壓電層合桿縱向波動(dòng)方程的拉氏變換解

壓電層合桿縱向波動(dòng)方程的拉氏變換解

雙晶壓振子由壓力陶瓷-金屬-壓力陶瓷層合結(jié)構(gòu)組成，輸出位移大，產(chǎn)量高，斷裂軟度高，不易損壞，因此得到了廣泛應(yīng)用。為了確保電子振子在振動(dòng)和振動(dòng)等復(fù)雜環(huán)境下能夠可靠性工作，科學(xué)家們研究了它們的相關(guān)問題。在這項(xiàng)工作中，將桿狀單晶壓振子簡化為有限長度的電壓層壓縮桿，并研究了其受到垂直梯度影響的波動(dòng)。為了研究有限長熱帶的縱向影響，有必要研究有限長熱帶的縱向影響。在有限的長面對(duì)垂直影響下，研究有限長度的軟彈簧的相互應(yīng)用。肖吉永采用模型分析法研究了在一般邊界條件下，桿段的點(diǎn)彈性碰撞問題，并獲得了結(jié)構(gòu)碰撞時(shí)的分析解。吳家強(qiáng)用模型法研究了一般邊界條件下桿段的點(diǎn)彈性碰撞問題，并獲得了桿段前后桿的動(dòng)態(tài)反應(yīng)分析。波四元采用直接模擬法研究了彈簧連接的圓錐形桿的垂直碰撞。張繼業(yè)用波傳播法研究了一般邊界條件下桿在垂直方向上的振動(dòng)，并分析了桿振動(dòng)時(shí)桿和桿之間的振動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。c.schwarz基于波動(dòng)法詳細(xì)研究了彈簧連接的彈性桿的縱向激勵(lì)，同時(shí)研究了桿和剛端之間的振動(dòng)路徑。c.schwarz基于波動(dòng)法詳細(xì)研究了彈簧連接中的彈性桿的縱向激勵(lì)，也取得了很大的成果。q.王研究了縱軸長壓耦合桿的傳播問題。鄧慶田研究了彈性波在壓裂圓端的傳播。彭亮利用波動(dòng)理論分析了自由空軸推動(dòng)的壓裂桿的動(dòng)態(tài)。c.x.xue研究了無限長磁軸上的非線性單波問題。本文對(duì)壓電層合桿一端由彈簧連接固定,另一端受剛性球縱向沖擊時(shí)彈性波在桿內(nèi)的傳播問題進(jìn)行了研究.考慮力電耦合效應(yīng),得到了桿的波動(dòng)方程,用Laplace變換并引入相關(guān)函數(shù)得到了沖擊時(shí)桿內(nèi)位移和電勢(shì)的解析解,討論了相關(guān)參數(shù)和條件對(duì)彈性波在桿內(nèi)的傳播和電勢(shì)分布的影響.所得結(jié)論對(duì)工程實(shí)際有一定的理論參考意義.1剛開始撞擊時(shí)的彈簧問題本文研究的對(duì)象是一個(gè)三層壓電層合桿,桿的中間層為彈性材料,上、下兩層為壓電材料,桿的一端連接著一彈簧,另一端受到一剛性球的縱向撞擊,其結(jié)構(gòu)及壓電材料的極化方向如圖1所示.中間層彈性基體材料為各向同性,壓電材料為橫觀各向同性.彈性材料和壓電材料的長為l,寬為w,彈性材料的厚度為2hm,壓電材料的厚度為hp.剛性球的質(zhì)量為m,初始速度為v,桿的支撐端彈簧的剛度為k.碰撞面與桿軸線的交點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn),以桿軸線為x軸.球與桿剛開始接觸時(shí)計(jì)為t=0時(shí),此時(shí)彈簧處于自由狀態(tài).假設(shè)桿在受撞擊過程中,變形前原為平面的桿的橫截面變形后仍保持平面,且不計(jì)橫向變形根據(jù)對(duì)稱性,所研究問題可簡化為一維問題,桿中只存在x方向的位移u,但壓電層中的電勢(shì)φ會(huì)隨z軸而變化,即有彈性材料的本構(gòu)方程及壓電材料的壓電方程為式中:Txm,Sxm分別為彈性材料在x方向的應(yīng)力、應(yīng)變;Txp,Sxp分別為壓電材料在x方向的應(yīng)力、應(yīng)變Em為彈性材料的彈性模量;Dz,Ez分別為z方向的電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度;c11,e11,ε33分別為壓電材料的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、夾持介電常數(shù).材料的幾何方程及電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系為假設(shè)ρm,ρp分別為彈性材料和壓電材料的密度,Am=2hmw,Ap=hpw分別為彈性材料和壓電材料的橫截面積,則層合桿橫截面上的內(nèi)力為由達(dá)朗伯原理得到層合桿軸向平衡方程將式(1)~(4)代入式(5)得在t=0時(shí)有初始條件當(dāng)碰撞進(jìn)行時(shí)有邊界條件由于層間的位移和應(yīng)力連續(xù)性條件恒滿足,則電學(xué)條件為當(dāng)z=hm時(shí),由于是對(duì)稱性,因此僅考慮上半部分.當(dāng)上下表面接地時(shí),電學(xué)邊界條件為令電勢(shì)函數(shù)為式中:f(z)為只與z相關(guān)的函數(shù).聯(lián)立式(2),(3)和(10),(13)可得式中:C為與任何變量無關(guān)的常數(shù).由式(12),(13)和(15)得聯(lián)立式(2),(3),(11)和(16)得將式(17)代入(6)得到壓電層合桿的縱向波動(dòng)方程c0為壓電層合桿中彈性縱波的波速.2采用lampace變換法求解縱向波動(dòng)方程2.1u3000laplace變換將式(2),(3),(17)代入邊界條件式(9),(10),令K=AmEm+2Ap(c11+e231/ε33),可得對(duì)式(18)~(20)關(guān)于時(shí)間t進(jìn)行Laplace變換,令,則可得到則式(21)的通解可表示為式中:C1,C2為與x無關(guān)的待定系數(shù).將式(24)代入式(22),(23)可得C1,C2,得到2.2拉氏變換拉氏變換現(xiàn)在引入函數(shù)ln(t)=e-t/2·Ln(t),其中拉蓋爾函數(shù)對(duì)ln(t)進(jìn)行拉氏變換得到所以令則有由拉氏變換的相關(guān)性質(zhì)可得,位移,即應(yīng)變壓電層中的電勢(shì)3材料參數(shù)c取層合桿尺寸l=1m,w=5mm,hm=5mm.壓電材料c11=126GPa,ρp=7500kg/m3,e31=-6.5C/m2,ε33=13×10-9F/m.若Em=210GPa,ρm=7850kg/m3,滿足(c11+e231/ε33)ρm<Emρp,定為第1組材料.若Em=135.28GPa,ρm=7850kg/m3,滿足(c11+e231/ε33)ρm=Emρp,定為第2組材料.若Em=100GPa,ρm=7850kg/m3,滿足(c11+e231/ε33)ρm>Emρp,定為第3組材料.取鋼球速度v=5m/s,令T=l/c0,質(zhì)量比r=m/l(ρmAm+2ρpAp),參數(shù)k珓=kl/K,壓電層和彈性層的厚度比α=hp/2hm.T表示波從桿的一端傳到另一端所用的時(shí)間.3.1有限的級(jí)數(shù)項(xiàng)是非零的處理本文在進(jìn)行拉氏逆變換時(shí),通過引用特殊函數(shù)及利用拉氏變換的相關(guān)性質(zhì),得到位移的解析解.式(30)位移解雖然是由無數(shù)級(jí)數(shù)項(xiàng)相加得到的,但當(dāng)x與t確定后,只有有限的級(jí)數(shù)項(xiàng)是非零的.以第2組材料為例,當(dāng)x=0.5m,t=0.45ms時(shí),只有n=0的級(jí)數(shù)項(xiàng)是非零的;當(dāng)x=0.5m,t=0.9ms時(shí),只有n=0,1的級(jí)數(shù)項(xiàng)是非零的.而傳統(tǒng)方法在進(jìn)行拉氏逆變換時(shí),一般是通過留數(shù)定理等復(fù)變函數(shù)的方法求解,也得到級(jí)數(shù)形式的解析解,但在實(shí)際計(jì)算時(shí),往往只取部分級(jí)數(shù)項(xiàng)計(jì)算,以至于出現(xiàn)截?cái)嗾`差.而本文得到的解在實(shí)際計(jì)算時(shí),不會(huì)出現(xiàn)截?cái)嗾`差,因此理論上表明本文方法的精確度更高.3.2厚度比對(duì)彈性桿波速的影響由壓電層合桿縱波波速的表達(dá)式可知,波速只與壓電材料和彈性材料的參數(shù)及它們的厚度相關(guān),與剛性球的質(zhì)量、沖擊速度和邊界條件無關(guān).桿中縱波波速與厚度比α的關(guān)系如圖2所示.從圖2可知,第2組材料的縱波波速不隨厚度比的變化而變化,波速恒等于縱波在純壓電桿中的傳播速度.第1,第3組材料在厚度比為0時(shí)的波速等于縱波在純彈性桿中的傳播速度.第1組材料的縱波波速隨厚度比的增大而逐漸減小,且無限接近于第2組材料的波速.第3組材料的縱波波速隨厚度比的增大而逐漸增大,且無限接近于第2組材料的波速.3.3不同z坐標(biāo)下電勢(shì)波的傳播規(guī)律為討論電勢(shì)波的傳播特性,取第1組材料的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬.圖3描述了當(dāng)上下表面接地且k珓=1,r=1,α=0.2時(shí),在x=0.5m處,不同z坐標(biāo)下的電勢(shì)隨時(shí)間的變化規(guī)律,圖中無量綱量Ω=t/T.由圖3可以看出,當(dāng)t≤0.5T時(shí),電勢(shì)波還未傳播到x=0.5m處,此時(shí)的電勢(shì)為0;當(dāng)t=0.5T時(shí),電勢(shì)波發(fā)生一個(gè)躍階,隨著時(shí)間的推移,電勢(shì)逐漸減小;當(dāng)t=1.5T時(shí),由彈簧支撐端反射的電勢(shì)波與入射的電勢(shì)波進(jìn)行疊加,電勢(shì)波再一次發(fā)生躍階,隨后逐漸減小.由圖4可知,當(dāng)x固定時(shí),壓電層中電勢(shì)在z方向沿線性分布,在層間結(jié)合處電勢(shì)最大,上下表面最小為0.3.4拉伸應(yīng)變波前處的應(yīng)變?yōu)橛懻撟矒暨M(jìn)行時(shí)應(yīng)變波沿壓電層合桿的傳播特性,現(xiàn)取第1組材料參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬.在t時(shí)刻,波的前鋒所在的位置成為波前.由圖5可知,當(dāng)0≤t≤T時(shí),波前處的應(yīng)變發(fā)生一個(gè)躍階,由0變?yōu)樨?fù);隨著波向前的傳播,該位置的應(yīng)變逐漸減小,當(dāng)t=T時(shí),波前到達(dá)桿的另一端,隨后波發(fā)生反射;當(dāng)T≤t≤2T時(shí),入射的應(yīng)變波和支撐端反射的應(yīng)變波進(jìn)行疊加,波前處的應(yīng)變?cè)俅伟l(fā)生一個(gè)躍階,應(yīng)變由負(fù)變正,即由壓縮應(yīng)變變化為拉伸應(yīng)變;當(dāng)t=2T時(shí),波前到達(dá)撞擊端,當(dāng)撞擊端處的應(yīng)變?yōu)槔鞈?yīng)變時(shí),鋼球與桿分離,撞擊停止.4上覆蓋物的傳播特性1)在進(jìn)行拉氏逆變換時(shí),通過引入拉蓋爾函數(shù),得到了桿內(nèi)各點(diǎn)的位移和電勢(shì)的級(jí)數(shù)形式解析表達(dá)式,對(duì)某一有限的時(shí)間,只有有限的級(jí)數(shù)項(xiàng)是非零的,相對(duì)于用留數(shù)