高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（二十三）平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（二十三）平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算[小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)]對(duì)點(diǎn)練(一)平面向量的有關(guān)概念1．若向量a與b不相等，則a與b一定()A．有不相等的模 B．不共線(xiàn)C．不可能都是零向量 D．不可能都是單位向量解析：選C若a與b都是零向量，則a＝b，故選項(xiàng)C正確．2．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.3．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的____________條件．解析：若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q.若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線(xiàn)，即a＝λb，且λ>0，故q?/p．∴p是q答案：充分不必要對(duì)點(diǎn)練(二)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算1.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b,則eq\o(BE,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,2)b－a B.eq\f(1,2)a－bC．－eq\f(1,2)a＋b D.eq\f(1,2)b＋a解析：選Ceq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝b－eq\f(1,2)a，故選C.2．已知向量a，b不共線(xiàn)，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：選B由于c與d反向共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b)).整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線(xiàn)，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1,2).3．(2018·江西八校聯(lián)考)在△ABC中，P，Q分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AP＝eq\f(1,3)AB，BQ＝eq\f(1,3)BC.若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(PQ,\s\up7(→))＝()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b B．－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b D．－eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b解析：選Aeq\o(PQ,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BQ,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，故選A.4．(2017·鄭州二模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，且滿(mǎn)足BD＝eq\f(1,2)DC，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))，則()A．m＋n是定值，定值為2B．2m＋nC.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為2D.eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)是定值，定值為3解析：選D法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交AB于點(diǎn)E.由eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))可得eq\f(AC,AN)＝eq\f(1,n)，所以eq\f(AE,EM)＝eq\f(AC,CN)＝eq\f(1,n－1)，由BD＝eq\f(1,2)DC可得eq\f(BM,ME)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(AM,AB)＝eq\f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq\f(2n,3n－1)，因?yàn)閑q\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，所以m＝eq\f(2n,3n－1)，整理可得eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3.法二：因?yàn)镸，D，N三點(diǎn)共線(xiàn)，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋(1－λ)·eq\o(AN,\s\up7(→)).又eq\o(AM,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝λmeq\o(AB,\s\up7(→))＋(1－λ)·neq\o(AC,\s\up7(→)).又eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→)).比較系數(shù)知λm＝eq\f(2,3)，(1－λ)n＝eq\f(1,3)，所以eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)＝3，故選D.5．(2018·銀川一模)設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(BP,\s\up7(→))，則eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→))＝________.解析：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝2eq\o(BP,\s\up7(→))，由平行四邊形法則知，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，故eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PA,\s\up7(→))＝0.答案：06．(2018·衡陽(yáng)模擬)在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線(xiàn)，則eq\f(x,y)的值為_(kāi)_______．解析：設(shè)e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線(xiàn)，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λx－y＝1，,λx－2y＝－2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))則eq\f(x,y)的值為eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)7．(2018·鹽城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))＋λeq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4)，如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線(xiàn)交AB，AC于點(diǎn)M，N，則eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))，經(jīng)計(jì)算得AN＝AM＝3，AD＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)8．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，若eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))，則μ的取值范圍是________．解析：由題意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(DC,\s\up7(→)).∵點(diǎn)E在線(xiàn)段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝λeq\o(DC,\s\up7(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))，又eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋μeq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋2μeq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up7(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))[大題綜合練——遷移貫通]1.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→)).解：eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.2．已知a，b不共線(xiàn)，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，eq\o(OD,\s\up7(→))＝d，eq\o(OE,\s\up7(→))＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：由題設(shè)知，eq\o(CD,\s\up7(→))＝d－c＝2b－3a，eq\o(CE,\s\up7(→))＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(CE,\s\up7(→))＝keq\o(CD,\s\up7(→))，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因?yàn)閍，b不共線(xiàn)，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－3＋3k＝0，,t－2k＝0，))解得t＝eq\f(6,5).故存在實(shí)數(shù)t＝eq\f(6,5)使C，D，E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上．3.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(BE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)．解：(1)延長(zhǎng)AD到G，