B，所以A中每一元素在B中應(yīng)有一元素與之對應(yīng)，也就是A中所有元素在B中都有象，因此，應(yīng)按A中元素分為4步，而對于A中每一元素，可與B中任一元素對應(yīng)，于是不同對應(yīng)個數(shù)應(yīng)為3×3×3×3=34=81，故選A.(2)明確事件需要“分類”還是“分步.例7．用1,5,9,13任意一個數(shù)做分子，4，8，12，16中任意一個數(shù)作分母，可構(gòu)造多少個不同的分數(shù)？可構(gòu)造多少個不同的真分數(shù)？解：由分步計數(shù)原理，可構(gòu)造N=44=16個不同的分數(shù)由分類計數(shù)原理，可構(gòu)造N=4+3+2+1=10個不同的真分數(shù)例8.已知集合，，映射,當且時，為奇數(shù)，則這樣的映射f的個數(shù)是（）A．10個B．18個C．32個D．24個分析當取-1時，，共有4種取法；當取0時，，有2種取法；當取1時，,顯然是奇數(shù)，共有4種選法.因此，這樣的映射f的個數(shù)是是：種.(3)“分類”是要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性.“分步”時要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性.例9.小李有10個朋友，其中兩人是夫妻，他準備邀請其中4人到家中吃飯，這對夫妻或者都邀請，或者都不邀請，有幾種請客方法?解：請客方法以“這對夫妻是否被邀請”可分兩類：(1)請其中的夫妻二人，則還須從余下的8人中選請2個，有種方法.(2)不請其中的夫妻二人，則應(yīng)從其余的8人中選請4人，有種方法.由分類計數(shù)原理請客方法共有＋＝98種.例10.有10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)如下結(jié)果.①4只鞋子沒有成雙的；②4只鞋中有2只成雙，另兩支不成雙.解：①從10雙鞋子中選取4雙，有種不同選法；再在每雙鞋子中各取一只，分別有取法，根據(jù)乘法原理，選取種數(shù)為：N==3360（種）②方法1：先選取一雙有種選法，再從9雙鞋種選取2雙鞋有種選法，每雙鞋各取一只，有種選法，根據(jù)乘法原理，選取種數(shù)為：N==1140（種）方法2：先選取一雙有種選法，再從18只鞋中選取2只鞋有，而其中成雙的可能性有9種，根據(jù)乘法原理，選取種數(shù)為：N=（-9）例11.有紅、藍、綠三種顏色的卡片，每種顏色均有A、B、C、D、E字母的各一張，現(xiàn)每次取出四張，要求字母各不相同，三種顏色齊備，問有多少種不同的取法?分析：每次取出四張，所以有一種顏色的卡片取兩張，這種顏色的取法數(shù)有，確定了顏色之后，再在這種顏色里取兩個字母，方法數(shù)有；最后，在剩下的兩種顏色的卡片及每種顏色下的三個字母中分別取一個，方法數(shù)有：故N=.2.分清是排列問題還是組合問題這兩個概念共同點都是指從n個不同元素中進行不重復抽取的情況.分清一個具體問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵在于看從n個不同元素取出m（mn）個元素是否與順序有關(guān)，有序就是排列問題，無序則屬于組合問題.例12．某街道有十只路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：問題等價于在七只亮著的路燈產(chǎn)生的六個空檔中放入三只熄掉的路燈，因此滿足條件的關(guān)燈方法有種.例13.有7名同學排成一排，甲同學最高，排在中間，其它六名同學身高不相等，甲的左邊和右邊以身高為準，有高到低排列，共有排法總數(shù)是分析：此問題相當于求六個元素中取出三個元素的組合數(shù).所以滿足條件的排法有：例14.從12名隊員中組隊打籃球比賽，要求其中一隊的年齡最小的隊員也比另一隊中年齡最大的隊員要大，問有多少種不同的組隊方法?分析：從12名隊員中選兩名觀戰(zhàn)的每一種選法，對應(yīng)著一種組隊方法:=66例15.從0，1，……9這十個數(shù)字中任取3個組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，且要求百位數(shù)大于十位數(shù)，十位數(shù)大于個位數(shù)，這樣的三位數(shù)有多少個？分析：顯然順序只有一種，任取3個數(shù)的組合數(shù)就是這樣的三位數(shù)的個數(shù)，即個.例16.從2，3，5，7四個數(shù)中任取不同的兩數(shù)，分別作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)問：（1）可得多少個不同的對數(shù)值？（2）可得多少個大于1的對數(shù)值？分析：（1）與順序有關(guān)，是排列問題.；(2)與順序無關(guān)，是組合問題..例17.甲乙兩隊各出7名隊員按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者在與負方2號隊員比賽，......直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程.那么，所有可能出現(xiàn)的比賽過程共有多少種？分析：設(shè)甲隊：乙隊：下標表示事先安排好的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序，比賽過程可類比為這14個字母互相穿插的一個排列.如：最后是勝隊中不被淘汰的隊員，如，和未參賽的隊員，如所以比賽過程可表示為14個位置中取7個位置安排甲隊隊員，其余位置安排乙隊隊員.故比賽過程的總數(shù)：=3432.3.對復雜的排列組合問題，能正確解決的關(guān)鍵：做好分類，將復雜問題簡單化.例18.一天排語、數(shù)、外、生、體、班六節(jié)課（上午4節(jié)，下午2節(jié)），要求：第1節(jié)不排體育，數(shù)學課一定排在上午，班會一定排在下午，問這樣的條件下，共有多少種排課表的方法？解法1：以數(shù)學課分類：（1）數(shù)學課排在第1節(jié)，則有種（2）數(shù)學課排在第2，3，4節(jié)之一，則有=108種由（1）（2）知，共有156種解法2：以體育課分類：（1）體育課在上午：=108種（2）體育課在下午：=48.共有156種.例19.在某次數(shù)學測驗中，學號i（i=1，2，3，4）的四位同學考試成績，且滿足，則這四位同學的考試成績的所有可能情況的種數(shù)為解：分兩類：①共有種；②共有種.例20.如果三位數(shù)的十位數(shù)字既大于百位數(shù)字也大于個位數(shù)字，則這樣的三位數(shù)一共有（）A、240個B、285個C、231個D、204個分析：①如果三個數(shù)字是不重復的：含0：=36；不含0：.共有204個.②如果可以重復：=36.綜合①②：共有240種.例21.在5名乒乓球隊員中,其中有2名老隊員和3名新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員排成1、2、3號參加團體比賽,則入選的3名隊員中至少有一名老隊員,且1、2號中至少有1名新隊員的排法有_______種.(以數(shù)作答)解：兩老一新時,有種排法;兩新一老時,有種排法,即共有48種排法.例22.某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有()A.16種B.36種C.42種D.60種解析：投資于2個城市的方案有；投資于3個城市的方案有種.所以，共60種.答案選D.三、學習目標的檢測正確使用兩個基本原理的前提是要學生清楚兩個基本原理使用的條件。而原理中提到的分步和分類，學生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導學生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨立。分類加法計數(shù)原理，分步乘法計數(shù)原理，單純這點學生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進行分類、分步，特別是在分類時必須做到既不重復，又不遺漏，找到分步的方法有時是比較困難的，這就要著重進行訓練。（一）檢測目標的制定與實施1．本部分知識的核心思想的檢測（1）分類討論思想的應(yīng)用水平檢測檢測試題1：從1,3,5,7中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6,8中任取2個數(shù)字,組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的四位數(shù)共有個.分類方法1：有5有0，有5無0，無5有0分類方法2：：個位為0，個位為5（再根據(jù)需要細分，選0與不選0）檢測試題2：在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)在要組成既有主任又有外科醫(yī)生的3人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，有多少種方法？情形1：有外科主任；情形2：沒有外科主任，則必須有內(nèi)科主任，再間接考察.檢測試題3：教練要從6名選手中確定4100接力名單，要求選手甲不能跑第一棒，選手乙不能跑最后一棒，那么有多少種不同的報名結(jié)果？分類方法：情形1：甲跑最后一棒.情形2：甲跑第二棒或第三棒情形3：甲沒有入選分類方法二：情形1：最后一棒是甲.情形2：最后一棒不是甲，則(最后一棒)4(第一棒)443.（2）轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用水平檢測檢測試題1：7個人排兩行照相，前排3人，后排4人，有多少種排法？檢測試題2：屋子里散放著7把椅子，7個人坐，有多少種做法？2．解決本部分知識的核心方法的檢測在教學中如何解決學生一聽就會，一做就錯的問題呢？我們不妨從以下兩個方面進行形成性評價及檢測：①程序化的思維模型一般地，面對一個復雜的計數(shù)問題時，人們往往通過分類或分步將它分解為若干個簡單計數(shù)問題，在解決這些簡單問題的基礎(chǔ)上，將它們整合起來而得到原問題的答案，這是在日常生活中也被經(jīng)常使用的思想方法．通過對復雜計數(shù)問題的分解，將綜合問題化解為單一問題的組合，再對單一問題各個擊破，可以達到以簡馭繁、化難為易的效果．②模型化的思維方法排列、組合是常用的計數(shù)問題模型，有了排列、組合等常見模型，可以在反復應(yīng)用中減少重復工作量、重復思維，提高效率.計數(shù)問題有很多種常見模型，在遇到新的計數(shù)問題時，自然有必要去想一想它（或者其一部分）是否可以歸于某個模型.如：相鄰問題捆綁法例1：A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰，那么不同的排法種數(shù)有多少種？相離問題插空法例2：七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是多少種？定序問題縮倍法例3：A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有多少種？標號排位問題分步法例4：將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有多少種？有序分配問題逐分法例5：有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務(wù)，不同的選法總數(shù)有多少種？多元問題分類法例6：由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少種？特殊元素特殊位置優(yōu)先法例7：1名老師和4名獲獎同學排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有______種．多排問題單排法例8：6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是多少種？“至少”問題間接法例9：從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有多少種？選排問題先取后排法例10：四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有多少種？例11：9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要選一組進行混合雙打訓練，有多少種不同分組法？分組是否有序的問題例12：六個人分成三組，每組兩個人有多少種分法？每組的人數(shù)分別為1，2，3則有多少種分法.（3）形成性檢測形成性評價是在某項教學活動的過程中，為使活動效果更好而不斷進行的評價，能及時了解階段教學的結(jié)果和學習者學習的進展情況、存在問題等，以便及時反饋、及時調(diào)整和改進教學工作，獲得最優(yōu)化的教學效果.形成性作用如下：1．改進學生的學習形成性測試的結(jié)果可以表明學生在掌握教材中存在的缺陷和在學習過程中碰到的難點。當教師將批改過的試卷發(fā)給學生并由學生對照正確答案自我檢查時，學生就能了解這些缺陷和難點，并根據(jù)教師的批語進行改正。有時，當教師發(fā)現(xiàn)某個或某些題目被全班大多數(shù)或一部分學生答錯時，可以立即組織班級復習，重新講解構(gòu)成這些測試題基礎(chǔ)的基本概念和原理。當有些錯誤只存在于個別學生身上時，教師可以為其提供適合其特點的糾正途徑。2．確定學生的學習進度某門學科的教學總是可以劃分為若干個循序漸進、互有聯(lián)系的學習單元，學生對一個單元的掌握往往是學習下一個單元的基礎(chǔ)。因此，形成性評價可以用來確定學生對前邊單元的掌握程度，并據(jù)此確定該學生下一單元的學習任務(wù)與速度。如果形成性測試能有計劃地進行，就可使學生一步一步地（一個單元接一個單元）掌握預定的教學內(nèi)容。3．強化學生的學習形成性評價的結(jié)果可以對學生起積極的強化作用。正面的肯定，一方面通過學生的情感反應(yīng)加強了學生進一步學習的動機或積極性，另一方面，也通過學生的認知反應(yīng)加固了學生對正確答案（概念、法則、原理等）的認識，校正了含糊的理解和不清晰的記憶。要使形成性評價發(fā)揮這種強化作用，重要的一點是，形成性測試不要簡單地打等第分數(shù)，而應(yīng)通過適當形式簡單地讓學生知道他是否已掌握了該單元的學習材料，如已掌握或接近掌握，應(yīng)明確指出；如沒掌握，要盡可能使用肯定性或鼓勵性的評語，并提出改進建議。4．給教師提供反饋通過對形成性測試結(jié)果的分析，教師可以了解：自己對教學目標的陳述是否明確？教材的組織和呈現(xiàn)是否有結(jié)構(gòu)性？講授是否清晰并引導了學生的思路？關(guān)鍵的概念、原理是否已講清講透？使用的教學手段是否恰當，等等。這些信息的獲得，將有助于教師重新設(shè)計并改進自己的教學內(nèi)容、方法和形式。以下為老師們提供幾套形成性檢測試題，目的是就如何在學生的學習過程中評價學生的認知水平以及學習效果，實現(xiàn)形成性測試在上述中的作用.基本計數(shù)原理形成性檢測1一、選擇題1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法為（）種.A．1+1+1=3B．3+4+2=9C．342=24D．以上都不對2．用1，2，3，4，5可組成()個各個數(shù)位上的數(shù)字允許重復的三位數(shù).A．555=75B．333=27C．543=60D．5+5+5=153．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）個.A．40B．38C．45D．504．某同學參加運動會，在鐵餅、標槍、鉛球三個項目中至少選擇一項，至多選擇三項，那么不同報名方案有（）種.A．3B．6C．9D．75．某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已經(jīng)排成節(jié)目單，但在開演前又增加了兩個節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為（）種.A．42B．30C．20D．12二、填空題6．用數(shù)字1，2，3可寫出_______個各個數(shù)位上的數(shù)字允許重復且小于1000的正整數(shù).7．設(shè)異面直線、，上有5個點，上有6個點，則過、上的點可確定的不同的平面?zhèn)€數(shù)為_________.8．如圖1-1-1，在43的方格（每個方格都是正方形）中，共有正方形_________個.9．有四位學生參加三項不同的競賽，（1）每位學生必須參加一項競賽，則有種不同的參賽方法；（2）每項競賽只許有一位學生參加，則有種不同的參賽方法；（3）每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則有種不同的參賽方法.三、解答題10．求下列集合的元素個數(shù)：（1）；（2）.11．某小組有10人，每人至少會英語和日語中的一門.其中8人會英語，5人會日語：（1）從中任選一個會外語的人，有多少種選法？（2）從中選出會英語與會日語的各1人，有多少種不同的選法？12．現(xiàn)要排一份5天的值班表，每天有1個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？13．5張1元幣、4張1角幣、1張5分幣，2張2分幣，可組成多少種不同的幣值（一張不取，即0元0角0分不計在內(nèi)）？答案：一、選擇題1．B2．A3．C4．D5．A二、填空題6．3+32+33=397．118．209．81，64，24三、解答題10.解（1）分7類：①，有7種取法；②，有6種取法；③，有5種取法；④，有4種取法；⑤，有3種取法；⑥，有2種取法；⑦，只有1種取法.因此由分類加法計數(shù)原理共有7+6+5+4+3+2+1=28個元素.（2）分兩步：第１步：先選，有4種可能；第２步：再選有5種可能.因此由分步乘法計數(shù)原理共有4×5=20個元素.11．解由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會英語又會日語.因此這10人分成3類：第一類只會英語有5人，第二類既會英語又會日語有3人，第三類只會日語有2人.（1）N=5＋2＋3，答：任選一個會外語的人有10種選法.（2）N=5×2＋5×3＋2×3，答：選出會英語與會日語的各1人有31種不同的選法.12．解分五步進行：第1步：先排第一天，可排5人中的任一個，有5種排法；第2步：再排第二天，此時不能排第一天的人，有4種排法；第3步：再排第三天，此時不能排第二天的人，仍有4種排法；第4步：同理有4種排法；第5步：同理有4種排法.由分步乘法計數(shù)原理可得不同排法有5×4×4×4×4=1280種.13．解分為三種幣值的不同組合：元：0元，1元，2元，3元，4元，5元；角：0角，1角，2角，3角，4角；分：0分，2分，4分，5分，7分，9分；然后分三步進行：第一步：從元中選取有6種取法；第二步：從角中選取有5種取法；第三步：從分中選取有6種取法；由分步乘法計數(shù)原理可得：6×5×6=180.但應(yīng)除去0元0角0分這種情況，故有不同幣值180－1=179種.基本計數(shù)原理形成性檢測2一、選擇題1．某團支部進行換屆選舉，從甲、乙、丙、丁四人中選出三人分別擔任書記、副書記、組織委員.規(guī)定上屆的甲乙丙三人不能任原職，則不同的任職方法有().A．10B．13C．12D．112．已知直線是非零常數(shù)）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（）.A．60條B．66條C．72條D．78條二、填空題3．有一塊并排10壟的田地中，選擇兩壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選擇壟的方法有_______種方法（用數(shù)字作答）.4．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù)共有_________個.5．將1，2，3填入3×3的方格中，要求每行，每列都不能有重復的數(shù)字，如圖1-1-2是一種填法，則不同的填法共有_________種.123312231三、解答題6．四個人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，共有多少種不同的方法？7．如圖1-1-3，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四個區(qū)域擺放鮮花，有4種不同顏色的鮮花可供選擇，規(guī)定每個區(qū)域只準擺放一種顏色的鮮花，相鄰區(qū)域鮮花顏色不同，問共有多少種不同的擺花方案？一、選擇題1．D提示①不含丁，有2種；②含丁的，則第一步丁從三個職務(wù)中選一種，有3種選法；第二步，另兩個職務(wù)從甲乙丙三人中選出兩人有3種方法，故共有2+3×3＝11(種).2.A提示圓上橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點有（10，0），（6，4），（4，6），（0，10），（-4，6），（-6，4），（-10，0），（-6，-4），（-4，-6），（0，-10），（4，-6），（6，-4）.過任兩個點的直線有66條，但其中過原點的直線不滿足題意.二、填空題3．12××××××××××××提示分兩步：先選壟，如圖，共有6種選壟方法，第二步，種植兩種作物，因此由分步乘法計數(shù)原理，不同的選法有6×2=12種.4．243提示可以用下面方法來求解：①△△□，②△□△，③□△△，每類都是9×9種，共有=3×9×9=243個只有兩個數(shù)字相同的三位數(shù).5．提示第一步先填1，在第一行中有3種填法，在第二行中有2種填法，在第三行中有1種填法，共有3×2×1種.第二步填2，在第一行中有2種填法，之后每個數(shù)字都只有一種填法，所以共有3×2×2=12種.三、解答題6．解法一可排出所有的分配方案：①甲取得乙卡，然后類推，按甲、乙、丙、丁各取得的賀卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；②甲取得丙卡，方案為：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；③甲取得丁卡，方案為：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分類加法計數(shù)原理得不同取法共有3+3+3=9種.法二可分步解決：第1步：甲取一張，有3種取法；第2步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第3步：由剩余兩人中任一人取，有1種取法；第4步：最后一人取，只有1種取法.由分步計數(shù)原理得不同取法共有3×3×1×1=9種.7．解給圖中四個區(qū)域擺放鮮花，有4類辦法：第1類四個區(qū)域鮮花顏色全不相同，依A、B、C、D的順序依次擺放，共有4×3×2×1＝24種；第2類AC同色，BD不同色，共有4×3×2＝24種；第3類BD同色，AC不同色，共有4×3×2＝24種；第4類AC同色，BD同色，共有4×3＝12種.依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有N=24+24+24+12=84種不同的擺花方案.排列與組合形成性檢測1一、選擇題1．若2n個學生排成一排的排法數(shù)為x，這2n個學生排成前后兩排，每排各n個學生的排法數(shù)為y，則x、y的關(guān)系為（）.A．.x>yB．x<yC．x=yD．x=2y2．用0，2，3，4，5，五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）.A．24個B．30個C．40個D．60個3．五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（）.A．120種B．96種C．78種D．72種4．現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不全相鄰的排法有（）種.A．B．C．D．5．用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）.A．36個B．48個C．66個D．72個二、填空題6．電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.7．4棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有_____________種.8．解方程，正整數(shù)x=______.9．某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有________種.（用數(shù)字作答）三、解答題10．（1）7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？（2）7位同學站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？（3）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？（4）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（5）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？11．8人排成一排照相，A．B．C三人互不相鄰，D．E也不相鄰，共有多少種排法？12．7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？答案：一、選擇題1．C2．B3．C【提示】由題意可先安排甲，并按其分類討論：①若甲在末尾，剩下四人可自由排，有種排法；②若甲在第二，三，四位上，則有種排法，由分類計數(shù)原理，排法共有種.4．B5．D二、填空題6．487．2=11528．69．96三、解答題10.解（1）問題可以看作：7個元素的全排列＝5040；（2）根據(jù)分步計數(shù)原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040；（3）問題可以看作：余下的6個元素的全排列——=720；（4）根據(jù)分步計數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學進行全排列有種，所以，共有=240種排列方法；（5）解法1（直接法）：第一步從（除去甲、乙）其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾有種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列（全排列）有種方法，所以一共有＝2400種排列方法.解法2：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有種方法，所以，甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有=2400種.11．解A、B、C三人互不相鄰的排法共有種，其中D、E相鄰的有種，所以共有符合條件的排法-=11520種.12．解甲、乙及間隔的3人組成一個“小整體”，這3人可從其余5人中選，有種；這個“小整體”與其余2人共3個元素全排列有種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有種站法，故符合要求的站法共有種.排列與組合形成性檢測2一、選擇題1．三張卡片的正反面上分別寫有數(shù)字0與2，3與4，5與6，且6可以作9用，把這三張卡片拼在一起表示一個三位數(shù)，則三位數(shù)的個數(shù)為（）.A．12B．72C2．有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是（）.A．234B．346C．350D．363二、填空題3．用1，2，3，4，5，6，7，8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有________________個（用數(shù)字作答）.4．15．甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行某種勞動技術(shù)比賽，決出了第1到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”.從這個回答分析，5人的名次排列共可能有（用數(shù)字作答）種不同情況.三、解答題5．在7名運動員中選4名運動員組成接力隊，參加接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法共有多少種？6．7位同學站成一排，求滿足下列要求的排法各有多少種：（1）甲、乙兩同學必須相鄰；（2）甲、乙和丙三個同學都相鄰；（3）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾；（4）甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起.7.用1，2，3，4，5排成一個數(shù)字不重復的五位數(shù)a1a2a3a4a5，滿足a1<a2，a2>a3，a3<a4答案：一、選擇題1．C2.B【提示】在排列問題中，站若干排與站一排一樣，故一共可坐的位子有20個，2個人就座方法數(shù)為，還需排除兩人左右相鄰的情況，把可坐的20座位排成連續(xù)一行（一排末位B與二排首位C相接），任兩個座位看成一個整體，即相鄰的坐法有，但這其中包括B、C相鄰與E、F（前排中間3座的左E、右F）相鄰，而這種相鄰在實際中是不相鄰的，還應(yīng)再加上.所以不同排法的種數(shù)為：.二、填空題3．576提示把相鄰的兩個數(shù)捆成一捆，分成四個空，然后再將7與8插進空中有種插法；而相鄰的三捆都有種排法，再它們之間又有種排序方法，故這樣的八位數(shù)共有：（個）.4．54提示.三、解答題5．解先從7人中任選4人接力，有種方法，排除甲和乙跑中間棒的種方法，但甲、乙二人都跑中間的減了兩次，故再加上二人都跑中間棒的種方法，即（種）.6．解（1）先將甲、乙兩位同學看成一個元素與其余的5個元素（同學）一起進行全排列有