2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納（全國(guó)通用）：05 三角形中的導(dǎo)角模型-雙角平分線（三角形）模型（教師版）

PAGE專題05三角形中的導(dǎo)角模型-雙角平分線（三角形）模型模型1、雙角平分線模型圖1圖2圖31）兩內(nèi)角平分線的夾角模型條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點(diǎn)G；結(jié)論：．2）兩外角平分線的夾角模型條件：如圖2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．3）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型條件：如圖3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：．圖4圖5圖64）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型條件：如圖4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：5）兩內(nèi)角平分線的夾角模型條件：如圖5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：6）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）條件：如圖6，，的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．7）旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn) 條件：如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD 例1．（2022秋·安徽阜陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等，若，則．【答案】【分析】由條件可知平分和，利用三角形內(nèi)角和可求得．【詳解】解：∵點(diǎn)P到三邊的距離相等，∴平分，平分，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形ABCDE中，，DP，CP分別平分，，則的度數(shù)是．【答案】【分析】利用多邊形內(nèi)角和公式、三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可求解．【詳解】解：∵五邊形的內(nèi)角和為，∴，∵分別為、的平分線，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，牢記n邊形的內(nèi)角和為是解題關(guān)鍵．例3．（2023·山東濟(jì)南·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)AE+CD=AC，證明見解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；（2）解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，過M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則．【答案】61°【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角定義求得∠DAC+∠ACF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠EAC+∠ECA的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案為：61°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、平角定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義是解答的關(guān)鍵．例5．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù).【答案】【分析】運(yùn)用角平分線的知識(shí)列出等式求解即可．解答過程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系．【詳解】解：∠B、∠C的外角平分線相交于點(diǎn)G，在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識(shí)．此類題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算得出．例6．（2023·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC，∠A＝70°，則∠BDC＝（）A．35° B．25° C．70° D．60°【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC，然后整理求出∠D＝∠A．【詳解】解：∵CD、BD分別平分∠ACE、∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，由三角形的外角性質(zhì)得，∠DCE＝∠D＋∠CBD，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∴∠D＋∠CBD＝（∠A＋∠ABC）∴∠D＝∠A，∵∠A＝70°，∴∠D＝×70°＝35°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，注意整體思想的利用是解答的關(guān)鍵．例7．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，……以此類推，若，則．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【詳解】∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角性質(zhì)，角平分線定理，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．例8．（2023春·成都市七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，記，，則以下結(jié)論①，②，③，④，正確的是．（把所有正確的結(jié)論的序號(hào)寫在橫線上）

【答案】①④【分析】依據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°＋∠1，∠BOC＝90°＋∠2，再分析判斷．【詳解】∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE?∠DBE＝（∠ACD?∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠OCB）＝180°?（∠ABC＋∠ACB）＝180°?（180°?∠1）＝90°＋∠1，故②、③錯(cuò)誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正確；故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，以及角平分線的定義．例9．（2023秋·廣東佛山·八年級(jí)?？计谀?）如圖1所示，在中，和的平分線將于點(diǎn)O，則有，請(qǐng)說明理由．（2）如圖2所示，在中，內(nèi)角的平分線和外角的平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫出與之間的關(guān)系，不必說明理由．（3）如圖3所示，AP，BP分別平分，，則有，請(qǐng)說明理由．（4）如圖4所示，AP，BP分別平分，，請(qǐng)直接寫出與，之間的關(guān)系，不必說明理由．【答案】(1)理由見解析；(2)∠BAC=2∠BOC；(3)理由見解析；(4)【分析】(1)根據(jù)OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線，利用三角形的內(nèi)角和等于180°即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線，利用三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果；(3)根據(jù)AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線，利用三角形的外角性質(zhì)列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出結(jié)果；(4)AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線，設(shè)∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACB的角平分線∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∴∠OCB+∠OBC=∴∠BOC=(2)∵OB是∠ABC的角平分線，OC是∠ACD的角平分線∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD∵∠BAC+∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC=∠OCD∴2∠OBC+2∠BOC=2∠OCD∴∠ABC+2∠BOC=∠ACD∴∠BAC=2∠BOC(3)∵AP是∠DAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C∴∠D-∠P=∠P-∠C∴(4)∵AP是∠MAC的角平分線，BP是∠DBC的角平分線∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC設(shè)∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y∴∠AGB=∠C+2x∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y∵∠D+∠AEG=∠MAP∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y∴x+y=∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查的是角平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確的掌握角平分線的性質(zhì)以及運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．例9．（2023·江蘇八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖所示，在中，分別是和的平分線，證明：．（2）如圖所示，的外角平分線和相交于點(diǎn)D，證明：．（3）如圖所示，的內(nèi)角平分線和外角平分線相交于點(diǎn)D，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）設(shè)．由的內(nèi)角和為，得．①由的內(nèi)角和為，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∴由三角形內(nèi)角和定理得，，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；（3）如圖：更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：∵BD為△ABC的角平分線，交AC與點(diǎn)E，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點(diǎn)D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=∠A．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學(xué)常規(guī)題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·成都·八年級(jí)月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，則A． B． C． D．【解答】解：延長(zhǎng)，作，，，設(shè)，平分，，，平分，，，，，，，，在和中，，，．故選：．2．（2023秋·綿陽市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)D，連接，下列結(jié)論中不正確的是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，然后利用對(duì)頂角，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，即可判斷C選項(xiàng)；利用角平分線的性質(zhì)，推出為的外角平分線，然后列式計(jì)算求出，即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；平分，，在中，，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；平分，，在中，，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；、分別是和的平分線，到、、的距離相等，是的外角平分線，，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記定理和概念是解題關(guān)鍵．3．（2022春·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．55° D．60°【答案】B【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠D的度數(shù)．【詳解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問題是關(guān)鍵．4．（2022秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在內(nèi)，且到三邊的距離相等，連接．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：【分析】由點(diǎn)在內(nèi)，且到三邊的距離相等，可知是角平分線的交點(diǎn)，則，，由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)在內(nèi)，且到三邊的距離相等，∴是角平分線的交點(diǎn)，∴，，∵，∴，即，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．5．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于（

）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到，，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，，則，利用等式的性質(zhì)得到，然后把的度數(shù)代入計(jì)算即可．【詳解】解答：解：∵的平分線與的平分線交于點(diǎn)D，∴，，∵，即，∴，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵．6．（2023春·福建漳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是角平分線，是邊上的高，延長(zhǎng)與外角的平分線交于點(diǎn)．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由三角形的角平分線的含義可判斷①，由三角形的高的含義可判斷②，證明，，，，可判斷③，由，，可得，從而可判斷④，從而可得答案．【詳解】解：∵是角平分線，∴，故①符合題意；∵是邊上的高，∴，故②符合題意；∵是角平分線，平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，故③不符合題意；∵，，∴，故④符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的角平分線與高的含義，三角形的外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的外角的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．7．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，的平分線與外角的平分線交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)為．【答案】/37度【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可證明是的外角平分線，再利用三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：過E點(diǎn)分別作于，作于點(diǎn)G，作于H，∵是的平分線，是的平分線，∴，，∴，∴是的外角平分線，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角平分線和外角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，是的平分線，若，則．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)一步找出其中的規(guī)律，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，，又，，，，同理可得：，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出，，與的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)M，作的延長(zhǎng)線得到射線，作射線，有下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③射線是的角平分線；④．所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【分析】由角平分線的定義可知．再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可確定，故①正確；過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)定理可得出．即易證，得出，即說明射線是的角平分線，故③正確；利用反證法，假設(shè)，易證，即得出．由，可知，即說明不成立，故②錯(cuò)誤；由，即得出．再根據(jù)角平分線的定義即得出，最后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論，可判斷④正確．【詳解】解：∵為的平分線，∴．∵，∴，∴，故①正確；如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，∵為的平分線，為的平分線，∴．又∵，∴，∴，即射線是的角平分線，故③正確；假設(shè)，∴．∵為的平分線，是的角平分線，∴，，∴，即，∴，即．∵，∴，∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤；∵，∴．∵，∴，∴，∴④正確．綜上可知所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用等知識(shí)．正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．10．（2023春·河北·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【答案】40°【分析】根據(jù)角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠ACO=∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和概念正確推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則．（用含字母的代數(shù)式表示）【答案】【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理求出∠P的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠A+∠D=m°，且四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分線，∴∠PBC=，∠BCP=，∴∠PBC+∠BCP=∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和及三角形的內(nèi)角和與角平分線相關(guān)的角度計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是表達(dá)出∠PBC+∠BCP的度數(shù)．12．（2023春·河南·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC兩外角平分線的交點(diǎn)，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝．【答案】36°【分析】由角平分線的定義得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的關(guān)系可求得∠CMB=108°，再由內(nèi)角平分線及三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果．【詳解】由題意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°，∴∠CMB+∠CNB=180°，又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形角平分線的定義等知識(shí)，由條件得到∠NCM=∠MBN=90°是關(guān)鍵．13．（2023·黑龍江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由見解析；(2)∠BOC=∠A；理由見解析【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出結(jié)論；(2)根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根據(jù)∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【詳解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A．(2)∠BOC=∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC=(∠ACE-∠ABC)=∠A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握外角性質(zhì)并能正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．14．（2023·北京昌平·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.探究1：如圖l，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A,理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(2)探究3：如圖3中,O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）【答案】（1）探究2結(jié)論：∠BOC=；（2）探究3：結(jié)論∠BOC=90°－；（3）拓展：結(jié)論【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；（3）同（1）的求解思路．更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育【詳解】（1）探究2結(jié)論：∠BOC=∠A．理由如下：如圖，∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，即∠BOC=∠A；（2）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-（180°+∠A），=90°-∠A；故答案為∠BOC=90°-∠A．（3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D），在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．故答案為∠BOC=（∠A+∠D）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長(zhǎng)線交OM于點(diǎn)G．（1）若∠MON＝60°，則∠ACG＝°；若∠MON＝90°，則∠ACG＝°；（2）若∠MON＝n°，請(qǐng)求出∠ACG的度數(shù)；（用含n的代數(shù)式表示）（3）如圖2，若∠MON＝n°，過C作直線與AB交于F，若CF∥OA時(shí)，求∠BGO－∠ACF的度數(shù)．（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）60°；45°；（2）90°－n；（3）90°－n．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠ABO+∠BAO的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義及外角的性質(zhì)即可得到∠ACG的度數(shù)；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求出答案；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性質(zhì)得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.【詳解】（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠ABC=∠ABO，∠BAC=∠BAO，當(dāng)∠MON＝60°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=60°，當(dāng)∠MON＝90°，∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=45°，故答案為：60°，45°；（2）由（1）知∠ACG=（180°-∠MON），∵∠MON＝n°，∴∠ACG=（180°-∠MON）=90°－n；（3）∵AC平分∠BAO，∴∠BAC=∠CAO∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,∵∠MON＝n°時(shí)∠ACG=90°－n，∴∠BGO－∠ACF=90°－n.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，外角的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)定理，解題時(shí)注意共性思想的理解和利用.16．（2023·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D．①當(dāng)α＝70°時(shí)，∠BDC度數(shù)＝度（直接寫出結(jié)果）；②∠BDC的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE角平分線交于點(diǎn)F，求∠BFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的角平分線與∠GCB的角平分線交于點(diǎn)M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（1）①125°；②，（2）；（3）【分析】（1）①由三角形內(nèi)角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求∠BDC；②由三角形內(nèi)角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推導(dǎo)方法即可求解；（2）由三角形外角性質(zhì)得，然后結(jié)合角平分線的定義求解；（3）由折疊的對(duì)稱性得，結(jié)合（1）②的結(jié)論可得答案．【詳解】解：（1）①∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣70°）＝125°②∵∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α．故答案分別為125°，90°+α．（2）∵BF和CF分別平分∠ABC和∠ACE∴，，∴＝即．（3）由軸對(duì)稱性質(zhì)知：，由（1）②可得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中與角平分線有關(guān)的角度計(jì)算，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對(duì)有些具有特殊結(jié)構(gòu)，且結(jié)論又具有一般性的數(shù)學(xué)問題我們常將其作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型加以識(shí)記，以積累和豐富自己的問題解決經(jīng)驗(yàn)．【結(jié)論發(fā)現(xiàn)】小明在處理教材第43頁第21題后發(fā)現(xiàn)：三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線與另一內(nèi)角的外角平分線的夾角的度數(shù)是三角形第三內(nèi)角度數(shù)的一半．【結(jié)論探究】（1）如圖1，在中，點(diǎn)是內(nèi)角平分線與外角的平分線的交點(diǎn)，則有．請(qǐng)補(bǔ)齊下方的說理過程．理由如下：因?yàn)?，又因?yàn)樵谥?，，所以．所以______．（理由是：等式性質(zhì)）同理可得：______．又因?yàn)楹头謩e是和的角平分線，所以，______．所以．即（）．所以．請(qǐng)直接應(yīng)用上面的“結(jié)論發(fā)現(xiàn)”解決下列問題：【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（2）如圖2，在中，．延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)至，已知、的角平分線與的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于、，求的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖3，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線形成如圖所示形狀．①已知，，求的度數(shù)；②直接寫出與的關(guān)系．【答案】（1）ECB，ACB，ECB；（2）70°；（3）①205°；②=（）+90°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到答案；（2）先推出∠AEC=∠ABC=20°，再推出∠EAC+∠FAC==90°，進(jìn)而即可求解；（3）①延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CE、BF交于點(diǎn)N，可得∠N=∠M，進(jìn)而即可求解；②根據(jù)∠N=∠M，結(jié)合平角的意義以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）因?yàn)?，又因?yàn)樵谥?，，所以．所以ECB．（理由是：等式性質(zhì)）同理可得：_ACB_．又因?yàn)楹头謩e是和的角平分線，所以，__ECB____．所以．即（）．所以．故答案是：ECB，ACB，ECB；（2）∵，∴∠AEC=∠ABC=20°，∵、的角平分線與的角平分線及其反向延長(zhǎng)線交于、，∴∠EAC+∠FAC=∠ABC+=(∠ABC+)=×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°；（3）①延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)CE、BF交于點(diǎn)N，∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=∠M，∵，，∴∠M=180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°，∴∠N=25°，∴=360°-（180°-25°）=205°；②∵=360°-（180°-∠N）=180°+∠N，+=180°+∠M，又∵∠N=∠M，∴-180°=（+-180°），即：=（）+90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，和的平分線交于，則的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在中，的平分線和的外角的角平分線交于，則與的關(guān)系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在中，外角的角平分線和的外角的角平分線交于，請(qǐng)直接寫出與的關(guān)系是______．【答案】（1）110°；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）