經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分函數(shù)的連續(xù)性

一,函數(shù)地連續(xù)與間斷四,小結(jié)一.八函數(shù)地連續(xù)二,初等函數(shù)地連續(xù)三,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)地質(zhì)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分一,函數(shù)地連續(xù)與間斷一.函數(shù)地增量注意:二.連續(xù)地定義定義一定義二即:函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)等價于函數(shù)在該點(diǎn)地極限存在且等于該點(diǎn)地函數(shù)值.從這個定義我們可以看出,函數(shù)在點(diǎn)x零處連續(xù),需要滿足以下三個條件:

（一）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x零處有定義;三.單側(cè)連續(xù)結(jié)論:四.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)地函數(shù),叫做在該區(qū)間上地連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)地圖形是一條連續(xù)而不間斷地曲線.函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)（一）f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù);（二）在a點(diǎn)右連續(xù);（三）在b點(diǎn)左連續(xù).例一證由定義一知例二證例三解右連續(xù)但不左連續(xù),五,函數(shù)地間斷點(diǎn)（一）第一類間斷點(diǎn)a.可去間斷點(diǎn)特點(diǎn):左右極限都存在注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充可去間斷處函數(shù)地定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例四解例五解b.跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)地跳躍間斷點(diǎn).跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).左右極限相等,則為可去間斷點(diǎn);左右極限不相等,則為跳躍間斷點(diǎn)．（二）第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)又分為無窮間斷點(diǎn)與振蕩間斷點(diǎn)兩種情況.例六解（左右極限至少有一個是∞）例七解這時也稱其為振蕩間斷點(diǎn)．可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx判斷下列間斷點(diǎn)類型:例八解例如,二,初等函數(shù)地連續(xù)一.連續(xù)函數(shù)地與,差,積,商地連續(xù)定理嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）地連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）地連續(xù)反函數(shù)．例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).二.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)地連續(xù)定理例九即:連續(xù)復(fù)合函數(shù)地極限計(jì)算lim與f可換解原式定理（連續(xù)函數(shù)地復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)）設(shè)y=f(u)與u=g(x)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)].若則所有初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)地.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)地區(qū)間.３.初等函數(shù)地連續(xù)一.初等函數(shù)其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù);注意二.初等函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)求極限可用代入法.定理三,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)地質(zhì)一,最大值與最小值定理與有界例如,設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,如果存在x一,x二,使得對任意地x∈I,有f(x二)≤f(x)≤f(x一)那么稱f(x一),f(x二)分別為函數(shù)y=f(x)在I上地最大值與最小值,最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.點(diǎn)x一,x二分別稱為f(x)地最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn).定義閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必取得最大值與最小值.(有界與最大值與最小值定理)定理推論:閉區(qū)間地上連續(xù)函數(shù)有界.注意:一.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;二.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.二,介值定理與零點(diǎn)定理定理（一）介值定理幾何解釋:MBCAmab推論在閉區(qū)間上連續(xù)地函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間地任何值.（二）零點(diǎn)定理定理(零點(diǎn)定理)幾何解釋:例一零證由零點(diǎn)定理,例一一證由零點(diǎn)定理,輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理.五,小結(jié)一.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)需要滿足地三個條件;三.間斷點(diǎn)地分類與判別;二.區(qū)間上地連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)四.初等函數(shù)地連續(xù)（一）初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù);（二）初等函數(shù)地連續(xù)在求極限時地應(yīng)用: