（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案8.3《圓的方程及綜合問題》 (原卷版)

頁第三節(jié)圓的方程第1課時(shí)系統(tǒng)知識(shí)牢基礎(chǔ)——圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一圓的方程1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2.理論依據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq\a\vs4\al(＝)r2?點(diǎn)在圓上(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq\a\vs4\al(>)r2?點(diǎn)在圓外(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq\a\vs4\al(<)r2?點(diǎn)在圓內(nèi)[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2﹣4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)才表示圓．3．謹(jǐn)記常用結(jié)論若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：(1)當(dāng)F＝0時(shí)，圓過原點(diǎn)．(2)當(dāng)D＝0，E≠0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時(shí)，圓心在x軸上．(3)當(dāng)D＝F＝0，E≠0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn)．(4)當(dāng)D2＝E2＝4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切．[重溫經(jīng)典]1．圓x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()A．(2,3)B．(﹣2,3)C．(﹣2，﹣3)D．(2，﹣3)2．圓心坐標(biāo)為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝23．方程x2＋y2＋mx﹣2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是()A．(﹣∞，﹣eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B．(﹣∞，﹣2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C．(﹣∞，﹣eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D．(﹣∞，﹣2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)4．若點(diǎn)(1,1)在圓(x﹣a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣1,1)B．(0,1)C．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞)D．a(chǎn)＝±15．已知圓C經(jīng)過A(5,2)，B(﹣1,4)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為____________．6．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，且與直線2x＋y﹣10＝0相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．知識(shí)點(diǎn)二直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δeq\a\vs4\al(<)0Δ＝0Δeq\a\vs4\al(>)0幾何觀點(diǎn)d>rdeq\a\vs4\al(＝)rd<r2．圓的切線(1)過圓上一點(diǎn)的圓的切線①過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是x0x＋y0y＝r2.②過圓(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程是(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)(y﹣b)＝r2.(2)過圓外一點(diǎn)的圓的切線過圓外一點(diǎn)M(x0，y0)的圓的切線求法：可用點(diǎn)斜式設(shè)出方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出斜率k，從而得切線方程；若求出的k值只有一個(gè)，則說明另一條直線的斜率不存在，其方程為x＝x0.(3)切線長(zhǎng)①從圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)外一點(diǎn)M(x0，y0)引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)：利用等面積法，切線長(zhǎng)a與半徑r的積的2倍等于點(diǎn)M與圓心的距離d與兩切點(diǎn)弦長(zhǎng)b的積，即b＝eq\f(2ar,d).[提醒]過一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，以便確定切線的條數(shù)．3．圓的弦長(zhǎng)直線和圓相交，求被圓截得的弦長(zhǎng)通常有兩種方法：(1)幾何法：因?yàn)榘胂议L(zhǎng)eq\f(L,2)、弦心距d、半徑r構(gòu)成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：若直線y＝kx＋b與圓有兩交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|.4．謹(jǐn)記常用結(jié)論過直線Ax＋By＋C＝0和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.[重溫經(jīng)典]1．直線l：x﹣y＋1＝0與圓C：x2＋y2﹣4x﹣2y＋1＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相切C．相交且過圓心D．相交但不過圓心2．若直線x﹣y＋1＝0與圓(x﹣a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1,3]C．[﹣3,1]D．(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞)3．圓C：x2＋y2﹣2x＝0被直線y＝eq\r(3)x截得的線段長(zhǎng)為()A．2B.eq\r(3)C．1D.eq\r(2)4．圓x2＋y2﹣4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y﹣2＝0B．x＋eq\r(3)y﹣4＝0C．x﹣eq\r(2)y＋4＝0D．x﹣eq\r(3)y＋2＝05．設(shè)直線x﹣y＋a＝0與圓x2＋y2＋2x﹣4y＋2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則a＝()A．﹣1或1B．1或5C．﹣1或3D．3或56．已知直線l與圓x2＋y2﹣4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,1)，則直線l的方程為__________．知識(shí)點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1﹣r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1﹣r2|d＜|r1﹣r2|[提醒]涉及兩圓相切時(shí)，沒特別說明，務(wù)必要分內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論．2．謹(jǐn)記常用結(jié)論圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交時(shí)：(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示過兩圓交點(diǎn)的圓系方程(不包括C2)．[重溫經(jīng)典]1．圓O1：x2＋y2﹣2x＝0和圓O2：x2＋y2﹣4y＝0的位置關(guān)系是()A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切2．圓C1：(x﹣m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y﹣m)2＝4外切，則m的值為()A．2B．﹣5C．2或﹣5D．不確定3．圓x2＋y2＝8與圓x2＋y2＋4x﹣16＝0的公共弦長(zhǎng)為()A．8B．4C．2D．14．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y﹣2＝0與圓C2：x2＋y2﹣4x﹣2y＋4＝0的公切線有()A．1條B．2條C．3條D．4條5．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay﹣6＝0(a>0)的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則a＝________.6．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________.第2課時(shí)精研題型明考向——圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系一、真題集中研究——明考情1．已知圓x2＋y2﹣6x＝0，過點(diǎn)(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()A．1B．2C．3D．42．若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，則l的方程為()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)3．直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x﹣2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6]B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)][把脈考情]常規(guī)角度1.圓的方程．主要考查圓的方程的求法，圓的最值問題2.直線與圓的位置關(guān)系．主要考查圓的切線方程、圓的弦長(zhǎng)問題創(chuàng)新角度與三角形(或四邊形)結(jié)合求面積問題，與向量、三角函數(shù)交匯考查最值或范圍問題二、題型精細(xì)研究——提素養(yǎng)題型一求圓的方程[典例](1)已知圓M與直線3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝﹣x﹣4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1(2)一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x﹣3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，則該圓的方程為_______________________________________________________．[方法技巧]1．求圓的方程的2種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．2．確定圓心位置的方法(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上；(3)兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心共線．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知直線l：3x﹣4y﹣15＝0與圓C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝6，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25B．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝36C．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝16D．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝492．已知圓C的圓心是直線x﹣y＋1＝0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與圓(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝8相外切，則圓C的方程為______________．題型二弦長(zhǎng)問題[典例](1)若a，b，c是△ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且csinC＝3asinA＋3bsinB，則直線l：ax﹣by＋c＝0被圓O：x2＋y2＝12所截得的弦長(zhǎng)為()A．4eq\r(6)B．2eq\r(6)C．6D．5(2)過點(diǎn)(1,1)的直線l與圓(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|＝4時(shí)，直線l的方程為__________．[方法技巧]解決有關(guān)弦長(zhǎng)問題的常用方法及結(jié)論幾何法如圖所示，設(shè)直線l被圓C截得的弦為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則有關(guān)系式：|AB|＝2eq\r(r2－d2)代數(shù)法若斜率為k的直線與圓相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)兩點(diǎn)，則|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|yA﹣yB|(其中k≠0)．特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝|xA﹣xB|；當(dāng)斜率不存在時(shí)，|AB|＝|yA﹣yB|，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，半徑、半弦、弦心距構(gòu)成直角三角形，在解題時(shí)，要注意把它和點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合起來使用[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知圓C：(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝3及直線l：ax＋y﹣2a﹣2＝0，當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為________．2．函數(shù)f(x)＝xlnx＋a的圖象在x＝1處的切線被圓C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0截得的弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a的值為________．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、綜合練——練思維敏銳度1．圓(x﹣2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對(duì)稱的圓的方程是()A．(x﹣eq\r(3))2＋(y﹣1)2＝4B．(x﹣eq\r(2))2＋(y﹣eq\r(2))2＝4C．x2＋(y﹣2)2＝4D．(x﹣1)2＋(y﹣eq\r(3))2＝42．過點(diǎn)(2,1)的直線中被圓(x﹣1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦長(zhǎng)最大的直線方程是()A．3x﹣y﹣5＝0B．3x＋y﹣7＝0C．x＋3y﹣5＝0D．x﹣3y＋5＝03．過點(diǎn)(﹣4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x﹣4y﹣20＝0交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x﹣12y＋20＝0D．5x﹣12y＋20＝0或x＋4＝04．已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2﹣6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為()A．1B．±1C.eq\r(3)D．±eq\r(3)5．已知圓(x﹣2)2＋y2＝1上的點(diǎn)到直線y＝eq\r(3)x＋b的最短距離為eq\r(3)，則b的值為()A．﹣2或2B．2或4eq\r(3)＋2C．﹣2或4eq\r(3)＋2D．﹣4e