專題01 解一元二次方程 【考題猜想30題5種題型】（原卷版）

專題01解一元二次方程（30題5種題型）一、一元一次方程1．（2022秋·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)和平街第一中學(xué)?？计谥校┳C明：關(guān)于x的方程，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考期中）為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．(1)[規(guī)律總結(jié)]圖4灰磚有______塊，白磚有______塊；圖n灰磚有______塊時(shí)，白磚有______塊；(2)[問(wèn)題解決]是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的理由．3．（2019秋·重慶江津·九年級(jí)校聯(lián)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．二、一元二次方程的解法4．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┯弥付ǖ姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（直接開(kāi)平方法）（2）；（配方法）（3）；（公式法）（4）．（因式分解法）5．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)龍巖二中校考期中）已知關(guān)于x的方程（m﹣）﹣x＝3，試問(wèn)：(1)m為何值時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元一次方程？(2)m為何值時(shí)，該方程是關(guān)于x的一元二次方程？6．（2022秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．7．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)?？计谥校┤绻辉畏匠痰膬筛嗖?，那么該方程稱為“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．(1)判斷下列方程是不是“差1方程”，并說(shuō)明理由；①x2﹣5x﹣6＝0；②x2﹣x＋1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“差1方程”，求m的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差1方程”，設(shè)t＝10a﹣b2，求t的最大值．8．（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于，的方程組與的解相同．（1）求，的值；（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長(zhǎng)為，另外兩條邊的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說(shuō)明理由．9．（2021秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┮阎宏P(guān)于x的一元二次方程(1)已知x=2是方程的一個(gè)根，求m的值；(2)以這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根作為△ABC中AB、AC（AB<AC）的邊長(zhǎng)，當(dāng)BC=時(shí)，△ABC是直角三角形，求此時(shí)m的值．10．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）定義：我們把關(guān)于的一元二次方程與（，）稱為一對(duì)“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）寫出一元二次方程的“友好方程”_______．（2）已知一元二次方程的兩根為，，它的“友好方程”的兩根、________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想的兩根、與其“友好方程”的兩根、之間存在的一種特殊關(guān)系為_(kāi)_______，證明你的結(jié)論．（3）已知關(guān)于的方程的兩根是，．請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論，求出關(guān)于的方程的兩根．11．（2022秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程的過(guò)程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項(xiàng)，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過(guò)程．12．（2021秋·湖南·九年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀下列問(wèn)題與提示后，將解方程的過(guò)程補(bǔ)充完整，求出x的值．問(wèn)題：解方程（提示：可以用換元法解方程），解：設(shè)，則有，原方程可化為：，續(xù)解：13．（2022秋·湖南永州·九年級(jí)?？计谥校╅喿x下列材料，解答問(wèn)題．．解：設(shè)，則，原方程可化為，，即．或，解得．請(qǐng)利用上述方法解方程：．14．（2023秋·重慶渝中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，解答問(wèn)題．解方程：．解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達(dá)到簡(jiǎn)化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請(qǐng)仿照材料解下列方程：(1)；(2)．三、一元二次方程根的判別式15．（2023秋·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．(1)求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的面積．16．（2022秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若，且此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3，求的值．17．（2022·北京西城·九年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎P(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若此方程恰有一個(gè)根小于0，求的取值范圍．18．（2023秋·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知T=(1)化簡(jiǎn)T；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求T的值．19．（2022秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）因式定理：對(duì)于多項(xiàng)式，若，則是的一個(gè)因式，并且可以通過(guò)添減單項(xiàng)式從中分離出來(lái)．已知．(1)填空：當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)因式．于是．則________________；(2)已知關(guān)于x的方程的三個(gè)根是一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)k的值．四、一元二次根與系數(shù)的關(guān)系20．（2022秋·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．21．（2022秋·廣東茂名·九年級(jí)茂名市第一中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：材料1：若一元二次方程的兩個(gè)根為，則，．材料2：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．解：由題知，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1得，，所以根據(jù)上述材料解決以下問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個(gè)根為，，則___________，____________．(2)類比探究：已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)、分別滿足，，且．求的值．22．（2022秋·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)設(shè)非0實(shí)數(shù)m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．23．（2022秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根是a，b，求的值．24．（2022秋·廣東汕頭·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的值．25．（2022秋·福建泉州·九年級(jí)福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值．26．（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．五、與一元二次方程有關(guān)的存在性問(wèn)題27．（2022秋·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥校┮阎且辉畏匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請(qǐng)求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．28．（2022秋·湖北荊州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有，兩實(shí)數(shù)根．（1）若，求及的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，滿足？若存在，求出求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·九年級(jí)?？计谀╆P(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的