中國精算師-精算模型-經驗模型

中國精算師-精算模型-經驗模型[單選題]1.在完整數(shù)據(jù)研究中，恰在第2次死亡之后的累積危險率函數(shù)H（t）的Nelson-?alen估計量為11/30，則恰在第4次死亡后的H（t）的估計量為()。A.0.37（江南博哥）B.0.60C.0.63D.0.95E.0.98正確答案：D參考解析：在第2次死亡后，，其中n為初始樣本容量，由已知條件得，即11n2－71n+30=0，解得：n=6（其中n=5/11舍去）。故。[單選題]2.在一完整數(shù)據(jù)研究中，初始樣本容量n=10，S（12）的乘積極限估計為并且每次死亡均發(fā)生在不同的時點上，則S（12）的Nelson-?alen估計量為()。A.0.28546B.0.33611C.0.62157D.0.66389E.0.71454正確答案：E參考解析：因為是完整數(shù)據(jù)，則S（12）的乘積極限估計為所以在t=12時，有7個生存者。即t=12以前發(fā)生了3次死亡，于是H（12）的Nelson-?alen估計量為[單選題]3.有50位60歲的退休職工購買了一年定期壽險，在此后的一年中，有5人死亡，其中在第一季末死亡2人，第三季末死亡3人，且在歲有6人退出，則q60的乘積估計量為()。A.0.109B.0.209C.0.309D.0.409E.0.509正確答案：A參考解析：依題意作如圖所示劃分，其中向下箭頭表退出，×表示死亡。圖死亡、退出示意圖[單選題]4.觀察由10名100歲的老人組成的研究對象，觀察到在時間2有1人死亡，在時間4.5有1人死亡，在時間4有x人退出，若用乘積估計法估計，則x=()。A.2B.3C.4D.5E.6正確答案：B參考解析：依題意作圖所示劃分，其中向下箭頭表退出，×表示死亡。圖死亡、退出示意圖[單選題]5.觀察4只剛出生的小白鼠，它們的死亡時間分別為2，4，5，9。記為利用乘積估計法估計的S（8），為利用Nelson-Aalen法估計的S（8），則=()。A.－0.26B.－0.16C.－0.09D.0.26E.0.36正確答案：C參考解析：由已知得：[單選題]6.在一完全數(shù)據(jù)研究中，若每一死亡點只發(fā)生一次死亡，用Nelson-?alen法估計累積危險率函數(shù)H（t），得到=0.303，=0.38，則=()。A.0.12B.0.23C.0.24D.0.36E.0.46正確答案：E參考解析：設初始樣本量為n，則累積危險率函數(shù)的估計量為[單選題]7.在對一完全數(shù)據(jù)研究中，初始樣本n=16，是S（t）的乘積估計量，并且每次死亡均發(fā)生在不同的時點上，則S（10）的Nelson-?alen估計為()。A.0.758B.0.769C.0.778D.0.789E.0.798正確答案：A參考解析：由于是完全數(shù)據(jù)，且在t=10時，即有16×0.75=12個生存者，那么在t=10之前發(fā)生了4次死亡，所以S（10）的Nelson-?alen估計為：[單選題]8.已知：從t=0時觀察實驗小鼠中的10只小鼠，直到這10只小鼠全部死亡為止，觀察到這10只小鼠的死亡時間為（單位：天）：2，3，4，4，6，6，7，8，8，10；且這10個只小鼠的壽命在[0，10]上服從均勻分布，則=()。A.0.0217B.0.0267C.0.0416D.0.0622E.0.0773正確答案：E參考解析：由于壽命服從[0，10]上的均勻分布，則5|q0=F（6）－F（5）=6/10-5/10=0.1，S（5）=1－F（5）=1－5/10=0.5，S（6）=1－F（6）=1－6/10=0.4所以[單選題]9.在完全數(shù)據(jù)研究中，從t=0開始觀察10只小鼠，觀察到死亡時間分別為：1，2，4，5，6，7，7，8，9，假設死亡在（0，10]內服從均勻分布，A.0.29B.0.39C.0.43D.0.49E.0.53正確答案：A參考解析：由于死亡在（0，10]內服從均勻分布，所以；而在（6，7]上有2只小鼠死亡，所以，故[單選題]10.對于100個由60歲的被保險人組成的團體進行為期1年的觀察，其間有4個人死亡，死亡分別發(fā)生在第1個月末、第2個月末、第10個月末、第四季度末，且在半年時有10人退出，則q60的乘積估計量的方差為()。A.0.00035B.0.00043C.0.00047D.0.00050E.0.00056正確答案：B參考解析：由已知條件得：，所以[單選題]11.在對某個群體的完整數(shù)據(jù)研究中，研究結果為：（1）H（t）的Nelson-?alen估計值在第三次死亡之后的值為73/168；（2）每次死亡均發(fā)生在不同的時點上。則S（t3）的乘積估計量為()。A.5/8B.4/5C.5/6D.6/7E.7/8正確答案：A參考解析：由已知得：，解得n=8。由于死亡發(fā)生在不同時點上，且是完整數(shù)據(jù)研究，即中間沒有退出和加入，所以[單選題]12.某一死亡率研究中，已知信息為：（1）中間沒有新的加入者進入觀察區(qū)間；（2）1個人在t3時死亡；（3）2個人在t4時死亡；（4）1個人在t6時死亡;（5）在區(qū)間[t3，t6）沒有其他的死亡；（6）S（t）的乘積估計如表所示。計算[t4，t6）退出研究的人數(shù)為()。A.0B.1C.2D.3E.4正確答案：E參考解析：設在[t4，t6）退出研究的人數(shù)為w3，由已知條件作如圖所示的分組，其中向下箭頭表示退出，×表示死亡。[單選題]13.表中的數(shù)據(jù)集是一組人造的5年定期壽險保單中止時間的數(shù)據(jù)集。列出了從發(fā)行之日起觀測的30份保單的數(shù)據(jù)，不僅詳細給出了每個投保人的身故時間還給出了退保時間（只要身故或退保發(fā)生在5年到期之前）。對數(shù)據(jù)集的所有觀測信息，則用經驗方法估計q2及該估計值在2時刻存活的條件下的方差為()。表數(shù)據(jù)集A.0.06897，0.02214B.0.06879，0.00271C.0.07896，0.0221D.0.06897，0.00221E.0.07897，0.00214正確答案：D參考解析：n=30，在時刻2之前有1人身故，在時刻3之前有3人身故，因此有則q2的經驗估計為計算這個估計量的條件方差，即在給定有29人在2時刻存活的條件下求方差。此時有[單選題]14.已知數(shù)據(jù)集如表所示，這是一組人造的工傷險賠付數(shù)據(jù)，與任何具體的保單或被保險群體無關，而且賠付都是按照損失量全額支付的。對數(shù)據(jù)集，假設免賠額為250，則用經驗方法估計賠付額不低于1000的概率及該估計值的方差為()。表數(shù)據(jù)集A.B.C.D.E.正確答案：C參考解析：通過經驗分析發(fā)現(xiàn)有13個損失額在免賠額250之上，其中有4個超過了1250（對這些損失的賠付為1000），故賠付額不低于1000的概率的經驗估計為，用生存函數(shù)的記號可表示為關于這個估計量只有通過條件方差可以計算求得，這個方差的估計值是[單選題]15.表是一組普通責任保險保單的227例賠案的賠付額的觀測值，則S（10000）和f（10000）的估計值以及這兩個估計值的方差分別為()。A.B.C.D.E.正確答案：B參考解析：S（10000）和f（10000）的點估計分別為方差估計分別為[單選題]16.數(shù)據(jù)集收集了2009~2011年間94935個駕駛員每人每年出現(xiàn)交通事故數(shù)的數(shù)據(jù)，如表8-5所示?；跀?shù)據(jù)集可計算得到p（2）的經驗估計及該估計量的方差分別為()。表數(shù)據(jù)集A.0.036，1.76×10-7B.0.017，1.76×10-5C.0.017，1.76×10-7D.0.0017，1.76×10-7E.0.017，1.96×10-7正確答案：C參考解析：p（2）的經驗估計為[單選題]17.在0到1年的區(qū)間中，面對死亡威脅的個體數(shù)（r）為15，身故個體數(shù)（s）為3；在1到2年的區(qū)間中，面對死亡威脅的個體數(shù)和身故個體數(shù)分別為80和24；在2到3年的區(qū)間中，這2個量分別為25和5；在3到4年的區(qū)間中，這2個量變成60和6；在4到5年的區(qū)間中，這2個量是10和3，則用Greenwood近似公式計算的方差為()。A.B.C.D.E.正確答案：D參考解析：本題風險集計算如表所示。利用乘積極限公式，有則利用Greenwood公式計算的方差為，[單選題]18.已知數(shù)據(jù)如表所示，則在時刻20的累積風險率函數(shù)的Nelson-?alen估計量的標準差為()。A.0.1198B.0.1563C.0.1752D.0.1847E.0.1987正確答案：A參考解析：累積風險率函數(shù)H（x）的Nelson-?alen估計量為則那么時刻20的累積風險率函數(shù)的Nelson-?alen估計量的標準差為[單選題]19.來自10份保單的賠付額數(shù)據(jù)如下：2、3、3、5、5+、6、7、7+、9、11+（+表示損失額超過保單限額，以下同）。則使用乘積極限估計，計算出保單損失超過6.5的概率為()。A.0.48B.0.51C.0.54D.0.57E.0.60正確答案：A參考解析：保單中未刪失的數(shù)據(jù)中損失小于6.5的有4個不同的值，y1=2，y2=3，y3=5，y4=6，相對應的風險集為r1=10，r2=9，r3=7，r4=5，實際保單損失等于相對應的值的個數(shù)為s1=1，s2=2，s3=1，s4=1，利用乘積極限公式，則[單選題]20.給定含有刪失和截斷的生存數(shù)據(jù)如表所示。使用Nelson-?alen估計得到H（3）的90%置信水平的對數(shù)變換置信區(qū)間為()。A.（0.688，0.969）B.（0.475，0.688）C.（0.475，0.994）D.（0.563，0.995）E.（0.475，0.764）正確答案：C參考解析：H（3）的Nelson-?alen估計值為其對數(shù)轉換的置信區(qū)間為：將r1=30，s1=5，r2=27，s2=9，r3=32，s3=6，μ0.05=1.645帶入上式得到H（3）的90%置信水平的對數(shù)變換置信區(qū)間為（0.475，0.994）。[單選題]21.在兩個國家的保險產品的死亡率研究中，給定數(shù)據(jù)如表1所示。表1其中ri是（ti-1，ti）期間的風險數(shù)，Si是（ti-1，ti）期間的死亡數(shù)，并假定全部在ti時刻發(fā)生。令ST（t）表示基于兩國匯總數(shù)據(jù)的S（t）的乘積極限估計，SB（t）是僅基于B國數(shù)據(jù)的S（t）的乘積極限估計，則|ST（5）-SB（5）|=()。A.0B.0.0472C.0.0687D.0.0847E.0.0964正確答案：D參考解析：兩國匯總數(shù)據(jù)表如表2所示。表2利用乘積極限公式，則故|ST（5）-SB（5）|=0.0847。[單選題]22.累積危險率H（t0）的95%置信水平的線性置信區(qū)間是（1.63，1.99），則其90%置信水平的對數(shù)變換置信區(qū)間為()。A.（1.630，1.990）B.（1.665，1.967）C.（1.60，1.96）D.（1.655，1.978）E.（1.640，1.980）正確答案：B參考解析：累計危險率H（）的Nelson-?alen估計值為=，其線性置信區(qū)間和對數(shù)轉換的置信區(qū)間的表達式分別為：其中。則可得到=0.18，那么=0.151。將上式和=1.81帶入H（）的對數(shù)轉換置信區(qū)間的表達式，有則所求的置信區(qū)間為（1.665，1.967）。[單選題]23.一份保單組合產生了如下賠付：100、150、196、250、300、300、400、450、590、770，則累積危險率H（300）的經驗估計為()。A.0.8763B.0.8963C.0.9163D.0.9363E.0.9563正確答案：C參考解析：經驗分布函數(shù)對總體的估計為，所以又，所以[單選題]24.對一份保單組合有如下信息：（1）各保單都沒有免賠額，且保單限額各不相同；（2）一個有10個賠付額的樣本如下：350、350、500、500、500+、1000、1000+、1000+、1200、1500，其中“+”表示損失額超過保單限額；（3）的乘積極限估計；（4）假設損失額服從指數(shù)分布，的最大似然估計。則的值為()。A.0.06B.0.07C.0.08D.0.09E.0.10正確答案：D參考解析：根據(jù)題意與數(shù)據(jù)，可得表所示。則的乘積極限估計為假設指數(shù)分布的參數(shù)為，生存函數(shù)為，其密度函數(shù)為，則其似然函數(shù)和對數(shù)似然函數(shù)分別為：令，解得。因為，所以。綜上得。[單選題]25.來自10份保單的賠付額數(shù)據(jù)如下：4、4、5+、6+、7+、8、10+、10+、13、15。其中“+”表示損失額超過保單限額，利用Greenwood近似公式估計乘積極限估計的方差為()。A.0.04072B.0.03072C.0.02072D.0.01072E.0.05072正確答案：B參考解析：根據(jù)題意與數(shù)據(jù)，可得表。利用Greenwood近似公式估計乘積極限估計的方差為[單選題]26.對生存研究中的第i個觀測，記di是左截斷點，xi是沒有右刪失時的觀測值，ui是右刪失時的觀測值。給定表1，利用以上數(shù)據(jù)求得S10（1.6）的乘積極限估計為()。表1A.1B.0.8517C.0.7143D.0.5714E.0.1905正確答案：C參考解析：表1的風險集計算如下表2所示。表2則由Kaplan-Meier乘積極限公式得：當t=1.6時，所以S10（1.6）的乘積極限估計為0.7143。[單選題]27.某個死亡率研究中包含n個人。假設沒有刪失數(shù)據(jù)，死亡不會同時發(fā)生。已知累計危險率的Nelson-?alen估計是59／870。令tk是第k次死亡發(fā)生的時間，則用乘積極限估計計算t9時的生存函數(shù)值為()。A.0.52B.0.70C.0.80D.0.91E.1.02正確答案：B參考解析：累計危險率的Nelson-Aalen估計值，則n=30（n=舍去），那么此時的生存函數(shù)值為。[單選題]28.在索賠賠付次數(shù)的研究中，假定數(shù)據(jù)沒有刪失或截斷，一次索賠至多支付一次。已知第二次賠付后的瞬間，累積危險率的Nelson-?alen估計是17／72，則第四次賠付后的瞬間，累積危險率的Nelson-Aalen估計為()。A.0.1289B.0.2357C.0.3436D.0.5456E.0.6456正確答案：D參考解析：設n是總的索賠次數(shù)（初始的樣本容量），第二次賠付后的瞬間，累計危險率的Nelson-Aalen估計是解得或者（舍去），則第四次賠付后的瞬間，累積危險率的Nelson-Aalen估計為[單選題]29.已知（0.357，0.521）是t時刻Nelson-?alen估計的累積危險率的90%置信水平的對數(shù)變換置信區(qū)間，則S（t）的Nelson-?alen估計為()。A.0.5397B.0.5797C.0.6497D.0.7527E.0.7597正確答案：C參考解析：設t時刻的累積危險率的估計為，則在90％置信水平的對數(shù)變換置信區(qū)間為根據(jù)已知條件，可變換為，求解得，因此。[單選題]30.一個損失樣本中包含以下15個損失數(shù)據(jù)：11、22、22、22、36、51、69、69、69、92、92、120、161、161、230。設是累積危險率的Nelson-?alen經驗估計，是假設樣本來自損失服從指數(shù)分布的總體時，累積危險率的最大似然估計。則為()。A.0.112B.0.124C.0.136D.0.148E.0.160正確答案：A參考解析：易計算得=0.8052假設指數(shù)分布的參數(shù)為，生存函數(shù)為，其密度函數(shù)為，因此似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)分別為：令，解得。因為，所以=0.9169，因此。[單選題]31.12位投保人自保單生效伊始就開始接受觀察，直到發(fā)生第一次索賠，如表所示，則使用Nelson-?alen估計計算出累積危險率H（4.7）的90%置信水平的線性置信區(qū)間為()。A.（0.278，1.255）B.（0.251，1.055）C.（0.143，0.255）D.（0.378，1.053）E.（0.254，1.325）正確答案：A參考解析：根據(jù)題意，所求解的置信區(qū)間為

①其中，，，將其帶入①得，H（4.7）的90％置信水平的線性置信區(qū)間為（0.278，1.255）。[單選題]32.在一項生存研究中，死亡發(fā)生時間依次為y1＜y2＜…＜y9。已知y6和y7時刻的累計危險率的Nelson-?alen估計分別為，其估計量方差分別，則y7時的死亡數(shù)為()。A.1B.2C.3D.4E.5正確答案：E參考解析：因為①②由①②解得，即y7時的死亡數(shù)為5。[單選題]33.已知數(shù)據(jù)集{yi}為：200、300、100、400、X。已知信息為（1）k=4；（2）=1；（3）r4=1；（4）Nelson-?alen估計。則X的值為()。A.100B.200C.300D.400E.500正確答案：A參考解析：根據(jù)信息（1）k=4，可得X的可能取值為100、200、300、400；根據(jù)信息（2）S2=1，可得X不可能取值為200；根據(jù)信息（3）r4=1，可得X不可能取值為400，則可能取值為100，300；分情況討論，當X=100時，符合信息（4），所以X的值為100；當X=300時，不符合信息（4），所以X的值不可能為300；所以綜上可以看出X的值為100。[單選題]34.已知數(shù)據(jù)集{Yi}為：2500、2500、2500、3617、3662、4517、5000、5000、6010、6932、7500、7500。設是數(shù)據(jù)集{yi}中沒有刪失數(shù)據(jù)時的Nelson－?alen估計。是數(shù)據(jù)集{yi}中僅2500，5000，7500這7個數(shù)是右刪失時的Nelson－?alen估計，則為()。A.0.5833B.0.4833C.0.3833D.0.2833E.0.1833正確答案：A參考解析：數(shù)據(jù)有不同的觀測值，2500，3617，3662，4517，5000，6010，6932，7500；相應的個數(shù)分別為s1=3，s2=1，s3=1，s4=1，s5=2，s6=1，s7=1，s8=2；從而有在僅2500，5000，7500這7個數(shù)是右刪失時，此時未被刪失的觀測值分別記為y1=3617，…y5=6932，此時風險集rj包括（1）死亡時間在yj或yj以后的個體；（2）刪失時間在yj或者yj以后的個體，因此r1=12-3=9，r2=8，r3=7，r4=4，r5=3，而s1=3，s2=1，s3=1，s4=1，s5=2，則Nelson-?alen估計計算得[單選題]35.一個研究右截斷數(shù)據(jù)的死亡率研究中，給定以下數(shù)據(jù)（見表）。已知時刻為10時生存函數(shù)的Nelson-?alen估計是0.6133，則k的值()。A.31B.33C.35D.37E.39正確答案：E參考解析：根據(jù)生存函數(shù)與危險率函數(shù)的關系，可得又因為因此解得。[單選題]36.有5位患者從發(fā)病到死亡的時間的數(shù)據(jù)如下：2、3、3、7、8，用帶寬為1的三角核函數(shù)估計時間為2.5時的密度函數(shù)為()。A.0.15B.0.2C.0.25D.0.3E.0.35正確答案：D參考解析：為了計算，需要考慮的點是2，3。由一般的三角函數(shù)，其中，得到相應的權重分別為因此。[單選題]37.設某總體的分布函數(shù)是F（x），給定下列樣本數(shù)據(jù)：2.0、3.3、3.3、4.0、4.0、4.7、4.7、4.7，使用帶寬為1.4的均勻核函數(shù)計算的F（4）的核密度估計為()。A.0.5536B.0.53125C.0.4578D.0.3893E.0.3557正確答案：B參考解析：對于，需要考慮的點有2，3.3，4，4.7，根據(jù)，計算它們的權重分別為1，，，，因此。[單選題]38.來自某一總體的10個樣本數(shù)據(jù)為：1、2、3、3、3、3、3、3、3、3。分別記是使用帶寬為1的均勻核函數(shù)的核密度估計，是使用帶寬為1的三角核函數(shù)的核密度估計。則在[0，4]內滿足的區(qū)間為()。A.B.C.D.E.正確答案：B參考解析：①當使用帶寬為1的均勻核函數(shù)的核密度估計時，樣本數(shù)據(jù)只有1，2，3三個數(shù)據(jù)，所以分情況討論：當時，考慮數(shù)據(jù)1，；當時，考慮1，2，則；當時，根據(jù)核估計，考慮1，2，3，則；當時，考慮3，則；②使用帶寬為1的三角核函數(shù)的核密度估計時，同理分區(qū)間得：當時，；當時，；當時，；當時，綜上所述，當時，。[單選題]39.下面是10個觀察者的死亡年齡：38、40、46、46、48、50、56、58、60、62，使用帶寬為10的均勻核函數(shù)，則活過51歲的概率的核密度估計為()。A.0.425B.0.445C.0.465D.0.485E.0.515正確答案：D參考解析：設觀察者的死亡年齡為，則估計概率為對于估計，需要考慮38，40，46，48，50，56，58，60，且它們的權重函數(shù)分別為1，1，，，，，，，可得：所以活過51歲的概率的核密度估計為。[單選題]40.在雙重減因模型的研究中，假定個人生存數(shù)據(jù)受兩種減因影響（見表）。已知：（1）qj’（2）=0.06對所有j成立；（2）A組包含1000組數(shù)據(jù).觀測期從0開始；（3）A組僅被第一種減因影響。則利用Kaplan-Meier多重損因估計A組至少能活到60歲的人數(shù)為()。A.770B.771C.772D.773E.780正確答案：E參考解析：因為則，即A組至少能活到60歲的概率為，又因為A組有1000組數(shù)據(jù)，所以至少能活到60歲的人數(shù)為0.7734×1000=773.4，即773人。共享題干題從t=0開始觀察一個由8人組成的團體，直到他們全部死亡，僅記錄發(fā)生死亡的時間（以天為單位）。假設t=0的初始事件發(fā)生在一天的中點，死亡事件也發(fā)生在那天的中點，那么，所有的生存期限均為整數(shù)。所觀察的生存期限為3，4，5，5，7，10，10，12。So（t）是觀察的樣本空間的經驗生存函數(shù)。[單選題]1.利用So（t）估計S（t），則S（5）