專題11 等腰三角形中的分類討論 （解析版）

專題11等腰三角形中的分類討論【知識(shí)點(diǎn)睛】在等腰三角形中，沒(méi)有明確指明邊是腰還是底時(shí)，要進(jìn)行分類討論，且求出未知邊的長(zhǎng)后，一定要看這三邊能否組成三角形；沒(méi)有明確指明角是頂角或底角時(shí)，也要進(jìn)行分類討論設(shè)等腰三角形中有一個(gè)角為α?xí)r對(duì)應(yīng)結(jié)論當(dāng)α為頂角時(shí)底角=當(dāng)α為直角或鈍角時(shí)不需要分類討論，該角必為頂角當(dāng)α為銳角時(shí)α可以為頂角；也可以為底角當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)外角為α?xí)r對(duì)應(yīng)結(jié)論若α為銳角、直角α必為頂角的外角若α為鈍角α可以是頂角的外角，也可以是底角的外角動(dòng)態(tài)環(huán)境下的等腰三角形存在性問(wèn)題【類題訓(xùn)練】1．已知△ABC是等腰三角形，它的周長(zhǎng)為20cm，一條邊長(zhǎng)6cm，那么腰長(zhǎng)是cm．【分析】當(dāng)腰長(zhǎng)＝6cm時(shí)，底邊＝20﹣6﹣6＝8cm，當(dāng)?shù)走叄?cm時(shí)，腰長(zhǎng)＝＝7cm，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可推出腰長(zhǎng)．【解答】解：∵等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，∴當(dāng)腰長(zhǎng)＝6cm時(shí)，底邊＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)?shù)走叄?cm時(shí)，腰長(zhǎng)＝＝7cm，即7+6＞7，能構(gòu)成三角形，∴腰長(zhǎng)是6cm或7cm，故答案為：6或7．2．（1）等腰三角形中有一個(gè)角是70°，則它的頂角是．（2）等腰三角形中有一個(gè)角是100°，則它的另兩個(gè)角是．（3）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，它一腰上的高與底邊所夾的度數(shù)為．【分析】（1）等腰三角形一內(nèi)角為70°，沒(méi)說(shuō)明是頂角還是底角，所以有兩種情況．（2）由于等腰三角形的兩底角相等，所以100°的角只能是頂角，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得另兩底角．（3）題中沒(méi)有指明已知角是底角還是頂角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析從而求解．【解答】解：（1）①當(dāng)70°角為頂角，頂角度數(shù)即為70°；②當(dāng)70°為底角時(shí)，頂角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的兩底角相等∴兩底角的和為180°﹣100°＝80°∴兩個(gè)底角分別為40°，40°．（3）①當(dāng)∠A＝70°時(shí)，則∠ABC＝∠C＝55°，因?yàn)锽D⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②當(dāng)∠C＝70°時(shí)，因?yàn)锽D⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案為：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．如果等腰三角形的周長(zhǎng)是35cm，一腰上中線把三角形分成兩個(gè)三角形，其周長(zhǎng)之差是4cm，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為xcm，則底邊長(zhǎng)為（19﹣2x）cm，再根據(jù)兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如圖所示，等腰△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，設(shè)AB＝AC＝xcm，∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，當(dāng)△ABD的周長(zhǎng)大于△BCD的周長(zhǎng)時(shí)，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底邊長(zhǎng)為35﹣13×2＝9（cm）；當(dāng)△BCD的周長(zhǎng)大于△ABD的周長(zhǎng)時(shí)，則BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底邊長(zhǎng)為35﹣×2＝（cm）．綜上所述，這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為9cm或cm．故答案為：9cm或cm．4．等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，一種情況等腰三角形為銳角三角形，即可推出頂角的度數(shù)為45°．另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可推出頂角的度數(shù)為135°．【解答】解：①如圖，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝45°，∴∠A＝45°，即頂角的度數(shù)為45°．②如圖，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠DBA＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠BAC＝135°．故答案為45°或135°．5．如圖，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分三種情況，畫(huà)出圖形解答即可．【解答】解：①AB的垂直平分線交直線AC于點(diǎn)P1，交BC于點(diǎn)P2，（此時(shí)PA＝PB）；②以A為圓心，AB為半徑畫(huà)圓，交AC于二點(diǎn)P3，P1，交BC于點(diǎn)P4，（此時(shí)AB＝AP）；③以B為圓心，BA為半徑畫(huà)圓，交BC有二點(diǎn)P5，P6，交AC有一點(diǎn)P1（此時(shí)BP＝BA）．故符合條件的點(diǎn)有6個(gè)．故選：C．6．用一根長(zhǎng)為21厘米的鐵絲圍成一個(gè)三條邊長(zhǎng)均為整數(shù)厘米的等腰三角形，則方案的種數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】設(shè)等腰三角形的腰為x，底邊為y，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)求出y＝21﹣2x，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式組的解集即可．【解答】解：設(shè)等腰三角形的腰為x，底邊為y，則x＞0，y＞0，x+x＞y，則x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整數(shù)x可以為6，7，8，9，10，共5種，故選：A．7．如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為．【分析】求出∠AOC，根據(jù)等腰得出三種情況，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①當(dāng)E在E1時(shí)，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②當(dāng)E在E2點(diǎn)時(shí)，OC＝OE，則∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③當(dāng)E在E3時(shí)，OC＝CE，則∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案為：120°或75°或30°．8．如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．【分析】分兩種情況，①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＝MN時(shí)，a＝8，即可求出a的取值范圍；②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OM＝MP＝MN，求出a，即可確定a的取值范圍．【解答】解：①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖所示：則PM＝PN，此時(shí)△PMN是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＞MN，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，∵M(jìn)N＝4，∠AOB＝30°，當(dāng)MH＝4時(shí)，OM＝2MH＝8，∴當(dāng)a＞8時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)MN＝MP，∠NMP＝60°，∵∠AOB＝30°，∴∠MPO＝30°，∴OM＝MP＝MN＝4，∴a＝4，綜上，滿足條件的a的取值范圍：a＝4或a＞8，故答案為：a＝4或a＞8．9．如圖，是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開(kāi)（只允許剪一次），不能夠得到兩個(gè)等腰三角形紙片的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如圖所示，△ABC不能夠分成兩個(gè)等腰三角形；C、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如圖所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故選：B．10．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用AB，AC為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【解答】解：如圖所示：當(dāng)BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7時(shí)都能得到符合題意的等腰三角形．故選：C．11．如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為．【分析】分三種情形分別求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如圖，有三種情形：①當(dāng)AC＝AD時(shí)，∠ADC＝＝75°．②當(dāng)CD′＝AD′時(shí)，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③當(dāng)AC＝AD″時(shí)，∠AD″C＝＝15°，故答案為：75°或120°或15°．12．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P沿△ABC的邊從A→B→C運(yùn)動(dòng)，以AP為邊作等邊△APQ，且點(diǎn)Q在直線AB下方，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到使△BPQ是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為．【分析】如圖，連接CP，BQ，由“SAS”可證△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是A→H→B，分兩種情況討論，即可求解．【解答】解：如圖，連接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等邊三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，且BH＝BC＝6，∴當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在AH上運(yùn)動(dòng)，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q在BH上運(yùn)動(dòng)，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為3+6＝9，故答案為：3或9．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，過(guò)點(diǎn)C的直線能將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則∠A的度數(shù)為．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解答】解：∵過(guò)點(diǎn)C的直線能將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，①如圖1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如圖2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故這種情況不存在．④如圖3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，設(shè)∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如圖4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴綜上所述，∠A的度數(shù)為45°或36°或或．故答案為：45°或36°或或．14．已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線CB上，且ED＝EC，若AE＝6，則CD的長(zhǎng)為．【分析】①E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥CD于F，②當(dāng)E在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥CD于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BE長(zhǎng)和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：點(diǎn)E在直線AB上，AE＝6，點(diǎn)E位置有兩種情況：①E在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥CD于F，∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長(zhǎng)為3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如圖2，當(dāng)E在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥CD于F，∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長(zhǎng)為3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案為：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直線交于點(diǎn)M，若BM＝AC，求∠ABC的度數(shù)．【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定義得到一對(duì)直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根據(jù)一對(duì)直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD與三角形ACD全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD＝BD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖2所示，同理利用AAS得出三角形ADC與三角形DBM全等，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AD＝BD，得出三角形ABD為等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用鄰補(bǔ)角定義即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分兩種情況考慮：當(dāng)∠ABC為銳角時(shí)，如圖1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，如圖2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD為等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，則∠ABC＝135゜．16．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的長(zhǎng)．【分析】分為兩種情況，畫(huà)出圖形求出△ADC≌△CEB，推出CD＝BE，AD＝CE，即可得出答案．【解答】解：分為兩種情況：①如圖1，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE（同角的余角相等），在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE．∵DE＝DC+CE，∴DE＝AD+BE＝6+2＝8；②如圖2，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD（同角的余角相等）．在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，BE＝CD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE＝6﹣2＝4，即DE的長(zhǎng)是8或4．17．如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且AD＝AE，連接DE．（1）如圖①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝110°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)∠ABC＝∠ACB＝y(tǒng)°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠ADC＝x°﹣α，②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠ADC＝x°+α，③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∠ADC＝x°﹣α，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）設(shè)∠ABC＝∠ACB＝y(tǒng)°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．綜上所述，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系是2∠CDE＝∠BAD．18.定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）圖①是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫(huà)出，請(qǐng)你在圖②中用不同于圖①的方法畫(huà)出頂角為36°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）（2）圖③是頂角為45°的等腰三角形，請(qǐng)你在圖③中畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，設(shè)∠C＝x°，則x所有可能的值為．【分析】（1）在圖②中用不同于圖①的方法畫(huà)出頂角為36°的等腰三角形的三分線即可；（2）在圖③中畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線即可；（3）分兩種情況：AD為等腰三角形的腰或底作圖即可得結(jié)論．【解答】解：（1）在圖②中用不同于圖①的方法畫(huà)出頂角為36°的等腰三角形的三分線；（2）在圖③中畫(huà)出頂角為45°的等腰三角形的三分線．每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為：90°、135°、45°．故答案為：90°、135°、45°．（3）如下圖作△ABC，①如圖1：當(dāng)AD＝AE時(shí)，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如圖2：當(dāng)AD＝DE時(shí)，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的所有可能的值為20°或40°．故答案為20°或40°