第4章 一階動態(tài)電路分析與計算

第4章一階動態(tài)電路分析4.1換路定理4.2一階動態(tài)電路分析方法4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)4.4微分電路和積分電路C電路處于舊穩(wěn)態(tài)SRU+_開關(guān)S閉合4.1概述換路定理電路處于新穩(wěn)態(tài)RU+_穩(wěn)態(tài)：給定條件下，電路中的電壓、電流物理量達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)暫態(tài)：電路參數(shù)從一個穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)換到另一個穩(wěn)態(tài)需要一個過渡時間此段時間內(nèi)電路所產(chǎn)生的物理過程稱為過渡過程。過渡過程狀態(tài)又稱為暫態(tài)。1“穩(wěn)態(tài)”與“暫態(tài)”的概念4.1.0電路產(chǎn)生過渡過程的原因開關(guān)S閉合后的I？無過渡過程I電阻電路t=0UR+_IS2

產(chǎn)生過渡過程的電路及原因結(jié)論：電阻電路不存在過渡過程。從一個穩(wěn)態(tài)到另一個穩(wěn)態(tài)，不需要過渡時間結(jié)論：電阻電路不存在過渡過程。USR+_CuCS閉合后的UC？tU從一個穩(wěn)態(tài)到另一個穩(wěn)態(tài)，需要過渡時間t0經(jīng)過t0時間后，電路達(dá)到新穩(wěn)態(tài)結(jié)論：電容電路存在過渡過程。結(jié)論：電容電路存在過渡過程。KRU+_t=0iLt結(jié)論：電感電路存在過渡過程。結(jié)論：電感電路存在過渡過程。能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電感的電路存在過渡過程能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電容的電路存在過渡過程電容為儲能元件,它儲存的能量為電場能量,大小為：電感為儲能元件,它儲存的能量為磁場能量,大小為：電容電路電感電路2.

產(chǎn)生過渡過程的電路及原因含有電容和電感的電路當(dāng)發(fā)生換路時有暫態(tài)(過渡過程)產(chǎn)生什么是換路？電路狀態(tài)的改變稱為換路，如：1.電路的接通、斷開2.電源的升高或降低3.元件參數(shù)的改變產(chǎn)生過渡過程的原因？不能突變不能突變電容C存儲的電場能量電感L儲存的磁場能量不能突變不能突變自然界物體所具有的能量不能突變，能量的積累或釋放需要一定的時間。過渡過程：電路從一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一個穩(wěn)定狀態(tài)，電壓、電流等物理量經(jīng)歷一個隨時間變化的過程。動態(tài)電路:含有動態(tài)元件電容C和電感L的電路。動態(tài)電路的伏安關(guān)系是用微分或積分方程表示的。通常用微分形式。一階電路：用一階微分方程來描述的電路。一階電路中只含有一個動態(tài)元件。本章著重于無源和直流一階電路。產(chǎn)生過渡過程的條件：電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)的突然改變。產(chǎn)生過渡過程的原因：能量不能躍變，電感及電容能量的存儲和釋放需要時間，從而引起過渡過程。概念總述穩(wěn)態(tài):只要電路中電源輸出的電壓或電流恒定或周期性變化時,電路中其他部分的電壓和電流也是恒定的或周期性變化的。換路：電路工作條件發(fā)生變化，如電源的接通或切斷，電路連接方法或參數(shù)值的突然變化等稱為換路。換路定理：電容上的電壓uC及電感中的電流iL在換路前后瞬間的值是相等的，即：必須注意：只有uC、

iL受換路定理的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。4.1.1換路定理例1：圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S閉合，US=10V，R1=10Ω，R2=5Ω，求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：由于在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電容C相當(dāng)于開路，因此t=0-時電容兩端電壓分別為：在開關(guān)S閉合后瞬間，根據(jù)換路定理有：由此可畫出開關(guān)S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：例：圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S閉合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。解：由于在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感L相當(dāng)于短路、電容C相當(dāng)于開路，因此t=0-時電感支路電流和電容兩端電壓分別為：在開關(guān)S閉合后瞬間，根據(jù)換路定理有：由此可畫出開關(guān)S閉合后瞬間即時的等效電路，如圖所示。由圖得：u(0+)可用節(jié)點(diǎn)電壓法由t=0+時的電路求出，為：例2KR1U+_Ct=0R2U=12VR1=4k

R2=2k

C=1F原電路已穩(wěn)定，t=0時刻發(fā)生換路。求解：1.先求出2.造出等效電路3.求出各初值例3解:求:電路原已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，設(shè)

時開關(guān)斷開，1.先求出2.造出等效電路3.求出各初值K.LRiL+-20VR10mA確定電路初值方法總結(jié)C換路前SRU+_換路很久后RU+_C換路后瞬間SRU+_求解依據(jù)：1.換路定律初始值：電路中u、i

在t=0+時的大小。2.根據(jù)電路的基本定律和換路后的等效電路，確定其它電量的初始值。等效電路中電容和電感的處理：根據(jù)換路定律：將電容用電壓源替代，電壓為將電感用電流源替代，電流為依此建造等效電路求初值的步驟：1.先求出2.造出等效電路3.求出各初值4.2一階動態(tài)電路的分析方法任何一個復(fù)雜的一階電路，總可以用戴微南定理或諾頓定理將其等效為一個簡單的RC電路或RL電路。因此，對一階電路的分析，實(shí)際上可歸結(jié)為對簡單的RC電路和RL電路的求解。一階動態(tài)電路的分析方法有經(jīng)典法和三要素法兩種。1．RC電路分析圖示電路，t=0時開關(guān)S閉合。根據(jù)KVL，得回路電壓方程為：從而得微分方程：而:4.2.1經(jīng)典分析法解微分方程，得：只存在于暫態(tài)過程中，t→∞時uC''→0，稱為暫態(tài)分量。其中uC'=US為t→∞時uC的值，稱為穩(wěn)態(tài)分量。τ=RC稱為時間常數(shù)，決定過渡過程的快慢。波形圖：電路中的電流為：電阻上的電壓為：iC與uR的波形2．RL電路分析圖示電路，t=0時開關(guān)S閉合。根據(jù)KVL，得回路電壓方程為：因?yàn)椋簭亩梦⒎址匠蹋航庵茫悍€(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量式中τ=L/R為時間常數(shù)經(jīng)典法求解一階電路的步驟：（1）利用基爾霍夫定律和元件的伏安關(guān)系，根據(jù)換路后的電路列出微分方程；（2）求微分方程的特解，即穩(wěn)態(tài)分量；（3）求微分方程的補(bǔ)函數(shù)，即暫態(tài)分量；（4）將穩(wěn)態(tài)分量與暫態(tài)分量相加，即得微分方程的全解；（5）按照換路定理求出暫態(tài)過程的初始值，從而定出積分常數(shù)。例：圖(a)所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S閉合，求開關(guān)閉合后的電容電壓uC和通過3Ω電阻的電流i。解：用戴微南定理將圖(a)所示開關(guān)閉合后的電路等效為圖(b)，圖中：對圖(b)列微分方程：解微分方程：由圖(a)求uC的初始值為：積分常數(shù)為：所以，電容電壓為：通過3Ω電阻的電流為：4.2.2三要素分析法求解一階電路任一支路電流或電壓的三要素公式為：式中，f(0+)為待求電流或電壓的初始值，f(∞)為待求電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值，τ為電路的時間常數(shù)。對于RC電路，時間常數(shù)為：對于RL電路，時間常數(shù)為：“三要素法”例題1SRU+_Ct=0已知參數(shù)R=2kΩ、U=10V、C=1μF,且開關(guān)閉和前uc(0-)=0。開關(guān)S在t=0時刻閉合，求t>0時的uc(t)和i(t)。解：求初值求終值時間常數(shù)代入公式終值初值時間常數(shù)

10

0

10

-500t同理得：時間常數(shù)的求法？時間常數(shù)的求法：RC電路：時間常數(shù)為τ=R0*CR0為獨(dú)立源失效后,從C兩端看進(jìn)去的等效電阻R0本例中RL電路：時間常數(shù)為τ=L/R0R0習(xí)題求如下電路換路后的時間常數(shù)求如下電路換路后的時間常數(shù)R0=?R0=?5kΩ5kΩ習(xí)題圖示電路換路前已處于穩(wěn)態(tài)，試求換路后的解：換路前I求:電感電壓例已知：K

在t=0時閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。解：1.先求出t=03ALSR2R1R3IS2

2

1

1H2.造出等效電路，求出電路初值。2AR1R2R33.求穩(wěn)態(tài)值t=

時等效電路R1R2R3t=03ALKR2R1R3IS2

2

1

1H4.求時間常數(shù)LR2R3R15.將三要素代入通用表達(dá)式得過渡過程方程

6.畫過渡過程曲線（由初始值穩(wěn)態(tài)值）起始值-4Vt穩(wěn)態(tài)值0V例：圖示電路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。開關(guān)S閉合之前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時開關(guān)S閉合。試用三要素法求開關(guān)閉合后的uC

(t)

。解：（1）求初始值。因?yàn)殚_關(guān)S閉合之前電路已處于穩(wěn)態(tài)，故在瞬間電容C可看作開路，因此：（2）求穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)t=∞時，電容C同樣可看作開路，因此：（3）求時間常數(shù)τ。將電容支路斷開，恒流源開路，得：時間常數(shù)為：（4）求uC

(t)

。利用三要素公式，得：例：圖示電路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。開關(guān)S閉合之前電路已處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時開關(guān)S閉合。試用三要素法求開關(guān)閉合后的IL(t)和u2(t)

。解：（1）求初始值。因?yàn)殚_關(guān)S閉合之前電路已處于穩(wěn)態(tài)，故在瞬間電感L可看作短路，因此：（2）求穩(wěn)態(tài)值。當(dāng)t=∞時，電感L同樣可看作短路，因此：（3）求時間常數(shù)τ。將電感支路斷開，恒壓源短路，得：時間常數(shù)為：（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：4.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)4.3.1一階電路響應(yīng)的分解根據(jù)電路的工作狀態(tài)，全響應(yīng)可分解為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量，即：全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量根據(jù)激勵與響應(yīng)的因果關(guān)系，全響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，即：全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)是輸入為零時，由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)，僅與初始狀態(tài)有關(guān)，而與激勵無關(guān)。零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零時，由激勵產(chǎn)生的響應(yīng)，僅與激勵有關(guān)，而與初始狀態(tài)無關(guān)。將一階RC電路中電容電壓uC隨時間變化的規(guī)律改寫為：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)將一階RL電路中電感電流iL隨時間變化的規(guī)律改寫為：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)例：圖示電路有兩個開關(guān)S1和S2，t<0時S1閉合，S2打開，電路處于穩(wěn)態(tài)。t=0時S1打開，S2閉合。已知IS=2.5A，US=12V，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，C=1F。求換路后的電容電壓uC，并指出其穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，畫出波形圖。解：（1）全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量初始值時間常數(shù)暫態(tài)分量全響應(yīng)（2）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)4.3.2一階零輸入響應(yīng)1．一階RC電路的零輸入響應(yīng)圖示電路，換路前開關(guān)S置于位置1，電容上已充有電壓。t=0時開關(guān)S從位置1撥到位置2，使RC電路脫離電源。根據(jù)換路定理，電容電壓不能突變。于是，電容電壓由初始值開始，通過電阻R放電，在電路中產(chǎn)生放電電流iC。隨著時間增長，電容電壓uC和放電電流iC將逐漸減小，最后趨近于零。這樣，電容存儲的能量全部被電阻所消耗?？梢婋娐窊Q路后的響應(yīng)僅由電容的初始狀態(tài)所引起，故為零輸入響應(yīng)。由初始值uC(0+)=U0，穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=0，時間常數(shù)τ=RC，運(yùn)用三要素法得電容電壓：放電電流放電過程的快慢是由時間常數(shù)τ決定。τ越大，在電容電壓的初始值U0一定的情況下，C越大，電容存儲的電荷越多，放電所需的時間越長；而R越大，則放電電流就越小，放電所需的時間也就越長。相反，τ越小，電容放電越快，放電過程所需的時間就越短。從理論上講，需要經(jīng)歷無限長的時間，電容電壓uC才衰減到零，電路到達(dá)穩(wěn)態(tài)。但實(shí)際上，uC開始時衰減得較快，隨著時間的增加，衰減得越來越慢。經(jīng)過t=(3~5)τ的時間，uC已經(jīng)衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認(rèn)為暫態(tài)過程已經(jīng)基本結(jié)束，電路到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。2．一階RL電路的零輸入響應(yīng)圖示電路，換路前開關(guān)S置于位置1，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電感中已有電流。在t=0時，開關(guān)S從位置1撥到位置2，使RL電路脫離電源。根據(jù)換路定理，電感電流不能突變。于是，電感由初始儲能開始，通過電阻R釋放能量。隨著時間的增長，電感電流iL將逐漸減小，最后趨近于零。這樣，電感存儲的能量全部被電阻所消耗?？梢婋娐窊Q路后的響應(yīng)僅由電感的初始狀態(tài)所引起，故為零輸入響應(yīng)。由初始值iL(0+)=I0，穩(wěn)態(tài)值iL(∞)=0，時間常數(shù)τ=L/R，運(yùn)用三要素法得電感電流：電感兩端的電壓RL電路暫態(tài)過程的快慢也是由時間常數(shù)τ來決定的。τ越大，暫態(tài)過程所需的時間越長。相反，τ越小，暫態(tài)過程所需的時間就越短。且經(jīng)過t=(3~5)τ的時間，iL已經(jīng)衰減到可以忽略不計的程度。這時，可以認(rèn)為暫態(tài)過程已經(jīng)基本結(jié)束，電路到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。4.3.3一階零狀態(tài)響應(yīng)1．一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖示電路，換路前開關(guān)S置于位置1，電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容沒有初始儲能。t=0時開關(guān)S從位置1撥到位置2，RC電路接通電壓源US。根據(jù)換路定理，電容電壓不能突變。于是US通過R對C充電，產(chǎn)生充電電流iC。隨著時間增長，電容電壓uC逐漸升高，充電電流iC逐漸減小。最后電路到達(dá)穩(wěn)態(tài)時，電容電壓等于US，充電電流等于零。可見電路換路后的初始儲能為零，響應(yīng)僅由外加電源所引起，故為零狀態(tài)響應(yīng)。由初始值uC(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值uC(∞)=US，時間常數(shù)τ=R