2023年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（武漢卷）（全解全析）

2023年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

數(shù)學(xué)?全解全析

12345678910

ACBDBCBCDA

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.俄烏危機(jī)催化油價(jià)飆升，新能源車成為時(shí)代寵兒.比亞迪新能源車4月銷量達(dá)105475輛，38年，終于

登頂月銷量冠軍！成為驕傲的中國(guó)制造！下列關(guān)于比亞迪朝代系列“宋”/"。說法正確的是（）

A.是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形B.是中心對(duì)稱圖形不是軸對(duì)稱圖形

C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形D.既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念判斷即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)圖形特點(diǎn)可知：該圖形是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念.如果?個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完

全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸；如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能夠與自

身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.熟記相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

2.“明天會(huì)下雨''這是一個(gè)（）

A.必然事件B.不可能事件

C.隨機(jī)事件D.以上說法都不對(duì)

【答案】C

【分析】在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.據(jù)此可得.

【詳解】解：“明天會(huì)下雨”這是一個(gè)隨機(jī)事件，

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查隨機(jī)事件，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件的概念：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不

發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件.

3.已知圓心。到直線/的距離為乩。。的半徑廠6,若d是方程/T-6=0的一個(gè)根，則直線/與圓。的位

置關(guān)系為()

A.相切B.相交

C.相離D.不能確定

【答案】B

【分析】先解方程求得乩根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的關(guān)系即可解題.

【詳解】解方程：NT-6=0,即：(x—3)(x+2)=0,解得產(chǎn)書，或戶一2(不合題意，舍去)，

當(dāng)d=3,尸=6時(shí)，d<r,則直線與圓的位置關(guān)系是相交；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，只要比較圓心到直線的距離d和半徑廠的大小關(guān)系.沒有交點(diǎn)，

則d>r；一個(gè)交點(diǎn)，則〃=「；兩個(gè)交點(diǎn)，則d<r.

4.將方程/-4x+1=0化成(x+m)2=〃的形式是()

A.(x-1)2=12B.(2xT)2=12

C.(L1)2—0D.(jc-2)2=3

【答案】D

【分析】移項(xiàng)，再配方，即可得出選項(xiàng).

【詳解】解：N-4x+l=0,

酉己方，得/4+4=-1+4,

即(x-2)2=3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

5.將拋物線y=3x2+l向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的拋物線()

A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x+2)2-3

C.y=3(x-2)2+3D.y=3(x-2)2-3

【答案】B

【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：將拋物線y=3/+l向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得直線解析式為：y=3(x+2)2+1；

再向下平移4個(gè)單位為：y=3（x+2）2+1-4,即y=3（x+2）2-3.

故選B

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，卜.加下減.

6.已知尤/,X2是一元二次方程/-2x=2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論正確的是（）

A.xi+x2=_2B.xi*X2=1C.X/+X2=2D.XI*X2=2

【答案】C

【分析】W，三是一元二次方程/+fex+c=O（a/O）的兩根，則玉+&=-',芭占=：,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系

可得答案.

【詳解】解：々-2X=2,

x"—2x—2=0,

X1,也是一元二次方程爐-2%-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

xt+x2=2,xtx2=-2,

故A,8.。不符合題意，C符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

7.某班班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)，分別對(duì)“數(shù)學(xué)作業(yè)”和“語文作業(yè)”的情況進(jìn)行檢查，兩個(gè)人先后分別隨機(jī)抽取甲、乙、

丙、丁四位同學(xué)中的一人進(jìn)行檢查，兩個(gè)人恰好抽到同位學(xué)生的概率是（）

A.-B.-C.-D.—

84216

【答案】B

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

開始

甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁

共有16種等可能的結(jié)果，其中班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)兩個(gè)人恰好抽到同位學(xué)生的結(jié)果有4種,

二班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)兩個(gè)人恰好抽到同位學(xué)生的概率為2=9,故B正確.

164

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用列表或畫樹狀圖求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖，熟

記概率公式.

8.如圖，拋物線丫=0^+法+。（。*0）的對(duì)稱軸為直線X=—2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（—3,0）和（-4,0）之間，

其部分圖象如圖所示.則下列結(jié)論：①4a-A=0；②c<0；③c<3a；?4a-2b>at2+bt（f為實(shí)數(shù)）；⑤

點(diǎn)（-3.5,乂），（-2.5,%），（05%）是該拋物線上的點(diǎn)，則為<%<%，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)稱軸公式可得-3=-2,即可判斷①；然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可

判斷拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（0,0）和（T，0）之間，從而判斷②和③：由圖象可得當(dāng)x=-2時(shí)，y取最大

值，最大值為44-力+c,從而判斷④；最后利用拋物線的對(duì)稱性和增減性即可判斷⑤.

【詳解】解：；拋物線^=以2+法+。（。H0）的對(duì)稱軸為直線;<:=-2,

解得：b=4a

〃一匕=0,故①正確；

,:拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-3,0）和（-4,0）之間，

二拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（0,0）和（-1,0）之間,

.??當(dāng)x=0時(shí),y<0；當(dāng)x=-l時(shí)，y>0

.?.當(dāng)x=0時(shí)，y=c<0,故②正確；

當(dāng)x=-l時(shí)，y=a—b+c>0

,.a—4a+c>0

解得：c>3a,故③錯(cuò)誤；

由圖象可得當(dāng)x=2時(shí)，y取最大值，最大值為4a-0+

...當(dāng)x=t時(shí)，y=at2+bt+c<4a-2b+c

4a-2b>at2+ht>故④錯(cuò)誤；

(0.5,丫3)關(guān)于直線x=-2的對(duì)稱點(diǎn)為(-4.5,%)

由拋物線可得當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而增大

V^.5<-3.5<-2.5

%<%<為，故⑤正確

綜上：正確的結(jié)論有3個(gè)

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系是解決此題

的關(guān)鍵.

9.如圖，在長(zhǎng)7()m,寬40m的矩形花園中，欲修寬度相等的觀賞路(陰影部分)，要使觀賞路面積占總面

C.(40-x)(70-x)=2400D.(40-2x)(70-3x)=2400

【答案】D

【分析】根據(jù)題意和圖形可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題.

【詳解】由題意可得，

(40-2x)(70-3x)=40x70x(l-y),

整理，得

(40-2x)(70-3x)=2400,

故選D.

【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程，解題關(guān)鍵在于實(shí)際問題抽象列出一元二次方程.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4-3,-2),8(0,-2),C(-3,0),M是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CM,

過點(diǎn)〃作交y軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)M,N在直線)』去+b上，則b的最大值是()

【答案】A

【分析】當(dāng)點(diǎn)〃在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MNLMC交y軸于點(diǎn)N,此時(shí)點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸移動(dòng)，定有

AMCs,NBM；只要求出。N的最小值，也就是BN最大值時(shí)，就能確定點(diǎn)N的坐標(biāo)，而直線丫=行+/，與

y軸交于點(diǎn)N(0,b),此時(shí)匕的值最大，因此根據(jù)相似二角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)未知數(shù)構(gòu)造二次函數(shù)，通過

求二次函數(shù)的最值得以解決.

【詳解】解：連接AC,如圖所示：

A(-3-2),B(0,-2),C(-3,0),

二CA_Lx軸，A8_Ly軸，

Z.ZABO=ZACO=ZBOC=90°,

四邊形ABOC是矩形，

.?.ZA=ZA8O=90°，

又1MN1MC,

NCMN=90"，

:.ZAMC=NMNB,

AMC^NBM,

.ACAM

設(shè)BN=xAM=x,則MB=3—x,ON=2-y,

2_x

----=一,

3-xy

123

n即n：y=--x-+-x,

3

???直線y=h+b與y軸交于N（0,6）,且點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸」:，

???當(dāng)BV最大時(shí)，ON最小，點(diǎn)N（0,。）越往上，人的值最大，/.ON=O3-87=2-三=三，

88

此時(shí)，N（。，-1}

7

b的最大值為-三，故A正確.

8

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及一次函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造

相似三角形、利用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

11.化簡(jiǎn)J4WJ=.

【答案】2帥石

【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得定0,

所以原式==2a|/>|4a.

故答案為:2al臼

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，熟知二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.在一個(gè)不透明的布袋中裝有50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗(yàn)

后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則布袋中白球可能有個(gè)。

【答案】15.

【分析】利用頻率估計(jì)概率得到摸到白球的概率為0.3,然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可.

【詳解】解：設(shè)袋子中白球有X個(gè),

根據(jù)題意，得：

解得：x=I5,

即布袋中白球可能有15個(gè)，

故答案為15.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并

且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似

值就是這個(gè)事件的概率.

13.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)2&，以A為圓心，A8為半徑畫弧，連接AC,以A為圓心，AC為半徑

畫弧交AZ)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積是一.

【答案】4

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?四邊形48CO是正方形，

:?AB=BC=2y[i，ZBAD^90°,ZDAC=45°,

二AC=0AB=4,

,圖中陰影部分的面積=|■竺*L_lx20x2應(yīng)]+(2夜x2正-絲業(yè)07=4，

360°2J3600

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算，正確地識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

14.已知，"是方程/-3》-1=0的一個(gè)根，則，-10根=.

【答案】3

【分析】由題意知，機(jī)是方程的一個(gè)根，則可把x=m代入原方程，即可求解.

【詳解】解：??加是方程3%-1=0的一個(gè)根，

，把工=機(jī)代入原方程得：W2-3/77-1=0,

m2—3m=1，

m3-IO/??

=m[nr—3〃?)+3機(jī)2—10機(jī)

=m+3m2—\0m

=3m2—9m

=3(〃?2-3〃?)

=3x1

=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本意主要考查了對(duì)一元二次方程的根的理解，知道了方程得一個(gè)根，就可把根代入原方程求解.再

計(jì)算過程中注意，得到一個(gè)關(guān)于相得方程后，把加一3根當(dāng)作一個(gè)整體，直接移項(xiàng)可求解，不需要算出m得

值.

15.如圖，小非同學(xué)要用紙板制作一個(gè)高為3cm,底面周長(zhǎng)為87rcm的圓錐形漏斗模型，若不計(jì)接縫和損耗,

【分析】先根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算出圓錐的底面圓的半徑為4,再利用勾股定理計(jì)算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)扇

形的面積計(jì)算公式計(jì)算圓錐的側(cè)面積即可；

【詳解】設(shè)圓錐的地面圓的半徑為r,

則2萬廠=8不，解得r=4,

...圓錐的母線長(zhǎng)=舊不=5，

二圓錐的側(cè)面積x5x8%=20萬(cm)

即他所需要的紙板面積為20萬“？.

【點(diǎn)睛】本題主?？疾榱松刃蔚拿娣e計(jì)算公式，準(zhǔn)確根據(jù)圓錐進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，拋物線y=or2+6x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,O）,5（3,0）,交y軸的正半軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸交拋物線

于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)E,則下列結(jié)論：①方+2c>（）；②a+6m（〃?為任意實(shí)數(shù)）；③若點(diǎn)P為對(duì)稱

軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|/W-PC|有最大值，最大值為百3；④若，"是方程以2+/?+。=0的一個(gè)根，則一定有

。2-4衣=（2〃〃+。）2成立.其中正確的序號(hào)有.

【答案】①②?

【分析】利用待定系數(shù)法，二次函數(shù)的相紙，兩點(diǎn)之間線段最短逐一判斷即可.

【詳解】解：?拋物線開口向下，

a<0,

拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于點(diǎn)A（-l,0）,8（3,0）,

???對(duì)稱軸為直線x=-二=弋2=1,

2a2

b=-2a>0,

,■拋物線交y軸的正半軸，

/.c>0,

..b+2c>0,故①正確：

?對(duì)稱軸為直線x=l,開口向下，

.??x=l時(shí)，y有最大值，最大值為a+〃+c,

a+h-i-c>am2+bm-^c（加為任意實(shí)數(shù)）

B[J4-Z?>am14-bin,故②正確；

對(duì)稱軸交y軸的正半軸于點(diǎn)C,

/.C（0,c）,

由對(duì)稱性可知PA=P3，

\PB-PC\=\PA-PC\<AC^OA2+OC2=Vl+c2，故③不正確；

；拋物線y=爾+Zzx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1,O）,

:.a-b-\-c=Q,

b=-2a,

c=-3a,

/.y=ax2+hx+c=ax2-2ax-3a,

b2-4ac=4a2+I2a2=16a2,

加是方程辦2+b%+c=O的一個(gè)根，

=m=3,

當(dāng)機(jī)=一1時(shí)，（2am+b）~=（-2a-2a）2=16a2>

當(dāng)帆=3時(shí)，（2am+Z?）~=（6a-2a『=\6cr,

-，?若m是方程g?+fer+c=O的一個(gè)根，則一定有b2-4ac=（2atn+h'f成立，故④正確；

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解決本題關(guān)鍵是運(yùn)用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、拋物線與x

軸交點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.

三、解答題（本大題共8小題，共72分.）

17.關(guān)于戈的一元二次方程（加一5）/+2x+2=0有實(shí)根.

（1）求機(jī)的取值范圍；

（2）當(dāng)機(jī)取最大整數(shù)時(shí)，求此方程的根.

【答案】（I）m4?且機(jī)X5：（2）%=1+石，9=1-6

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系可得，帽-5/0且判別式ANO,求解即可；

（2）由（1）得〃，的最大整數(shù)為4,代入利用配方法求解即可.

【詳解】解：（1）由題意得4-4x2（m—5）20且機(jī)—5W0,

解得加4口且加工5.

2

in的取值范圍是■且機(jī)*5.

(2),機(jī)4口且相X5.

2

；.，”的最大整數(shù)值是4,當(dāng)機(jī)=4時(shí)，原方程化為-f+2x+2=0，

即犬-2》-2=0

(I)=

解得玉=1+Xj=1—A/3.

【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，以及一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

18.已知：如圖，在。ABC。中，/ACB=90。，過點(diǎn)。作OE_LBC交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形ACE。是矩形；

(2)連接AE,若AB=2BC,求證：ZXABE是等邊三角形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)證NACE=ND4C=NOEC=90。，即可得出結(jié)論；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得A￡)=8C,AB=DC,再由矩形的性質(zhì)得AO=CE,AE=DC,則CE=8C,AE

=A8,然后由48=28C,得AE=A8=BE,即可得出結(jié)論.

(1)

???四邊形ABCD為平行四邊形，

J.AD//BC,

：./D4C=NACB=90。，

,：DEA.BC,

：.NOEC=90°,

XVNACE=180°-90°=90°,

二ZACE=ZDAC=ZDEC=90°,

???四邊形ACEO是矩形；

(2)

；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,AB=DC,

由(【)得：四邊形ACEO是矩形,

J.AD^CE,AE=DC,

：.CE=BC,AE=AB,

?：AB^2BC,

：.AE^AB=BE,

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握平行四

邊形的性質(zhì)，證明四邊形ACEQ為矩形是解題的關(guān)鍵.

19.將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上.

(1)隨機(jī)地抽取一張，則抽到偶數(shù)的概率是;

(2)隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字(不放回)，再抽取一張作為個(gè)位上的數(shù)字，恰好這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的

概率是多少？

【答案】⑴?

(2)恰好這個(gè)兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是|；

【分析】(1)先求出這組數(shù)中偶數(shù)的個(gè)數(shù)，再利用概率公式解答即可；

(2)首先根據(jù)題意可直接列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再算出兩個(gè)數(shù)是奇數(shù)的概率;

(1)

隨機(jī)抽取1張，抽到卡片數(shù)字是偶數(shù)的概率為=}

⑵

樹狀圖如下:

共會(huì)出現(xiàn)6種等可能的結(jié)果12,13,21,23,31,32,

其中為奇數(shù)的有4種，

42

所求概率為:

63

答：兩位數(shù)是奇數(shù)的概率是|.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，熟記概率公式是解決本題的關(guān)鍵.

20.如圖，AB是。O的直徑，D是。O上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作。。的切線交BD的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)F.連接AE并延長(zhǎng)交BF于點(diǎn)C.

(1)求證：AB=BC；

(2)如果AB=5,tan/FAC=g,求FC的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析;⑵1.

【詳解】分析：(1)由AB是直徑可得BE,AC,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，可知BE垂直平分線段AC,從而結(jié)

論可證；

(2)由NFAC+/CAB=90。，NCAB+/ABE=90。，可得/FAC=/ABE,從而可設(shè)AE=x,BE=2x,由勾股

定理求出AE、BE、AC的長(zhǎng).作CHJ_AF『H,可證RsACHsRgBAC,列比例式求出HC、AH的值,

再根據(jù)平行線分線段成比例求出FH,然后利用勾股定理求出FC的值.

詳解：(1)證明：連接BE.

：AB是?0的直徑，

?,.ZAEB=90°,

ABEIAC,

而點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

；.BE垂直平分AC,

，BA=BC；

(2)解：：AF為切線，

；.AF_LAB,

VZFAC+ZCAB=90°,ZCAB+ZABE=90°,

二NFAC=NABE,

.?.tanNABE=NFAC=L

2

AF1

在RtAABE中，tanZABE=—=—,

BE2

設(shè)AE=x,則BE=2x,

，AB=J^x,即&x=5,解得x=&,

，AC=2AE=2y,BE=2?

作CHLAF于H,如圖，

NHAC=NABE,

RtAACHSRSBAC,

.HCAHAC0nHCAH275

AEBEABV52V55

AHC=2,AH=4,

?.?HC〃AB,

??售墨即■得解得FHq

在RtAFHC中，F(xiàn)C=j22+(￡)2當(dāng)

點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理的推論，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角

形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)及見比設(shè)參的數(shù)學(xué)思想，得到BE垂直

平分AC是解（I）的關(guān)鍵，得到RSACHSRQBAC是解（2）的關(guān)鍵.

21.如圖.已知Na和線段a.用直尺和圓規(guī)作,ABC,使A3=AC=a,ZB=Za.

【答案】圖見解析

【分析】先利用尺規(guī)作出=再在射線上截取A4=a,然后以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫弧,

交BN于點(diǎn)C,連接AC即可得出ABC.

【詳解】解：作法：

①作ZMBN=Za；

②在射線上截取54="，然后以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫弧，交BN于煎C,

③連接AC,則即為所求作的三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖，涉及作等腰三角形、作一條線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角,

熟練掌握這些基本的尺規(guī)作圖方法和步驟是解答的關(guān)鍵.

22.如圖，某水庫上游有一單孔拋物線型拱橋，它的跨度AB為100米.最低水位(與A8在同一平面)時(shí)

橋面CD距離水面25米，橋拱兩端有兩根25米高的水泥柱BC和AD,中間等距離豎立9根鋼柱支撐橋面,

拱頂正上方的鋼柱E廠長(zhǎng)5米.

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線型橋拱的解析式：

(2)在最低水位時(shí)，能并排通過兩艘寬28米，高16米的游輪嗎？(假設(shè)兩游輪之間的安全間距為4米)

(3)由于下游水庫蓄水及雨季影響導(dǎo)致水位上漲，水位最高時(shí)比最低水位高出13米，請(qǐng)問最高水位時(shí)沒

在水面以下的鋼柱總長(zhǎng)為多少米？

【答案】(1)y=-專/+20；(2)不能并列通過兩艘游輪；(3)12

【詳解】(1)如圖，以AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A、B、F的坐標(biāo)分別為

(-50,0),(50,0),(0,20),設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+20,將B的坐標(biāo)代入求出a即可.

(2)求出x=30時(shí)的函數(shù)值，即可判斷函數(shù)值大于等于16可以通過，小于16不能通過.

(3)求出x=±30、±20、±40的函數(shù)值，即可判斷.

解：(1)如圖，以A8為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.

則A、8、尸的坐標(biāo)分別是(-50,0),(50,0),(0,20).

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+20y=ax2+20,

將8的坐標(biāo)代入得：4=-七.

...拋物線的表達(dá)式是y=—專/+20丫=-*f+20

(2)把x=28+2=30代入解析式，y=---x2+20=---x302+20=12.8,

V12.8<16，不能并列通過兩艘游輪.

(3)由(2)得，當(dāng)乂=±30時(shí)，y=12.8,

又?.?當(dāng)x=±20時(shí)，y=---X2+20=--—X202+20=16.8>13,

125125

.?.水面只能沒過最左邊和最右邊各兩根鋼柱.

?.?當(dāng)x=±40時(shí)，y=---X2+20=一一—X402+20=7.2,

7125125

，沒在水面下的立柱總長(zhǎng)為2X[(13-7.2)+(13-12.8)]=122X[(13-7.2)+(13-12.8)]=12米.

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)

求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

23.在正方形A8CO中，點(diǎn)E、F分別在邊8C、CO上，且NE4R=NCEF=45。.

圖①圖②

⑴將4?尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到..ABG(如圖①)，求證：BE+DF=EF；

(2)若直線E尸與A3、AD的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)例、N(如圖②)，求證：EF2=ME2+NF2.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知W=AG,ZEAF=ZGAE=45°,證明AAEGRAEF可得結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)C8到G使得BG=￡>F,連接AG,GM,由(1)知AA￡G四一AEP,再由..刀NRCE尸均為

等腰直角二角形，得出CE=CF,BE=BM,NF=^2DF,然后證明NGME=90。，MG=NF,利用勾股定理

得出EG2=ME2+MG2等量代換即可證明EF-=ME2+NF2.

【詳解】(1)證明：：A￡?E繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9()。，得到，A3G.

/.AG=AF,BG=DF,ZG4F=90°,NBAG=NDAF,

"：NW=45。，

NBAE+ZDAF=NBAE+/BAG=90-45°=45°,

即NG4E=N￡AF,

在-AEG和1A即中,

AG=AF

<ZGAE=ZEAF

AE=AE

,?._,A￡G四一A￡F(S4S),

:?GE=EF,

■;GE=BE+GB=BE+DF,

???BE+DF=EF；

(2)證明：延長(zhǎng)C8到G使得3G=￡>/，連接AG,GM,如圖所示:

???四邊形ABC。是正方形，

:?AB=BC=CD=AD,ZC=90°,

ZCEF=45°

:.&BME、DNF、CM均為等腰直角三角形,

:.CE=CF,DF=DN,BM=BE,

,?BC=CD,

???BE=DF,

,/BG=DF,

：.BG=DF=BE=BM=DN,

；?/BMG=45。,NFDN=45。,

NEWS=45。，

???NEMG=90。,

MG=y[2BM，NF=y/2DF，

/.MG=NF、

:.EG2=MG2+ME2=NF2+ME2,

V^AEG^AEF,

EG-EF,

，EF2=ME2+NF2.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，其中涉及到正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰

直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三

角形.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線產(chǎn)中一。為拋物線1加+以+c(a、b、c為常數(shù)，a翔)的“夢(mèng)

想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形"，已知拋物線

y=_/_2x+3與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

(1)填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)

為;

(2)如圖，點(diǎn)M為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，將AACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N,若

△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)在該拋物線的“夢(mèng)想直線'’上，是否存在點(diǎn)P,使4ACP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=~x+l；(-2,3)；(1,0)；(2)(0,3—木)：(3)(0,1),(-2+53-6),(一2-石，

3+石)，(g,y).

【分析】(1)由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式，聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可求得A、8的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)N點(diǎn)在〉軸上時(shí)，過A作軸于點(diǎn)￡>,過A作/l￡_Lx軸于點(diǎn)E,貝ij，4￡>=2,AE=3,CE=l,

利用勾股定理，可以得出AC的長(zhǎng)，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,y),根據(jù)翻轉(zhuǎn)，可得初=AC,結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，利

用勾股定理，可求得N