任意角課件-高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

5.1任意角與弧度制5.1.1任意角過去我們學習了0°～360°范圍的角，但在實際問題中還會遇到其他角．如在體操、跳水等比賽中，常常聽到“轉體1080°”、“轉體1260°”。再如鐘表的指針、擰動螺絲的扳手旋轉所成的角方向不同.因此，我們必須將角的概念進行推廣.問題1

在初中是如何定義角的？角的范圍是多少？提示

角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形，角的范圍是0°～360°.PART

1任意角定義：一條射線OA繞著端點O旋轉到另一個位置OB，

所形成的圖形為角α。始邊終邊頂點“角α”或“∠α”可以簡記為“α”PART2

正角負角角按旋轉方向分類：（1）正角：按逆時針方向旋轉形成的角（2）負角：按順時針方向旋轉形成的角（3）零角：一條射線沒有做任何旋轉形成的角把角的概念推廣到任意角，角有正負之分，角的大小可以取任意值。定義理解

750°α=210°β=-150°γ=-660°

若手表時針走過4小時，則時針轉過的角度為A.120° B.－120°C.－60° D.60°√由于時針是順時針旋轉，故時針轉過的角度為負數(shù)，例1經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是A.60°，720° B.－60°，－720°C.－30°，－360° D.－60°，720°√PART3

角的加減法

PART3

角的加減法

3.角的減法：α-β=α+(-β)定義理解例2.將一條射線繞著其端點順時針旋轉198°，再逆時針旋轉80°，最后形成的角的度數(shù)為________解析：∵順時針旋轉所成的角為負角，逆時針旋轉所成的角為正角，∴經(jīng)兩次旋轉后形成的角的度數(shù)為-198°+80°=-118°-118°

60°90°xyOxyO60°180°問題2現(xiàn)在，我們把角的概念推廣到了任意角，如何更形象地表示一個角？提示

我們通常在直角坐標系內(nèi)討論角，為了方便，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.PART4

象限角/軸線角(1)銳角是第一象限角，鈍角是第二象限角，直角的終邊在坐標軸上，它不屬于任何一個象限.（軸線角）(2)每一個象限都有正角和負角.(3)無法比較兩個象限角的大小.注意點：思考

？1.銳角是第幾象限的角？2.第一象限角一定是銳角嗎？4.直角是象限角？還是軸線角？3.第一象限角一定是正角嗎？第一象限角不一定不一定軸線角

(多選)下列敘述不正確的是A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B.鈍角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角跟蹤訓練2√√√直角不屬于任何一個象限，故A不正確；鈍角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正確；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正確；由于零角和負角也小于180°，故D不正確.畫出30°，390°，-330°，觀察它們有什么共同點？思考

？390°=30°+1×360°-330°=30°-1×360°PART5

終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。

已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最小的正角；例3因為－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角為315°.

已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(2)最大的負角；例3最大的負角為－45°.

已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(3)－360°～720°之間的角.例3－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.終邊相同的角的表示(1)終邊相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式.(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.

若角2α與240°角的終邊相同，則α等于A.120°＋k·360°，k∈Z

B.120°＋k·180°，k∈ZC.240°＋k·360°，k∈Z

D.240°＋k·180°，k∈Z跟蹤訓練3√角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.區(qū)域角以及終邊在已知直線上的角的表示

已知，如圖所示.(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；跟蹤訓練4終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合是{α|210°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}.(1)象限角的判定方法①根據(jù)圖象判定.利用圖象實際操作時，依據(jù)是終邊相同的角的思想，因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應的關系.②將角轉化到0°～360°范圍內(nèi).在直角坐標平面內(nèi)，在0°～360°之間沒有兩個角終邊是相同的.(2)表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.課堂小結1.知識清單：(1)正角、負角、零角的概念.(2)終邊相同的角的表示.(3)象限角、區(qū)域角的表示.2.方法歸納：數(shù)形結合、分類討論.3.常見誤區(qū)：銳角與小于90°角的區(qū)別，終邊相同的角的表示中漏掉k∈Z.1.“α是銳角”是“α是第一象限角”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1234√因為α是銳角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是銳角，所以“α是銳角”是“α是第一象限角”的充分不必要條件.2.2022°是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角√12342022°＝5×360°＋222°，所以2022°角的終邊與222°角的終邊相同，為第三象限角.3.與－460°角終邊相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z因為－460°＝260°＋(－2)×360°，故與－460°角終邊相同的角可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.1234√12344.