強迫lorenz混沌系統(tǒng)的正半軌線界估計

強迫lorenz混沌系統(tǒng)的正半軌線界估計

0混沌系統(tǒng)的研究1973年，美國著名的氣候?qū)W家n.lorenz在著名的雜志《j.atms.si.》上發(fā)表了一篇關(guān)于“決定性非周期流”的文章，提出了著名的洛倫茲系統(tǒng)的模型。這是空氣動力學(xué)、激光裝置、磁流裝置和其他相關(guān)對稱問題的共同簡化模型，是我們研究混亂的出發(fā)點和基礎(chǔ)。1975年，李天巖和美國著名哲學(xué)家j.a.科恩在《a.美學(xué)》一書中發(fā)表了《perodimplat.美學(xué)》，并首次使用了科學(xué)。這種混合理論可以追溯到20世紀(jì)初的科學(xué)史。在對三個體（三個體）的研究中，它的運動軌跡是不規(guī)則的，并且不會固定。1999年,陳關(guān)榮教授發(fā)現(xiàn)了一個與Lorenz系統(tǒng)拓?fù)渖喜坏葍r的非線性混沌系統(tǒng)-Chen系統(tǒng)［３］.2002年,呂金虎研究員發(fā)現(xiàn)了另一個混沌系統(tǒng)-Lü系統(tǒng)［４］.隨后更多的混沌系統(tǒng)也相繼被發(fā)現(xiàn)［５－６］.混沌的發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)被著名物理學(xué)家Ford譽為“20世紀(jì)物理的第三次革命”.混沌是非線性科學(xué)的一個重要分支,混沌理論的研究及其在信息安全領(lǐng)域中的應(yīng)用是當(dāng)前科學(xué)界和工程領(lǐng)域的一個前沿課題.但是,直到目前對于混沌本質(zhì)的認(rèn)識及理論研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠［６］.由于這類非線性微分方程是不可積的,無法求出精確解,只能將微分方程離散化為差分方程求數(shù)值解來認(rèn)識它,而對它的定性研究顯得十分困難.混沌系統(tǒng)的有界性是混沌同步的理論基礎(chǔ)［５］.直到目前,大多采用數(shù)值方法來研究混沌系統(tǒng)的有界性.而數(shù)值計算只能對一組特定的參數(shù)、初值計算出有限的數(shù)據(jù),無法做出全局的定性分析.因此,如何從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格求出一個混沌系統(tǒng)的界是一個具有挑戰(zhàn)性的研究課題.目前,關(guān)于混沌系統(tǒng)解的有界性問題得到了較為深入研究.如:1987年,俄羅斯學(xué)者Leonov等研究了Lorenz系統(tǒng)的界并得出了該系統(tǒng)的球形和柱形上界;2003年,秦文新、陳關(guān)榮討論了Chen系統(tǒng)的有界性,得到了Chen系統(tǒng)的上界估計;2004年,廖曉昕討論了Lorenz系統(tǒng)的全局吸引集和正向不變集;2005年,李大美等人對Lorenz系統(tǒng)族的界進行了估計;2007—2009年,李大美、陸君安等人先后得到Lorenz-Haken超混沌的四維橢球形最終界與四維Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的最終界和正向不變集;2011年,我們結(jié)合全局指數(shù)吸引集和迭代定理討論了一個新的三維混沌系統(tǒng)解的界.討論了一個混沌電機系統(tǒng)解的有界性,即分別討論了一類超混沌系統(tǒng)和磁盤發(fā)電機系統(tǒng)解的有界性;2012年,討論了Lü系統(tǒng)解的有界性;2012年,吳等結(jié)合全局指數(shù)吸引集和迭代定理得到了L-S混沌系統(tǒng)解的更小的估計.同時,其他一些混沌系統(tǒng)的界也得到了研究.目前,沒有統(tǒng)一的構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法來研究混沌系統(tǒng)解的有界性.因此,我們有必要對新混沌系統(tǒng)的最終界進行研究.經(jīng)典Lorenz模型是具有明確氣象背景的非線性耗散混沌系統(tǒng).外強迫對Lorenz系統(tǒng)非常重要,是影響其分歧行為和可預(yù)報性主要原因之一.1994年P(guān)almer引進定常強迫Lorenz模型.隨后一些學(xué)者分析了該強迫系統(tǒng)的分歧行為和時間平均行為.Mittal等研究發(fā)現(xiàn)無外力作用時,Lorenz映射的一些特點.［７－２２］本文以強迫Lorenz系統(tǒng)為數(shù)學(xué)模型,基于外強迫對Lorenz映射的影響,研究了系統(tǒng)的全局動力學(xué)行為.1無外強迫作用下的系統(tǒng)Palmer引進的強迫Lorenz系統(tǒng)方程為［２２］:其中:分別為對變量x,y,z的定常強迫項.文獻僅考慮了系統(tǒng)(1)的分支變換對于Fｘ=σF,Fｙ=-F,Fｚ=0的情形,且當(dāng)|F|≤1.61時,該系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象［２２］.當(dāng)F=0,即無外強迫作用時,方程(1)為經(jīng)典Lorenz方程［１］.本文以下部分同樣僅考慮系統(tǒng)(1)解的有界性對于Fｘ=σF,Fｙ=-F,Fｚ=0的情形.當(dāng),且系統(tǒng)(1)的初值為(x(0),y(0),z(0))=(3.0,8.2,3.3)時,系統(tǒng)(1)軌線在Oxyz空間及其在各個平面上的相圖,見圖1.系統(tǒng)(1)的一些動力學(xué)行為在文獻中已經(jīng)被研究,但是當(dāng)t→+∞時系統(tǒng)(1)解的漸進行為還沒有被研究.下面我們將研究當(dāng)時(在系統(tǒng)(1)中,系統(tǒng)(1)的解的有界性及其界估計.2漸近行為的定理對于時間t→+∞時,系統(tǒng)(1)解的漸近行為有如下定理:定理1當(dāng)時,存在正數(shù)l>0使下面所定義的集合為系統(tǒng)(1)的一個最終有界集和正向不變集.3全局指數(shù)吸引集和全局指數(shù)吸引集的實現(xiàn)本文研究了強迫Lorenz系統(tǒng)解的有界性,得到該系統(tǒng)的解的最終界估計表達(dá)式,并且給出了軌線從吸引集外進入吸引集的速率估計.這為該混沌系統(tǒng)的控制和同步提供了理論依據(jù).定理2令則當(dāng)Vλ(X(t))>Lλ,Vλ(X(t0))>Lλ(t>t0)時,系統(tǒng)(1)有特別的,下式集合為系統(tǒng)(1)的全局指數(shù)吸引集.(3)從上面的Ωλ我們可以看出,對于x(t)的正半軌線的界估計我們有上