由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題

1/12.2由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題【例12015年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝，點(diǎn)P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，以PA為半徑作⊙P．（1）若⊙P與AC邊的另一個(gè)交點(diǎn)為D，設(shè)AP＝x，△PCD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出函數(shù)的定義域；（2）若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長(zhǎng)相等，求AP的長(zhǎng)；（3）若⊙C的半徑等于1，且⊙P與⊙C的公共弦長(zhǎng)為，求AP的長(zhǎng)．圖1備用圖【思路點(diǎn)撥】1．△PCD的底邊CD上的高，就是弦AD對(duì)應(yīng)的弦心距．2．若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長(zhǎng)相等，那么對(duì)應(yīng)的弦心距相等．3．⊙C的半徑等于1，公共弦MN＝，那么△CMN是等腰直角三角形．在四邊形CMPN中，利用勾股定理列關(guān)于x（⊙P的半徑）的方程．【滿分解答】（1）如圖2，在Rt△ABC中，AC＝4，cosA＝，所以AB＝16，BC＝．設(shè)弦AD對(duì)應(yīng)的弦心距為PE，那么AE＝AP＝x，PE＝AP＝x．所以y＝S△PCD＝＝＝．定義域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直線BC和直線AC截得的弦長(zhǎng)相等，那么對(duì)應(yīng)的弦心距PF＝PE．因此四邊形AEPF是正方形（如圖3），設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m．由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝＝．此時(shí)AE＝＝，AP＝4AE＝．圖2圖3（3）如圖4，設(shè)⊙C與⊙P的公共弦為MN，MN與CP交于點(diǎn)G．由于CM＝CN＝1，MN＝，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝．如圖5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15．所以CP＝＝．因此PG＝（如圖4）．如圖4，在Rt△PNG中，由勾股定理，得．整理，得2x2－64x＋257＝0．解得，（舍去）．圖4圖5【考點(diǎn)伸展】第（2）題也可以這樣計(jì)算：由于PF＝BP＝，由PE＝PF，得．解得．【例22014年黃岡市中考第25題】如圖1，在四邊形OABC中，AB//OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A(1,－1)，B(3,－1)，動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式，并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）如果將△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．圖1【思路點(diǎn)撥】1．△OPQ在旋轉(zhuǎn)前后保持等腰直角三角形的形狀．2．試探取不同位置的點(diǎn)P，觀察重疊部分的形狀，要分三種情況討論．【滿分解答】（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，點(diǎn)O關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為(4,0)．于是可設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)A(1,－1)，得－3a解得．所以．頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t,0)，Q(t,－t)．（3）旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(2t,－2t)，點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為(3t,－t)．將O′(2t,－2t)代入，得．解得．將Q′(3t,－t)代入，得．解得t＝1．因此，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O′落在拋物線上（如圖2）；當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)Q′落在拋物線上（如圖3）．圖2圖3（4）①如圖4，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是等腰直角三角形OPQ．此時(shí)S＝t2．②如圖5，當(dāng)1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分是等腰梯形OPFA．此時(shí)AF＝2t－2．此時(shí)S＝．圖4圖5③如圖6，當(dāng)1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分是五邊形OCEFA．此時(shí)CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．所以S＝．圖6【考點(diǎn)伸展】在本題情景下，重疊部分的周長(zhǎng)l與t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，．如圖5，．如圖6，．【例32013年菏澤市中考第21題】如圖1，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，點(diǎn)A、C分別是一次函數(shù)的圖象與y軸、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在二次函數(shù)的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點(diǎn)D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形．（1）試求b、c的值，并寫(xiě)出該二次函數(shù)的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)P從A到D，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C到A都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，由PQ⊥AC？②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PDCQ的面積最??？此時(shí)四邊形PDCQ的面積是多少？圖1【思路點(diǎn)撥】1．求拋物線的解析式需要代入B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)B的坐標(biāo)由點(diǎn)C的坐標(biāo)得到，點(diǎn)D的坐標(biāo)由AD＝BC可以得到．2．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，用含有t的式子把線段AP、CQ、AQ的長(zhǎng)表示出來(lái)．3．四邊形PDCQ的面積最小，就是△APQ的面積最大．【滿分解答】（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C關(guān)于OA對(duì)稱，所以B(－4,0)，BC＝8．因?yàn)锳D//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．將B(－4,0)、D(8,3)分別代入，得解得，c＝－3．所以該二次函數(shù)的解析式為．（2）①設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．如圖2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，．所以．解得．圖2圖3②如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AD，垂足為H．由于S△APQ＝，S△ACD＝，所以S四邊形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．所以當(dāng)AP＝時(shí)，四邊形PDCQ的最小值是．【考點(diǎn)伸展】如果把第（2）①題改為“當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△APQ是直角三角形？”除了PQ⊥AC這種情況，還有QP⊥AD的情況．這時(shí)，所以．解得（如圖4所示）．圖4【例42012年廣東省中考第22題】如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC、AC．（1）求AB和OC的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AC于點(diǎn)D．設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，求△CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留π）．圖1【思路點(diǎn)撥】1．△ADE與△ACB相似，面積比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方．2．△CDE與△ADE是同高三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．【滿分解答】（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如圖2，因?yàn)镈E//CB，所以△ADE∽△ACB．所以．而，AE＝m，所以．m的取值范圍是0＜m＜9．圖2圖3（3）如圖2，因?yàn)镈E//CB，所以．因?yàn)椤鰿DE與△ADE是同高三角形，所以．所以．當(dāng)時(shí)，△CDE的面積最大，最大值為．此時(shí)E是AB的中點(diǎn)，．如圖3，作EH⊥CB，垂足為H．在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．在Rt△BEH中，．當(dāng)⊙E與BC相切時(shí)，．所以．【考點(diǎn)伸展】在本題中，△CDE與△BEC能否相似？如圖2，雖然∠CED＝∠BCE，但是∠B＞∠BCA≥∠ECD，所以△CDE與△BEC不能相似．【例52012年河北省中考第26題】如圖1，圖2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．探究如圖1，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝_____，AC＝______，△ABC的面積S△ABC＝________．拓展如圖2，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F．設(shè)BD＝x，AE＝m，CF＝n．（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）對(duì)給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍．發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最?。ú槐貙?xiě)出過(guò)程），并寫(xiě)出這個(gè)最小值．圖1圖2【分析】拖動(dòng)點(diǎn)D由A向C運(yùn)動(dòng)，觀察(m＋n)隨x變化的圖象，可以體驗(yàn)到，D到達(dá)G之前，(m＋n)的值越來(lái)越大；D經(jīng)過(guò)G之后，(m＋n)的值越來(lái)越?。^察圓與線段AC的交點(diǎn)情況，可以體驗(yàn)到，當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到G時(shí)（如圖3），或者點(diǎn)A在圓的內(nèi)部時(shí)（如圖4），圓與線段AC只有唯一的交點(diǎn)D．圖3