理學概率4修改

第四章隨機變量的數(shù)字特征§1數(shù)學期望§2方差§3協(xié)方差與相關系數(shù)§4矩1精選ppt隨機變量的概率分布反映了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，但是在實際問題中，要確定一個隨機變量的分布不是一件容易的事情．在許多情況下，并不需要求出隨機變量的分布，只須知道從不同角度反映隨機變量取值特征的假設干個數(shù)字就夠了，這些數(shù)字就稱為隨機變量的數(shù)字特征．

例考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動是否小.r.v.的平均取值——數(shù)學期望

r.v.取值平均偏離均值的情況

——方差描述兩r.v.間的某種關系的數(shù)

——協(xié)方差與相關系數(shù)本章內容2精選ppt1.1離散型隨機變量的數(shù)學期望例1.1一臺機床加工某種零件,它加工出優(yōu)質品、合格品和廢品的概率依次為0.2、0.7和0.1．如果出售優(yōu)質品和合格品，每一個零件可分別獲利0.40元和0.20元;如果加工出一件廢品那么要損失0.10元.問這臺機床每加工出一個零件，平均可獲利多少元？解以X表示加工出一個零件所獲得的利潤,那么X的分布律為§1數(shù)學期望X

－0.100.200.40

P0.10.70.23精選ppt

現(xiàn)假設該機床加工

個零件，其中廢品

件，合格品件，優(yōu)質品件，這里.則這個零件可以獲得總利潤為其中，和分別是事件、和出現(xiàn)的頻率.當很大時，，和分別接近于0.1,0.7和0.2。X

－0.100.200.40

P0.10.70.2平均每個零件可獲利為

于是可以期望該機床加工出的每一個零件所獲得的平均利潤為（元）.4精選ppt

定義1.1

設離散型隨機變量X

的分布律為則稱（要求此級數(shù)絕對收斂）設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),那么稱為X的數(shù)學期望(或均值)．（要求此積分絕對收斂)數(shù)學期望的本質

——加權平均,它是一個數(shù)不再是r.v..為X的數(shù)學期望(或均值)．

5精選ppt

例1.2

設X服從參數(shù)為p的(0－1)分布,求X的數(shù)學期望．解

X

的分布律為X01P1－pp例1.3

設，求．

解

X

的分布律為6精選ppt例1.4

設，求.解X

的分布律為例1.5

設X~參數(shù)為p

的幾何分布，求E(X).解X

的分布律7精選ppt常見離散型r.v.的數(shù)學期望分布期望概率分布參數(shù)為p的〔0-1〕分布pB(n,p)np

參數(shù)為p

的幾何分布8精選ppt例1.610件產(chǎn)品中有2件次品，求任意取3件中次品數(shù)的數(shù)學期望．解以X表示任取3件中次品的個數(shù)，可取值為0,1,2，其分布律為9精選ppt

例1.7

設X在[a,b]上服從均勻分布，求E(X)．解

X

的概率密度為例1.8

設X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求E(X)．解

X

的概率密度為10精選ppt例1.9

設，求．解

X

的概率密度為11精選ppt分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布參數(shù)為的指數(shù)分布N(,2)常見連續(xù)型r.v.的數(shù)學期望12精選ppt1.2隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望

定理1.1

設隨機變量Y

是隨機變量X

的函數(shù):Y=g(X).（1）若X為離散型r.v.,概率分布為〔2〕假設X為連續(xù)型r.v.，其概率密度為f(x)，如果廣義積分如果絕對收斂，則隨機變量的數(shù)學期望是

絕對收斂，則隨機變量的數(shù)學期望是注：求隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望方法〔1〕先求隨機變量Y的分布,再求數(shù)學期望〔不常用〕.〔2〕直接應用定理1.1〔常用〕。13精選ppt

例1.10

設X的分布律為

X－2－101/21

P1/61/31/41/121/6求,.解例1.11

設，求．解14精選ppt例1.12

設X在區(qū)間(0,a)上服從均勻分布，求的數(shù)學期望.解

X

的密度為則例1.13

設

X

的概率密度為，求,解15精選ppt

定理1.2

設隨機變量Z是X、Y

的函數(shù)Z=g(X,Y)，〔2〕假設(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,聯(lián)合概率密度為〔1〕假設(X,Y)為二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為如果絕對收斂，則隨機變量Z

的數(shù)學期望是那么隨機變量Z的數(shù)學期望是f(x,y)，如果絕對收斂，16精選ppt例1.14

設(X,Y)的聯(lián)合密度為求

E(X)、E(XY)

．解例1.15

設(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的數(shù)學期望.解17精選ppt

例1.16

設X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y

相互獨立，求E(max{X,Y}).D1D2解18精選ppt1.3數(shù)學期望的性質設C

為常數(shù),和都存在。性質1

E(C)=C．性質2性質3

證只證明連續(xù)型隨機變量情形，離散型的證明從略．設(X,Y)的概率密度為f(x,y)，那么有19精選ppt分別為fX(x)、fY(y).那么有f(x,y)=fX(x)fY(y),于是性質4假設X、Y相互獨立，那么E(XY)=E(X)E(Y)．證只對連續(xù)型加以證明．

設(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),關于X、Y

的邊緣密度注：假設E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨立。20精選ppt反例但21精選ppt

解例1.17

設X

與Y獨立，求．注

不是所有的r.v.都有數(shù)學期望例如柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學期望不存在!22精選ppt2.1方差及其計算公式§1方差

引例甲、乙兩射手各打了6發(fā)子彈,每發(fā)子彈擊中的環(huán)數(shù)分別為：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,問哪一個射手的技術較好？解首先比較平均環(huán)數(shù)甲=8.3,乙=8.3再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術穩(wěn)定，故乙技術較好.進一步比較平均偏離平均值的程度甲：乙：23精選ppt

定義2.1

D(X)=E{[X－E(X)]2}

稱為隨機變量X的方差.稱為X

的均方差或標準差.

注：D(X)—描述r.v.X的取值偏離平均值的平均偏離程度，是一個數(shù)值。方差的計算公式1．設X為離散型隨機變量，分布律為則2．設X為連續(xù)型隨機變量，概率密度為f(x),那么3． 證24精選ppt例2.1

設X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，求D(X)．解

X

0

1

p1－p

pE(X)=p,例2.2

設，求D(X)．解25精選ppt例2.3

設X~B(n,p)，求D(X).解E(X)=np26精選ppt例2.4

設X~參數(shù)為p

的幾何分布，求D(X).解例2.5

設X在[a,b]上服從均勻分布，求D(X)．解27精選ppt例2.6

設X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求D(X)．解例2.7

設，求D(X)．解28精選ppt常見隨機變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p的〔0-1〕分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)

(

)

參數(shù)為p

的幾何分布29精選ppt分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布N(,2)參數(shù)為的指數(shù)分布30精選ppt2.2方差的性質性質1設C為常數(shù)，那么D(C)=0．證性質2證性質3證性質4假設X與Y相互獨立，那么有證31精選ppt假設X與Y相互獨立，那么性質5隨機變量X的方差D(X)=0的充分必要條件是：X以概率1取常數(shù)C=E(X),即注

X恒取常數(shù)例2.3

設X~B(n,p)，求D(X).解一前面已求解。故解二引入隨機變量相互獨立，且32精選ppt例2.8

設X與Y相互獨立，，，求解例2.9X,Y相互獨立,且都服從N(0,0.5),求E(|X–Y|).故解33精選ppt例2.10X的概率密度為其中

A,B

是常數(shù)，且E(X)=0.5.

求(1)A,B.(2)設Y=X

2,求

E(Y),D(Y).解

(1)(2)34精選ppt2.3標準化隨機變量為

X的標準化隨機變量.顯然，

例2.11

設相互獨立，并且具有相同的期望與方差，，求，，解

設隨機變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)>0,則稱35精選ppt〔1〕僅知r.v.的期望與方差并不能確定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025有相同的期望方差但是分布卻不相同例如注〔2〕在某些分布類型時,假設知道其期望和方差,便常能確定分布.例如X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解36精選ppt性質2§3協(xié)方差與相關系數(shù)3.1協(xié)方差

定義3.1

稱為X

與Y的協(xié)方差，記作易得協(xié)方差性質性質1性質3例3.1

設求解因為所以

又由例1.11，于是，37精選ppt3.2相關系數(shù)定義3.2

若D(X)>0,D(Y)>0,存在，則稱為X

與

Y

的相關系數(shù)。記為若稱X,Y不相關.相關系數(shù)的性質性質1因此注證

由柯西—許瓦茲不等式可得38精選ppt性質3假設X與Y相互獨立，那么性質4

的充分必要條件是：存在常數(shù)a,b,使得X,Y不相關X,Y相互獨立X,Y不相關等價命題：注表明X與Y之間以概率1存在線性關系。較大表明X與Y之間線性相關程度較好。較小表明X與Y之間線性相關程度較差。表明X與Y不相關。不相關是就線性關系而言，相互獨立時就一般關系而言的。39精選ppt

例3.2

設二維隨機變量(X,Y)的概率分布為

XY－101

-11/81/81/801/801/811/81/81/8證明X

與Y不相關，但X

與Y

不相互獨立．

證(X,Y)關于X

和Y的邊緣分布為X－1

01P3/82/83/8Y－1

01

P3/82/83/8于是有因此，即X

與Y

不相關．由于所以X

與Y

不相互獨立．40精選ppt例3.3

設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為驗證X

與Y不相關，但不相互獨立．解同理于是因此，即X

與Y

不相關．41精選ppt例3.3

設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為驗證X

與Y不相關，但不相互獨立．解所以X與Y

不相互獨立.42精選ppt例3.4

設(X,Y)~N(

1,

12;

2,

2