課時332拋物線拋物線的簡單幾何性質(zhì)高二數(shù)學練習和分類專題教案

第三章圓錐曲線的方程課時3.3.2拋物線〔02〕拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.了解拋物線的簡單幾何特征。2.了解拋物線標準方程中p的幾何意義。3.了解直線與拋物線的位置關(guān)系，會求直線與拋物線相交的弦長。根底過關(guān)練題組一拋物線的幾何性質(zhì)及其運用1.拋物線x2=2py(p>0)的準線經(jīng)過點(-1,-1),那么拋物線的焦點坐標為()A.(-1,0)B.(0,-1)C.(1,0)D.(0,1)2.點P(6,y)在拋物線y2=2px(p>0)上,假設(shè)點P到拋物線焦點F的距離等于8,那么焦點F到拋物線準線的距離等于()A.2B.1C.4D.83.拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,那么p的值為()A.12B.1C.2D.44.點A是拋物線y2=2px(p>0)上一點,F為拋物線的焦點,O為坐標原點,當|AF|=4時,∠OFA=120°,那么拋物線的準線方程是()A.x=-1B.y=-1C.x=-2D.y=-25.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當△FPM為等邊三角形時,其面積為()A.23B.4C.6D.436.一條光線從拋物線y2=2px(p>0)的焦點F射出,經(jīng)拋物線上一點B反射后,反射光線經(jīng)過點A(5,4),假設(shè)|AB|+|FB|=6,那么拋物線的標準方程為.

題組二直線與拋物線的位置關(guān)系7.直線l:y=x-1與拋物線C:y2=4x相交于A、B兩點,那么|AB|為()A.5B.6C.7D.88.直線y=kx-k及拋物線y2=2px(p>0),那么()A.直線與拋物線有一個公共點B.直線與拋物線有兩個公共點C.直線與拋物線有一個或兩個公共點D.直線與拋物線可能沒有公共點9.過點(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個公共點的直線有()A.1條B.2條C.3條D.0條10.斜率為k的直線l與拋物線C:y2=4x交于A、B兩點,線段AB的中點為M(2,1),那么直線l的方程為()A.2x-y-3=0B.2x-y-5=0C.x-2y=0D.x-y-1=011.拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l:y=x-2與拋物線C交于A,B兩點.(1)求弦AB的長；(2)求△FAB的面積.12.拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點,O是坐標原點.(1)求證:OA⊥OB；(2)當△OAB的面積等于10時,求k的值.題組三拋物線的綜合運用13.在同一平面直角坐標系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)的曲線大致為()14.雙曲線y24-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準線交于A,B兩點,O為坐標原點,假設(shè)△OAB的面積為1,那么p的值為(A.1B.2C.22D.415.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()A.43B.75C.816.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,假設(shè)A,B在準線上的射影分別為A1,B1,那么∠A1FB1等于()A.90°B.45°C.60°D.120°能力提升練題組一拋物線的幾何性質(zhì)及其運用1.()設(shè)拋物線x2=8y的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的傾斜角等于60°,那么|PF|等于()A.23B.43C.83D.32.(多項選擇)()設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F.點M在y軸上,假設(shè)線段FM的中點B在拋物線上,且點B到拋物線準線的距離為324,那么點M的坐標為()A.(0,-1)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,1)3.()假設(shè)拋物線y2=2x上的一點M到坐標原點O的距離為3,那么點M到該拋物線焦點的距離為.

4.()雙曲線x2-y23=1,拋物線y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線的一個焦點相同,點P(x0,y0)為拋物線上一點.(1)求雙曲線的焦點坐標；(2)假設(shè)點P到拋物線的焦點的距離是5,求x0的值.題組二直線與拋物線的位置關(guān)系5.()直線l:y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點,F為C的焦點,假設(shè)|FA|=2|FB|,那么k=()A.13B.23C.236.()y2=x,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),O為坐標原點,假設(shè)OA·OB=12,那么△AOB面積的最小值為()A.6B.8C.10D.127.()拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P(x0,2p)在拋物線C上,且|PF|=3.(1)求拋物線C的方程；(2)過焦點F的直線l與拋物線分別交于A,B兩點,點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),O為坐標原點,假設(shè)OA·OB=-(x1+x2),求直線l的方程.題組三拋物線的綜合運用8.()點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點,點B為拋物線的焦點,點P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|,當m取最大值時,點P恰好在以A,B為焦點的雙曲線上,那么雙曲線的離心率為()A.2+12B.2C.5+12D.59.(多項選擇)()拋物線E:y2=4x的焦點為F,準線為l,過F的直線與E交于A,B兩點,C,D分別為A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M為AB中點,那么以下結(jié)論正確的選項是()A.∠CFD=90°B.△CMD為等腰直角三角形C.直線AB的斜率為±3D.△AOB的面積為410.()設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,過點F作直線與拋物線交于A,B兩點,點M滿足OM=12(OA+OB),過M作y軸的垂線與拋物線交于點P,假設(shè)|PF|=2,那么點P的橫坐標為,|AB|=.

11.()O為坐標原點,點P(1,2)在拋物線C:y2=4x上,過點P作兩直線分別交拋物線C于點A,B,假設(shè)kPA+kPB=0,那么kAB·kOP的值為.

答案全解全析根底過關(guān)練1.D∵拋物線x2=2py(p>0)的準線經(jīng)過點(-1,-1),∴-p2=-1,即p=2,∴拋物線的焦點坐標為(0,1).2.C拋物線y2=2px(p>0)的準線為x=-p2,因為P(6,y)為拋物線上的點,所以點P到焦點F的距離等于它到準線的距離,所以6+p2=8,所以p=4,即焦點F到拋物線準線的距離等于4,應選3.C拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=-p2,因為拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,所以3+p2=4,解得4.A如下圖,過A作準線的垂線AC,過F作AC的垂線FB,垂足分別為C,B,由題意,得∠BFA=∠OFA-90°=30°,所以|AB|=|AF|·sin30°=2,點A到準線的距離d=|AB|+|BC|=2+p=4,解得p=2,那么拋物線的準線方程是x=-1,應選A.5.D由題意知,△FPM為等邊三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM⊥拋物線的準線.設(shè)Pm24,m,那么M(-1,m),∴等邊三角形的邊長為1+又F(1,0),|PM|=|FM|,∴1+m24=(1+1)2+m2,∴等邊三角形的邊長為4,其面積為43,應選D.6.答案y2=4x解析拋物線具有光學性質(zhì),即從焦點出發(fā)的光經(jīng)拋物線上一點反射后,反射光線沿平行于拋物線對稱軸的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+p2=6,∴p=2,∴拋物線的標準方程為y2=4x.7.D由條件知,直線y=x-1過拋物線的焦點,將y=x-1代入拋物線方程y2=4x,整理得x2-6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+2=8.8.C因為直線y=kx-k=k(x-1),所以直線過點(1,0).又點(1,0)在拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)部,所以當k=0時,直線與拋物線有一個公共點；當k≠0時,直線與拋物線有兩個公共點.應選C.9.C易知過點(0,1),且斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個公共點.當斜率存在時,設(shè)直線方程為y=kx+1,與y2=4x聯(lián)立并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0,當k=0時,方程有一個解,即直線與拋物線只有一個公共點；當k≠0時,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直線與拋物線有一個公共點.所以滿足題意的直線有3條.應選C.10.A設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么y12=4x1,y22=4x2?(y1又AB的中點為M(2,1),∴y1+y2=2,∴k=y1-因此直線AB的方程為y-1=2(x-2),化簡得2x-y-3=0,應選A.11.解析(1)聯(lián)立y=x-2,y2=4x,消去y整理得x2設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=8,x1x2=4,所以|x1-x2|=(x1+x所以|AB|=1+12·|x1-x2|=2×43=46(2)由題意得點F(1,0),故點F到直線l的距離d=|1-2|2=22所以S△FAB=12×|AB|×d=12×46×22=212.解析(1)證明:當k=0時,直線與拋物線僅一個交點,不合題意,∴k≠0.由y=k(x+1),得x=yk-1,代入y2=-x,整理得,y2+1k設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=-1k,y1y2=-1.∵點A,B在拋物線y2=-x上,∴A(-y12,y1),B(-y22∴kOA·kOB=y1-y12·∴OA⊥OB.(2)設(shè)直線AB與x軸交于點E,那么E(-1,0),∴|OE|=1,∴S△OAB=12|OE|(|y1|+|y2|)=12|y1-y2|=121k2+4=1013.D解法一:將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為x21a2+y21b2=1與y2=-abx.因為a>b>0,所以1b>1a>0,所以橢圓的焦點在y解法二:方程ax+by2=0(a>b>0)中,將y換成-y,其結(jié)果不變,即ax+by2=0的曲線關(guān)于x軸對稱,排除B,C；由解法一知橢圓的焦點在y軸上,排除A.應選D.14.B雙曲線y24-x2=1的兩條漸近線方程是y=±2x,∵拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是x=-p2,∴A,B兩點的縱坐標的差的絕對值是2p,又△AOB的面積為1,∴12×p2×2p=1,∴p=15.A設(shè)拋物線y=-x2上一點為A(m,-m2),A點到直線4x+3y-8=0的距離d=|4m-3m2-8|5=3m-232+20316.A如圖,由拋物線的定義,知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1.又∠AA1F=∠A1FO,所以∠AFA1=∠A1FO.同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1,故∠A1FB1=90°.應選A.能力提升練1.C在△APF中,由拋物線的定義,可得|PA|=|PF|.∵|AF|sin60°=4,∴|AF|=83.過P作PB⊥AF于B,∵∠PAF=∠PFA=30°,∴|PF|=|BF|cos30°=2.BC設(shè)M(0,y),易知Fp2,0那么Bp4,y2那么|BB1|=p4+p2=324,∴∴拋物線方程為y2=22x,且B24,又B在拋物線上,∴14y2=22×24,因此y2=4,解得y=±2.應選3.答案32解析設(shè)點My22∵|MO|=3,∴y22-02∴y2=2或y2=-6(舍去),∴x=y22∴M到拋物線y2=2x的準線x=-12的距離d=1--12=∵點M到拋物線焦點的距離等于點M到拋物線y2=2x的準線的距離,∴點M到該拋物線焦點的距離為32,故答案為324.解析(1)因為雙曲線的方程為x2-y23所以a2=1,b2=3.所以c2=a2+b2=4.所以c=2.所以雙曲線的焦點坐標分別為(-2,0),(2,0).(2)因為拋物線y2=2px(p>0)的焦點與雙曲線的一個焦點相同,所以拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標是(2,0),所以p=4.因為點P(x0,y0)為拋物線上一點,所以點P(x0,y0)到拋物線的焦點的距離等于點P(x0,y0)到拋物線的準線x=-2的距離.因為點P到拋物線的焦點的距離是5,即x0+2=5,所以x0=3.5.D設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,因為|FA|=2|FB|,所以x1+2=2(x2+2),因為y1x1+2=y2x2+2,所以y1=2y2,所以y12=4y22,即8x1=4×8x2,所以x1=4x2,與所以y2=22,因此k=y2x2+2=26.B設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,點A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB與x軸的交點為M(m,0),將x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=-m,y1+y2=t.∵OA·OB=12,∴x1·x2+y1·y2=12,又x1x2=y12y22,∴(y1·y2)2+y1·y2-12=0,令y1y2=u,那么u2+u-12=0,解得u=-4或u=3,∵點A,B位于x軸的兩側(cè),∴u=y1·y故直線AB所過的定點坐標是(4,0),故△AOB的面積S=12×4×|y1-y2|=2×(y1+y當t=0時,直線AB垂直于x軸,△AOB的面積取得最小值,為8,應選B.7.解析(1)由點P(x0,2p)在拋物線C上,得(2p)2=2px0,解得x0=p,由拋物線定義得,|PF|=x0+p2=3p2=3,故拋物線C的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立y2=4x,x=my+1,消去故y1+y2=4m,y1y2=-4,所以x1x2=y124×y224=y12y2216=1,x1+x2那么OA·OB=-(x1+x2)=x1x2+y1y2=-3,即4m2+2=3,解得m=±12,所以所求直線l的方程為y=2x-2或y=2-2x.8.B由x2=4y,得p=2,∴焦點B(0,1),準線l:y=-1,從而A(0,-1),如下圖.設(shè)∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|PA||PB|=結(jié)合圖形知,當AP與拋物線相切時,sinθ最小,從而m最大.設(shè)直線AP的方程為y=kx-1(k≠0),由x2=4y,y=kx令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得P點坐標為(2,1).設(shè)雙曲線的方程為y2a2-在雙曲線y2a2-x2b22a=|PA|-|PB|=22-2?a=2-1,∴離心率e=ca=12-1=2+1,解題模板在解決圓錐曲線問題時,對條件的運用,可用代數(shù)法,借助方程的手段解決問題；也可用幾何法,利用幾何性質(zhì)、幾何圖形解決問題.如此題中條件“|PA|=m|PB|〞就是借助圖形,利用幾何性質(zhì)解決問題,簡化運算.9.AC由y2=4x,得2p=4,即p=2,∴焦點F(1,0),準線l:x=-1.設(shè)直線AB的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).由y2=4x,x=my∴y1+y2=4m,y1·y2=-4,從而x1+x2=4m2+2,x1·x2=1.又|AF|=3|BF|,∴x1+p2=3x2+p2,即x因此x2=m2,且3x22+2x2-1=0?x2=13或x2=-1(∴m2=13,∴m