2023屆遼寧名校聯(lián)盟高考模擬調(diào)研卷(二)數(shù)學(xué)試卷及答案_第1頁(yè)
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2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)(二)

本試卷共4頁(yè),22小題,滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座

位號(hào)填寫(xiě)在答題紙上.將條形碼橫貼在答題紙“貼條形碼區(qū)”.

2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;

如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題紙各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求

作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題紙的整潔.考試結(jié)束后,將試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知z(l+i)=7+5i,則1=

A.6-iB.6+iC.3-2iD.12-i

2.已知集合。={x|f_7x_8W0},A={0,l,2},B={-2,-1,0,1,2,3,4},則@A)c5=

A.{0,1,2}B.{3,4}c.{-1,3,4}D.{-2,-1,3,4}

3.下列函數(shù)不是偶函數(shù)的是

13萬(wàn)

A./(x)=sin+尤B./(x)=2x+2-x

7

CJ(*)=黃廣D.+1-X

4

4.使p:Vx>0,x+—2a的否定為假命題的一個(gè)充分不必要條件是

x

A.aN4B.a<4C.D.a這2

5.某市要建立步行15分鐘的核酸采樣點(diǎn),現(xiàn)有9名采樣工作人員全部分配到3個(gè)采樣點(diǎn),每個(gè)采樣點(diǎn)至少分

配2人,則不同的分配方法種數(shù)為

A.1918B.11508C.12708D.18

6.石碾子是我國(guó)電氣化以前的重要糧食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脫殼或把米碾碎成

硝子或面粉的石制工具.如圖,石碾子主要由碾盤、碾滾和碾架等組成,一個(gè)直徑為60cm的圓柱形碾滾的最外

側(cè)與碾柱的距離為100cm,碾滾最外側(cè)正上方為點(diǎn)A,若人推動(dòng)拉桿繞碾盤轉(zhuǎn)動(dòng)一周,則點(diǎn)A距碾盤的垂直

距離約為

A.15cmB.15百cmC.^3O-15-\/3jcmD.45cm

7.過(guò)圓錐內(nèi)接正方體(正方體的4個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面,其余頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面)的上底面作一平面,把圓錐

截成兩部分,下部分為圓臺(tái),已知此圓臺(tái)上底面與下底面的面積比為1:4,母線長(zhǎng)為布,設(shè)圓臺(tái)體積為匕,

V

正方體的外接球體積為匕,則」=

%

7732瓜7月幅

A.----B.----C.----D.----

9939

8.若a=200,/?=lg(101),c=1011g99,則a,b,。的大小關(guān)系為

A.a>c>bB.c>a>bC.c>b>aD.a>b>c

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)a為第一象限角,cos^a--J=-,則

.}1(1

A.sin---a=——B.cosa-----\-——

l8)3I8)3

c.(13兀、2叵r,1萬(wàn)_“=_2&

C.sin1———a\=———D.tan1—

10.已知函數(shù)/(x)=x3+cx+b1(/?<0)14%=-l處有極值,且極值為8,則

A.7(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.b=c

C.曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程為3x+y+4=()

D.函數(shù)y=/(x)—2為奇函數(shù)

11.已知拋物線C:f=4y的焦點(diǎn)為尸,直線4過(guò)點(diǎn)F與圓£:(%-2)2+尸=1分別切于4,B兩點(diǎn),交

C于點(diǎn)M,N和P,Q,則

A.C與七沒(méi)有公共點(diǎn)

B.經(jīng)過(guò)尸,A,B三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2—2x—y=0

c.網(wǎng)=竽

D.|MN|+|P0|=T

kik

12.設(shè)正整數(shù)“=%-9°+%4+.+ak_l-9-+ak-9,其中qe{0,l,2,3,4,5,6,7,8}(i=0,l,2,,左).記

。(〃)=4+4++%當(dāng)九W8時(shí),S(〃)=①(1)+8(2)++0(9〃),則

A.S⑺—S(/i—1)=9〃+28(〃N2)B.G(9〃+10)=69(n)+l

c.數(shù)列]為等差數(shù)列口.0(吐1]=〃

8

I〃1I)

三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.

13.已知向量a=(—1),=若慟>卜「12a—.=2j^,則???=.

14.已知隨機(jī)變量X且p[x<—[=0.25,P(X>2)=0.1,則P(—1WXW-g卜.

15.如圖①,在平行四邊形A5C。中,AB=s/2BD=^AD=2y[2,將△ABO沿BO折起,使得點(diǎn)A到達(dá)

點(diǎn)P處(如圖②),PC=26,則三棱錐P-BCD的內(nèi)切球半徑為.

Y

16.已知橢圓C:——十=1(。>。>0)的右焦點(diǎn)為尸,上頂點(diǎn)為B,線段6尸的垂直平分線交C于M,N

兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)P,。為坐標(biāo)原點(diǎn),BP=2P。,則C的離心率為;若△8MN的周長(zhǎng)為8,

則八.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2sinA=3tan生上.

2

(1)求A;

(2)若△ABC的面積為也,+求”.

18.(12分)某校有A,8兩個(gè)餐廳,為調(diào)查學(xué)生對(duì)餐廳的滿意程度,在某次用餐時(shí)學(xué)校從A餐廳隨機(jī)抽取了

67人,從B餐廳隨機(jī)抽取了69人,其中在A,8餐廳對(duì)服務(wù)不滿意的分別有15人、6人,其他人均滿意.

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)列出2X2列聯(lián)表,并依據(jù)小概率值e=().OO5的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為用餐學(xué)生與兩家餐廳滿

意度有關(guān)聯(lián)?ss

(2)學(xué)校對(duì)大量用餐學(xué)生進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得出如下結(jié)論:任意一名學(xué)生第一次在校用餐時(shí)等可能地選擇一家餐

13

廳用餐,從第二次用餐起,如果前一次去了A餐廳,那么本次到A,B餐廳的概率分別為一,一;如果前一

44

次去了B餐廳,那么本次到A,8餐廳的概率均為,.求任意一名學(xué)生第3次用餐到8餐廳的概率.

2

n(ad-be)?

附:Z2其中〃=〃+>+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.1000.0500.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

19.(12分)在數(shù)列{〃〃}中,4=9,3。〃+]=。〃+12.

(1)證明:數(shù)列{%—6}為等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{〃%}的前〃項(xiàng)和

20.(12分)如圖,在直四棱柱ABCO—AAGA中,底面ABC。為矩形,點(diǎn)”在棱4)上,AM=3MD,

AB=BB1=2,BD1C.M.

(1)求AD;

(2)求二面角4-MC1-8的正弦值.

21.(12分)已知一動(dòng)圓與圓£:(尤+3)~+>2=18外切,與圓F:(x—3)~+丁=2內(nèi)切,該動(dòng)圓的圓心的軌

跡為曲線C.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線/與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)。在線段AB的延長(zhǎng)線上,從下面①②③中選取兩

個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立:

①P(8,l);②⑷?忸&=網(wǎng).聞;③。是直線/與直線x-y-1=0的交點(diǎn).

注:如果選擇不同的組合分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

22.(12分)已知函數(shù)/(力=心',g(x)=x+xlnx.

(1)證明:/(x)>g(x);

(2)若|/(x)-1>ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

數(shù)學(xué)(二)

一、選擇題

7+5i(7+5i)(l-i)12-2i-

I.B【解析】z=——=匕一0~,=-----=6—i,故z=6+i.故選B項(xiàng)

1+i(l+i)(l-i)2

2.C【解析】由題意得[/=卜卜卜所以(0A)cB={-l,3,4}.故選C項(xiàng).

3.C【解析】對(duì)于A項(xiàng),/(x)=-cosx,所以/(-x)=-cos(-x)=-cosx=/(x),所以/(X)為偶函

數(shù);對(duì)于B項(xiàng),/(一力=2-*+2*=/(工),所以/(X)為偶函數(shù);對(duì)于C項(xiàng),/(X)的定義域?yàn)?/p>

(9,O)U(O,4W),/(-x)=-^-x=-xf-^—+1"|=—所以/(x)=^^+x不是偶

z—11—ZJZ—1乙—1

函數(shù);對(duì)于D項(xiàng),/(%)的定義域?yàn)镽,

/(一力=-xln(Jx2+1+.)=x]n,‘[---)=+1-x)=,所以

/")=燈11(五2+1一》)是偶函數(shù)做選?項(xiàng).

44

4.D【解析】由題得:pNx>0,x+—2。為真命題,又X+—24,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,反之也

XX

成立.所以aW4是p為真命題的充要條件,a34是p為真命題的既不充分也不必要條件,。22是〃為真

命題的既不充分也不必要條件,aW2是p為真命題的充分不必要條件.故選D項(xiàng).

5.B【解析】分組方法共有(2,2,5),(2,3,4),(3,3,3)三種情況,所以分配方法共有

(2r53r3\

;+234+.故選項(xiàng).

A9:5CCC…丁3=11508B

IA;A;)

6.A【解析】由題意碾滾最外側(cè)滾過(guò)的距離為2rxl(X)cm=2()0;rcm,碾滾的周長(zhǎng)為2;rx30cm=6(hrcm,

所以碾滾滾過(guò)迎衛(wèi)=W圈,即滾過(guò)了Wx360°=3x360°+120°,所以點(diǎn)A距碾盤的垂直距離為

60萬(wàn)33

30-30xcos(180°—120°)=15cm.故選A項(xiàng).

7.A【解析】由圓臺(tái)上底面與下底面的面積比為1:4,得圓臺(tái)上底面與下底面的半徑比為口=!,由題知正

r22

方體的棱長(zhǎng)為低,如圖,在RdA4,P中,APf,A?”AA="j,即(指『=廣+(低了,

解得彳=0,則乂=g?x2x(2+8+4)=言,正方體的外接球半徑為R=書(shū)二=6,

28乃

=9乃(6)2=46乃,所以匕=。-=迪,故選A項(xiàng).

31,V24岳9

8.B【解析】解法一:設(shè)/(x)=(100-x)lg(100+x),xe[-l,l],當(dāng)xe[-l,l]時(shí),

/(力=—愴。00+力+器?lge

令g(x)=Tg(100+x)+::;+;lge則

1,200

---------126lge<0所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,所以

100+尤6(100+X)2

ini121101

g(-l)=-lg99+—lge=lge"-lg99,又e甚<e?<99,所以g(x)<g(—l)<0,所以函數(shù)/(x)在區(qū)

間[—1,1]上單調(diào)遞減,所以/(—1)=1011g99>/(())=1(X)1g1()0=200>/(1)=991g101=lg(101)w,故

>0.故選B項(xiàng).

解法二:由題意得a=lglO2()<,=lglOOl,,o=lOOlglOO,人=991gl()l.令函數(shù)y(x)=(200—x)lnx,

r(x)=2£2_^-]nx=222-l-lnx,當(dāng)xw(90,+oo)時(shí),/"(x)<2^—l—ln90<0,所以/(x)在區(qū)間

(90,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減,所以/(99)>/(100)>/(101),所以1011n99>1001nl()0>991nl01,即

99101>100ino>10r,所以c>a>6.故選B項(xiàng).

二、選擇題

9.BD【解析】由題意得a—-也是第一象限角

8

A項(xiàng)錯(cuò)誤

(7兀、(7L\(萬(wàn))1

cosa+——=cosa—+7t\=-cosa—=——B項(xiàng)正確

I8)I8)I8j3

C項(xiàng)錯(cuò)誤

10.AC【解析】由題意得了'(x)=3x2+2/?x+c,又/(―1)=3—2Z?+c=0,又/(-!)=—1+/?—c+〃=8,

4=3{b=-2

解得《(舍去)或《,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;/(x)=V—2i—7x+4,

c=3c=-7

/'(x)=3f—4x—7=(x+l)(3x—7),當(dāng)xe(-oo,—1)時(shí),f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),

/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(g,+oo]時(shí),/'(x)>0,單調(diào)遞增,又/(一3)<0,/(-1)>0,

/(1)<0,/(4)>0,所以/(x)有三個(gè)零點(diǎn),故A項(xiàng)正確;又/'(2)=—3,/(2)=-10)則曲線y=/(x)

在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程為y+10=-3(x-2),即3x+y+4=(),故C項(xiàng)正確;

/(—x)—2=-丁—2/+7%+2#—/(x)+2,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC項(xiàng).

x2=4y,v-4

11.BCD【解析】聯(lián)立<,、,得(工一2)一+二=1,因?yàn)閤=2是方程的一個(gè)根,所以C與E有

(X-2)”2=I16

公共點(diǎn),A項(xiàng)錯(cuò)誤;連接E4,EB,則£4,£4,EBLFB,所以尸,A,B,£四點(diǎn)在以FE為直徑的

圓上,圓的方程為(x-l>+y-,化簡(jiǎn)得/+),2一2%-丁=0,B項(xiàng)正確;由題得

4

\AB\_\EA\x\FA\_1x2,所以|AB|=W,C項(xiàng)正確;設(shè)過(guò)點(diǎn)/且與圓

照=Jm2-=2,所以

2~~\EF\~^5'

£:(工一2)2+》2=1相切的切線方程為〉=丘+1,由增生=],解得左=0或&=一&.不妨設(shè)4:y=l,

\lk2+13

x2=4y

4OO

則聯(lián)立,得9y2—82y+9=0,所以外+%=J,所以

12:y=x+1,|MN|=4,-京+1

y9

\PQ\=yP+yQ+2=—,所以|MN|+|PQ|=4+圖=四,D項(xiàng)正確.故選BCD項(xiàng).

999

12.ACD【解析】當(dāng)〃三2時(shí),5(〃)一5(〃-1)=0(9〃-8)+0(9〃—7)+0(9〃一6)+0(9〃一5)

+<y(9〃—4)+<y(9〃—3)+<y(9〃—2)+<y(9〃—1)+<w(9〃)>又9/?—8=1,9°+(n—1)-91,所以

。(9〃-8)=1+〃-1=〃,同理9〃一7=29°+(〃-1)?,所以0(9”-7)=2+〃-1=〃+1,…,

9n-l=8-90+(n-l)-9',所以上(9〃-1)=8+〃-1=〃+7,9n=0-9°+n-9,所以。(9〃)=”,所以

o2kk+

S(〃)-S(〃-l)=9〃+28,A項(xiàng)正確;97?+lO=O-9+?o-9'+a,-9++ak_]-9+ak-9'+9+1,

G(9〃+10)=1+1+/+4+&++%=69(〃)+2,B項(xiàng)錯(cuò)誤當(dāng)n-\時(shí)

S(l)=0(l)+o(2)++0⑼=1+2++8+1=37當(dāng)時(shí)

5(n)=5(H)-5(n-l)+5(w-l)-5(n-2)+.+S⑵-S⑴+S⑴=9〃+28+9(〃-l)+28+.+9x2

c。c.c?!ǎ?〃+65)9n2+65n

+28+9x1+28=-----L=--,---當(dāng)--〃--=1時(shí)也符合,所以s(〃)=2,所以

22

巫L史土竺,所以出Ls(〃i)=處先_型出=2,所以數(shù)列!刨'

、為等差數(shù)列,C項(xiàng)正確:

n2nn-\222n

9"_ilx(l-9")n

23f9-l

--------------2=90+9'+9+9++9"T,co=1+1++1=〃,D項(xiàng)正確.故選ACD項(xiàng).

81-9I8

三、填空題

13.373【解析】由題意得@=3+1=4,停=療+1,ah=>/3m-l,所以

12a—4-4p/|-4a-h+1/>|=16-4\/3m+4+w2+1=12,所以,/一4百+9=0,解得加=3百或

加=百.當(dāng),72=行時(shí),1卜卜卜不符合題意;當(dāng)加=36時(shí),忖〉|[.所以加=3百.

14.0.15【解析】由題意知〃,所以P(X<-l)=P(X>2)=0.1,所以

P(-1WXW」、P(X<_;-P(X<—1)=0.15.

I2

7

Mi_n/o

15.-~二^【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)。作OE〃J5C,且DE=BC,連接F£,CE,由題意可知尸。_1_班),

3

BC±BD,所以BOL平面尸OE,所以BDLPE,所以CE工PE,所以PE=JPC?—CE?=2.乂BDu

平面BCED,所以平面BCEDJ_平面PDE.取£>E的中點(diǎn)。,連接OP,則OP_L平面BCED,且OP=百,

111,n1

所以三棱錐P—BCD的體積Vp_BCD~—SMCD,OP=1X—X2X2X>/3=-----.又S4BCD=—X2X2=2,

33

x?222

S?PBC=S^PCD=2x^(272)-1=V7,5Arao=^x2>/2x^2-(V2)=2,所以三棱錐P—BCO

的表面積S=SaB8+S?Bo+S“e+S4Bc=2(2+B),設(shè)三棱錐P—3C£>的內(nèi)切球半徑為r,則

3V73721-273

K—__-______—_________

一S-2+近一3

I91

16.-6【解析】由5戶=2P。,可得忸尸卜”,|。”=丁,連接尸尸,在RCPO尸中,由勾股定

理得時(shí)=附2,所以(2)+。2=(|“,整理得/=3,2,所以/"2=302,即"=4。2,

C1\OF\C1

所以C的離心率e=—=—.在RtZ^B。產(chǎn)中,cosZBFO=\~所以/BR9=60°.設(shè)直線MN交

a2\BF\a2

x軸于點(diǎn)尸,交BF于點(diǎn)H,在RtAW"中,由=_—=a=2c,所以尸'為C的左焦點(diǎn),又

11cosNBFO

眼目=|用耳,|N8|=|N/|,所以ABMN的周長(zhǎng)等于AFMN的周長(zhǎng),又ARWN的周長(zhǎng)為4“,所以4a=8,

解得a=2,所以。=1,故〃=yja2—c2—>/3.

17.解:(1)由題得2sinA=3tan二二4=——__2J

AA3COS—X-

所以4sin—cos—=------{,又0<A<4,所以0<一<一,

22.A22

sin—

2

AAA3

所以0<cos—<1,0<sin—<1,所以sin)=—==,

2224

g、i.Ay/3A7TIK

所以sin—=—,所以一=一,故4=—.

22233

(2)由題得,從sinA=,"cx衛(wèi)=6,所以0c=4,又|45+47|=JAB?+AC?+2AB.AC=#,

222I?

27r

所以加+c2+2bccos——=6,故居+C2=6+Z?C=1(),

3

由余弦定理得/=〃+。2—2力ccosA=10-2x4x14,所以a=E.

18.解:(1)零假設(shè)為”o:用餐學(xué)生與兩家餐廳滿意度無(wú)關(guān)聯(lián),依題意列出2x2列聯(lián)表如下:

不滿意滿意合計(jì)

A餐廳155267

8餐廳66369

合計(jì)21115136

136x(15x63-52x6『?4881<7879一

Z

-67x69x21x115?"881<7.879-與0G5,

根據(jù)小概率值a=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒(méi)有充分證據(jù)推斷〃。不成立,因此可以認(rèn)為“°成立,即認(rèn)為用餐學(xué)

生與兩家餐廳滿意度無(wú)關(guān)聯(lián).

(2)設(shè)事件4="第,次在A餐廳用餐”,事件與="第,次在8餐廳用餐”,其中i=1,2,3,

由題意A,與瓦互斥,且P(4)=P(4)=;,P(4|4)=;,P(因A)=+p(4|q)=;,p(84q)=g,

由全概率公式得尸(4)=P(A)P(4|A)+P(BJP(4|A)=;X;+;X;=|,

Z4ZZ0

531

P(fi)=l-P(A)=->又P(用%)=rP(B3\B2)=~,

22o4Z

335]19

由全概率公式得P(B,)=尸(4)P(B3|4)+P(BJP(4怛2)=、X1+鼻xj=石.

o4oZ3L

19.(1)證明:由3《用=。“+12,得見(jiàn)+|=';2,即令加一6=%|上一6=%芻=;(凡一6),

又弓一6=3,所以a“一6/0,所以數(shù)列{a“—6}是以3為首項(xiàng),g為公比的等比數(shù)列.

二MV-11

(2)解:由(1)可知,6Z-6=3x—=,

/z\3y3

1n

所以4=產(chǎn)+6,故〃。“=產(chǎn)+6〃,

設(shè)數(shù)列{6〃}的前〃項(xiàng)和為P?,數(shù)列[言]的前〃項(xiàng)和為7;.

所以數(shù)列{nan}的前〃項(xiàng)和S“=Tn+Pn,

/、n(n+l]0

所以月=6(1+2+.?.+〃)=6X-^~^=3/+3〃,

n-2

r=ix+2x

-?++〃xI,①

3/J

、〃一1

1

-T=lx-+2x(y+???+”fl

⑴,②

357

\0n-2、〃一1

2

由①-②得一7;啕,如眇??陪「-喔

7

39272〃+3

所以(=5I

244x3"-

272〃+3

故數(shù)歹IJ{〃%}的前〃項(xiàng)和S“=r+與=w+3“2+3〃一

4X3"2

20.解:(1)連接CM,由題意得CG,BO,

又C£cGM=G,所以3O_L平面GCM,

又CMu平面GCM,所以比)J.

在Rt^BOC和Rtz^CMD中,因?yàn)镹BDC=NCMD,所以RtZ^BDCRtACMD,

所以絲2=生,又AM=3MD,所以BC=4MD,

DCBC

即4MD2=£)c2=Ag2=4,所以兒〃)=1,即AD=3。=4M£)=4.

(2)直四棱柱ABC?!?4GA中,底面ABC。為矩形,所以以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,所在

由(1)可得£)(0,0,0),M(1,0,0),4(40,2),C,(0,2,2),3(4,2,0),

則MC;=(—1,2,2),從駕=(3,0,2),MB=(3,2,0),

設(shè)平面A|MG的法向量為〃2=(不,加4),

m-MC,=-x,+2y,+2z.=0

由<1171'取4=-3,得利=(2,4,-3),

m?AM,=3玉+2Z]=0

設(shè)平面BMC1的法向量為〃=(工2,必/2),

n-MC=-x+2y2+2z=0,

由V]22取必二3,可得”=(—2,3,T),

n-MB-3X2+2y2-0

mn_20

cos(m,n一,所以sin(,”,〃)=

|/?z|-|n|V29xV2929'/

故二面角A.-MQ-B的正弦值為—.

21.(1)解:設(shè)動(dòng)圓的圓心為M(x,y),半徑為r,

則|ME|=r+3VL9尸|=一血,所以眼目一明耳=4正<忸同,

由雙曲線定義可知,M的軌跡是以E,尸為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為4夜的雙曲線的右支,

所以2a=4&,2c=6,即a=20,c=3,所以。'=c2一/=1,

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土一丁=1,

8-

(2)證明:若①②二>③:

由題可設(shè)直線/:x-8=m(y-l),A(X],yJ,8(七,必),Q(芍,X)),M)/1,

由直線/與。交于A,8兩點(diǎn),所以一20cm<20,

x-8=m(y-l)

聯(lián)立4X22?得(加2—8)y2-2m(m-8)y+(m—8)--8=0,

---=1

8

“2m(m-8)(m-8)~-8

所以乂+%=卞丁,

^\AP\-\B^=\BP\-\AQ\,得”[=國(guó)!,即叢二1=如二21

BP\\BQ\'l-y2y0-y2

由題知陷所以叫H1,即P異于AB的中點(diǎn),所以X+%關(guān)2,即加#1,

\BQ\\BP\力及

2(加-8)2-16.

得%=2.yM-(y+%)=_]+22yizl=_i+始-8一2=]_2,

%+%-2必+%-22加(相一8)m-\

F二8-2

x—86

又與-8=搐(%-1),所以機(jī)=」)_-,故%=1----二^—,化簡(jiǎn)得%-%-1=0,

>0-1x0-81

所以點(diǎn)。在直線x-y—1=0上,又。是/上的點(diǎn),所以③成立.

若①③3:

設(shè)A&,y),B(%,%),。(如%),%#1,則%-%-1=0?

由P,A,B,。四點(diǎn)共線,設(shè)4P=4A。,BPfBQ,其中%>0且2工1,〃<0,

則「得‘空打一8_〃%-1

〃一1'2//-I

又點(diǎn)A在。上,所以五一寸=1,

8-1

所以(丸;11一(專一)=1'整理得(看一8火-8"2-16■-%一1"+48=0,

又小一為一1=0,所以(片一8乂一8)丸2+48=0,

48

同理(片一8%一8)/?+48=0,所以%=〃2

又幾>0,〃<(),所以4=一〃,故AP=-〃AQ,BP=1/BQ,

APBP

所以——=i”,故網(wǎng).|網(wǎng)=網(wǎng)卜q,叫AP|.忸@=忸叫叫成立,所以②成立.

AQBQ

若②③=①:

由題設(shè)A(x,x),5(芍,力),尸(只川,。(如治),由|明.忸二=忸斗得圖=圖

2,

又點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn),點(diǎn)。為線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

所以設(shè)AP=4A。,BP=-ZBQ,其中九>0且;1工1,

則寸―

2

x'-Ax0

又點(diǎn)在上,所以互:所以1-2

AC-y=i,1,

8-181-2)

222

整理得(片一8公-8)A-(2/x0-16yy0-16)2+/-8/-8=0,

同理(片一8y;-8)22+(2x*)—16辦0—16"+/-8/2-8=0,

所以2x'x0-16y'y0-

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