函數的極值與導數 省賽獲獎

函數的極值和導數（2）一、復習:1.設函數y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0

附近所有各點的函數值都大,我們說f(x0)是函數y=f(x)

的一個極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數值都小,我們說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當函數f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左側右側那么,f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側右側那么,f(x0)是極小值.3.理解函數極值的定義時應注意以下幾點:(6)極值只能在函數不可導的點或導數為零的點取到.4.確定函數的極值應從幾何直觀入手,理解可導函數在其定義域上的單調性與函數極值的相互關系,掌握利用導數判斷函數極值的基本方法.(1)函數的極值是一個局部性的概念,極值點是區(qū)間內部的點而不會是端點.(2)若f(x)在某區(qū)間內有極值,那么f(x)在某區(qū)間內一定不是單調函數,即在區(qū)間上單調的函數沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關系,即極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.(4)函數f(x)在某區(qū)間內有極值,它的極值點的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點.

一般地,當函數f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點時,函數f(x)在該區(qū)間內的極大值點與極小值點是交替出現的.(5)導數為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.練習1：下列結論中正確的是（）。

A、導數為零的點一定是極值點。

B、如果在x0附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,那么f(x0)是極大值。

C、如果在x0附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,那么f(x0)是極大值。Ｄ、極大值一定大于極小值。B0xy2、函數y=f(x)的導數y/與函數值和極值之間的關系為()A、導數y/由負變正,則函數y由減變?yōu)樵?且有極大值B、導數y/由負變正,則函數y由增變?yōu)闇p,且有極大值C、導數y/由正變負,則函數y由增變?yōu)闇p,且有極小值D、導數y/由正變負,則函數y由增變?yōu)闇p,且有極大值Dx(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗極大值-2a↘↘極小值2a↗故當x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a.例1:求函數的極值.解:函數的定義域為令,解得x1=-a,x2=a(a>0).當x變化時,,f(x)的變化情況如下表:練習1:求函數的極值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.當x變化時,,y的變化情況如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y

↘極大值-3↗極小值3↘因此,當x=-1時有極大值,并且,y極大值=3;而,當x=1時有極小值,并且,y極小值=-3.例2:已知函數f(x)=-x3+ax2+b.

若,函數f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,試討論k≥-1成立的充要條件.解

等價于當時,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-1≤0對一切恒成立.由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.反之,當a≥1時,g(x)≤0對一切恒成立.所以,a≥1是k≥-1成立的充要條件.2:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2處有極值，求a、b的值解：∴因為在x=1和x=2處,導數為0練習3:已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為

10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或當a=-3,b=3時,,此時f(x)在x=1處無極值,不合題意.當a=4,b=-11時,-3/11<x<1時,;x>1時,,此時x=1是極值點.從而所求的解為a=4,b=-11.例3：已知函數求的極值解:令解得所以函數的極大值為，極小值為當變化時,的變化情況如下表:↘--+↗↘--極小值極大值例4:已知函數f(x)滿足條件:①當x>2時,;②當

x<2時,;③.

求證:函數y=f(x2)在處有極小值.證:設g(x)=f(x2),則故當