達朗貝爾原理

§14-1慣性力·質(zhì)點的達朗貝爾原理人用手推車力為F，車的加速度為a。

是因為人要改變車的運動狀態(tài)，由于車的慣性（小車要保持原來的運動狀態(tài)）而引起的對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。一、慣性力的概念

由牛頓第二定律：施力物體(人手)也受到一個力根據(jù)作用與反作用定律：1精選ppt質(zhì)點受力作用而改變運動狀態(tài)時，由于本身的慣性對施力物體的反作用力。質(zhì)點慣性力定義：[注]1：質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)點對施力體反作用力的合力。[注]2：慣性力的作用點在施力體上。質(zhì)點慣性力在坐標(biāo)軸上的投影：ForceofInertia2精選ppt

非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力，約束力作用，質(zhì)點的加速度為：質(zhì)點的達朗伯原理二、質(zhì)點的達朗伯原理將移項，得：代入上式，得：如果在質(zhì)點上除了作用真實的主動力和約束力外，再假想地加上慣性力，那么這些力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點的達朗伯原理3精選ppt

該方程對動力學(xué)問題來說只是形式上的平衡，并沒有改變動力學(xué)問題的實質(zhì)。采用動靜法解決動力學(xué)問題的最大優(yōu)點，可以利用靜力學(xué)提供的解題方法，給動力學(xué)問題一種統(tǒng)一的解題格式。4精選ppt如下圖一圓錐擺。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長l=0.3m的繩上，繩的一端系在固定點O，并與鉛直線成θ=60o角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，求小球的速度v與繩的張力F的大小。Olθ例題1

例題達朗貝爾原理5精選ppt以小球為研究的質(zhì)點。質(zhì)點作勻速圓周運動，只有法向加速度，在質(zhì)點上除作用有重力mg和繩拉力F外，再加上法向慣性力F*，如下圖。取上式在自然軸上的投影式，有：根據(jù)達朗貝爾原理，這三力在形式上組成平衡系，即解：OlθenetebmgFF*例題1

例題達朗貝爾原理6精選ppt解得：例題1

例題達朗貝爾原理OlθenetebmgFF*7精選ppt例題2

例題達朗貝爾原理列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度

，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。8精選ppt例題2

例題達朗貝爾原理4、由動靜法,有：

解得2、受力分析：慣性力

3、運動分析：車作平動方向如下圖1、研究對象：擺錘M解：9精選ppt例題2

例題達朗貝爾原理

角隨著加速度的變化而變化，當(dāng)不變時，

角也不變。只要測出

角，就能知道列車的加速度。擺式加速計的原理。10精選ppt球磨機是一種破碎機械，在鼓室中裝進物料和鋼球，如下圖。當(dāng)鼓室繞水平軸轉(zhuǎn)動時，鋼球被鼓室攜帶到一定高度，此后脫離殼壁而沿拋物線軌跡落下，最后與物料碰撞以到達破碎的目的。如鼓室的轉(zhuǎn)速為nr/min，直徑為D。設(shè)鋼球與殼壁間無滑動，試求最外層鋼球的脫離角α。ωα例題3

例題達朗貝爾原理11精選pptαω應(yīng)用質(zhì)點動靜法

以鋼球為研究對象。設(shè)鋼球的質(zhì)量為m。受力如圖示。

鼓室以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，鋼球尚未脫離殼壁時，其加速度為：加慣性力，其大小為解：mgFNFF*例題3

例題達朗貝爾原理12精選ppt即脫離角α與鼓室轉(zhuǎn)速n有關(guān)。求得

顯然當(dāng)鋼球脫離殼壁時，F(xiàn)N=0，由此可求出其脫離角α為mgFNFαω例題3

例題達朗貝爾原理13精選ppt§16-2質(zhì)點系的達朗伯原理

質(zhì)點系中每個質(zhì)點上真實作用的主動力、約束反力和它的慣性力形式上組成平衡力系。這就是質(zhì)點系的達朗伯原理。

設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點，有主動力的合力約束反力的合力質(zhì)點的慣性力14精選ppt

質(zhì)點系中每個質(zhì)點上真實作用的主動力、約束反力和它的慣性力形式上組成平衡力系?！|(zhì)點系的達朗伯原理。注意到 ,將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分,則用方程表示為：15精選ppt

可見：對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關(guān)。公式說明：作用在質(zhì)點系上的所有外力與虛加在每個質(zhì)點上的慣性力在形式上組成力系?！@是質(zhì)點系達朗貝爾原理的又一表述。16精選ppt對平面任意力系：對于空間任意力系：

實際應(yīng)用時,同靜力學(xué)一樣可任意選取研究對象,列平衡方程求解。用動靜法求解動力學(xué)問題時，17精選ppt

飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度w轉(zhuǎn)動。試求調(diào)速器兩臂的張角a。設(shè)重錘C的質(zhì)量為m1，飛球A，B的質(zhì)量各為m2，各桿長均為l，桿重可以忽略不計。例題4

例題

達朗貝爾原理18精選ppt

方向如圖示。對飛球B應(yīng)用質(zhì)點動靜法，列出兩投影方程：當(dāng)調(diào)速器穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，飛球B慣性力〔即離心力〕F*垂直并通過主軸，其大小為解：

如把重錘C簡化為一質(zhì)點，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡例題4

例題

達朗貝爾原理19精選ppt

由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角α與主軸轉(zhuǎn)動角速度ω有關(guān)。利用這個結(jié)果可以選擇m1，m2，l等參數(shù)量，使在某一轉(zhuǎn)速ω下，角α為某一值，從而可以求得重錘C的相應(yīng)位置，帶動調(diào)節(jié)裝置進行調(diào)速。以F1值代入前兩式，可解出例題4

例題達朗貝爾原理20精選ppt如下圖，滑輪的半徑為r，質(zhì)量為m均勻分布在輪緣上，可繞水平軸轉(zhuǎn)動。輪緣上跨過的軟繩的兩端各掛質(zhì)量為m1和m2的重物,且m1>m2。繩的重量不計，繩與滑輪之間無相對滑動，軸承摩擦忽略不計。求重物的加速度。OABr例題5

例題達朗貝爾原理21精選ppt

以滑輪與兩重物一起組成的質(zhì)點系為研究對象。OABraam1gmgm2gFNy解：m1>m2，那么重物的加速度a方向如下圖。在系統(tǒng)中每個質(zhì)點上假想地加上慣性力后，可以應(yīng)用達朗貝爾原理。

重物的慣性力方向均與加速度a的方向相反，大小分別為：例題5

例題達朗貝爾原理22精選ppt滑輪邊緣上各點的質(zhì)量為mi，切向慣性力的大小為，方向沿輪緣切線，指向如下圖。當(dāng)繩與輪之間無相對滑動時，at=a;法向慣性力的大小為方向沿半徑背離中心?；騉ABraam1gmgm2gFNymi應(yīng)用對轉(zhuǎn)軸的力矩方程MO〔F〕=0，得例題5

例題達朗貝爾原理23精選ppt因為解得例題5

例題

達朗貝爾原理OABraam1gmgm2gFNymi24精選ppt§16-3剛體慣性力系的簡化簡化方法就是采用靜力學(xué)中的力系簡化的理論。將虛擬的慣性力系視作力系向任一點O簡化而得到一個慣性力〔主矢〕和一個慣性力偶〔主矩〕。

無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。下面討論剛體作平動、定軸轉(zhuǎn)動和平面運動時慣性力偶〔主矩〕。25精選ppt一、剛體作平動向質(zhì)心C簡化：剛體平動時慣性力系可以簡化為通過質(zhì)心的合力,其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積,合力的方向與加速度方向相反。質(zhì)心相對質(zhì)心的距離。26精選ppt二、定軸轉(zhuǎn)動剛體向轉(zhuǎn)軸上任一點O簡化：剛體上任一點i的慣性力：下面分別計算慣性力系對x，y，z軸的矩，分別以MIx

，MIy，MIz表示27精選ppt令：稱為對z軸的慣性積，它取決于剛體質(zhì)量對于坐標(biāo)軸的分布情況28精選ppt剛體定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸上任一點O簡化的主矩為如果剛體具有垂直于轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量對稱平面，簡化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點，那么慣性力系簡化的主矩為當(dāng)剛體質(zhì)量有對稱平面且繞垂直于此對稱面的軸作定軸轉(zhuǎn)動時，慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡化為此對稱面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反，作用線通過轉(zhuǎn)軸；這個力偶的矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。

29精選ppt向O點簡化：〔轉(zhuǎn)軸〕向質(zhì)點C點簡化：作用在C點。作用在O點。30精選ppt討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)點C。31精選ppt討論：②轉(zhuǎn)軸過質(zhì)點C，但0，慣性力偶〔與反向〕32精選ppt討論：③剛體作勻速轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心，那么〔主矢、主矩均為零〕33精選ppt

假設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點〔質(zhì)點C〕的平動：繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動： 三、剛體作平面運動作用于質(zhì)心

有質(zhì)量對稱平面的剛體，平行于此平面運動時，剛體的慣性力系簡化為此平面內(nèi)的一個力和一個力偶。這個力通過質(zhì)心，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反；這個力偶的矩等于剛體對過質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對稱面的軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反。

34精選ppt

對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：實質(zhì)上：35精選ppt

汽車連同貨物的總質(zhì)量是m

，其質(zhì)心C

離前后輪的水平距離分別是b

和c

，離地面的高度是h

。當(dāng)汽車以加速度a沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。輪子的質(zhì)量不計。ABCcbh例題6

例題達朗貝爾原理36精選pptABCcbh

取汽車連同貨物為研究對象。解：運動分析加慣性力：汽車作平動，F(xiàn)*

=

Ma，加在質(zhì)心C

。于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程F*aFBmgFNAFNB例題6

例題達朗貝爾原理受力分析：mg，

FNA，F(xiàn)NB

以及FB

(注意：前輪一般是被動輪，當(dāng)忽略輪子質(zhì)量時，其摩擦力可以不計)。由式(1)和(2)解得37精選ppt起重裝置由勻質(zhì)鼓輪D〔半徑為R，重為W1〕及均質(zhì)梁AB〔長l=4R，重W2=W1〕組成，鼓輪通過電機C〔質(zhì)量不計〕安裝在梁的中點，被提升的重物E重。電機通電后的驅(qū)動力矩為M，求重物E上升的加速度a及支座A，B的約束力FNA及FNB。OABACDE例題7

例題達朗貝爾原理38精選ppt以鼓輪D，重物E及與鼓輪固結(jié)的電機轉(zhuǎn)子所組成的系統(tǒng)〔圖b〕為研究對象。解：O(b)

WMODEW1其中解得FOxFOyα例題7

例題達朗貝爾原理M為電機定子作用在轉(zhuǎn)子的驅(qū)動力矩。39精選ppt2.考慮整個系統(tǒng)〔圖c〕，加慣性力后受力如圖。OAB

WW2FNAACDEFNBW1(c)FxM*F*例題7

例題

達朗貝爾原理40精選ppt

半徑為R，重量為W1的大圓輪，由繩索牽引，在重量為W2的重物A的作用下，在水平地面上作純滾動，系統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩擦力。AOCW1W2R例題8

例題達朗貝爾原理41精選ppt

解：

考察整個系統(tǒng)，有4個未知約束力。

如果直接采用動靜法，需將系統(tǒng)拆開。因為系統(tǒng)為一個自由度，所以考慮先應(yīng)用動能定理，求出加速度，再對大圓輪應(yīng)用動靜法。1.應(yīng)用動能定理。例題8

例題達朗貝爾原理AOCRW1W2FFNFOxFOy42精選ppt兩邊對時間t求導(dǎo)，且得例題8

例題達朗貝爾原理1.應(yīng)用動能定理。AOCRW1W2FFNFOxFOy43精選ppt2.應(yīng)用動靜法。取輪子為研究對象。CMICFFNW1將代入上式得FOx例題8

例題達朗貝爾原理AOCRW1W2FFNFOyFIRaaFT44精選ppt

用長l

的兩根繩子AO

和BO把長

l，質(zhì)量是m的勻質(zhì)細桿懸在點O(圖a

)。當(dāng)桿靜止時，突然剪斷繩子

BO

，試求剛剪斷瞬時另一繩子AO

的拉力。OlllBAC〔a〕例題9

例題

達朗貝爾原理45精選ppt

繩子BO剪斷后，桿AB將開始在鉛直面內(nèi)作平面運動。由于受到繩OA的約束，點A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子BO剛剪斷的瞬時，桿AB上的實際力只有繩子AO的拉力F和桿的重力mg。解：

在引入桿的慣性力之前，須對桿作加速度分析。取坐標(biāo)系A(chǔ)xyz如圖(c)所示。aA

=anA

+atA=aCx+aCy+atAC

+anACOllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）利用剛體作平面運動的加速度合成定理，以質(zhì)心C作基點，那么點A的加速度為例題9

例題

達朗貝爾原理46精選ppt

在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度ω=0，角加速度α≠0。因此又anA=0，加速度各分量的方向如圖(c)所示。把aA投影到點A軌跡的法線AO上，就得到anAC

=AC·ω2=0atAC=lα／2這個關(guān)系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的條件。即〔1〕〔b〕〔c〕〔c〕例題9

例題

達朗貝爾原理OllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）47精選ppt

桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心的力F*C

和一個力偶M*C，兩者都在運動平面內(nèi)，F(xiàn)*C的兩個分量大小分別是F*Cx=maCx,F*Cy=maCy力偶矩M*C的大小是M*C=JCz′α旋向與α相反(如圖b)。OllBACmgFθxy〔b〕〔c〕例題9

例題

達朗貝爾原理OxyαBACθ（c）48精選ppt由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有且對于細桿,

JCz′=ml2／12。聯(lián)立求解方程(1)～(4)，就可求出（2）（3）（4）例題9

例題

達朗貝爾原理OxyαBACθ（c）OllBACmgFθxy49精選ppt

動畫達朗貝爾原理偏心情況轉(zhuǎn)子制造或安裝的不同情況及其軸承動反力50精選ppt

動畫

達朗貝爾原理偏角情況轉(zhuǎn)子制造或安裝的不同情況及其軸承動反力51精選ppt

動畫達朗貝爾原理一般情況轉(zhuǎn)子制造或安裝的不同情況及其軸承動反力52精選ppt

動畫

達朗貝爾原理軸承的動反力53精選ppt§16-4繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的軸承動反力

一、剛體的軸承動反力

剛體的角速度

，角加速度

（逆時針）主動力系向O點簡化:主矢,主矩慣性力系向O點簡化:主矢,主矩軸承A處動反力：軸承B處動反力：FAx，F(xiàn)AyFBx，F(xiàn)By，F(xiàn)Bz根據(jù)動靜法，列平衡方程如下54精選ppt列平衡方程如下由上面五個方程求得軸承動反力55精選ppt由兩局部組成，一局部由主動力引起的，不能消除，稱為靜反力；一局部是由于慣性力系的不平衡引起的，稱為附加動反力，它可以通過調(diào)整加以消除。使附加動反力為零，須有靜反力附加動反力動反力56精選ppt當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心對z軸慣性積為零，z軸為剛體在O點的慣性主軸；57精選ppt靜平衡：當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體除重力外,沒有受到其它主動力作用時，那么剛體可以在任意位置靜止不動，這種現(xiàn)象稱為靜平衡。二、靜平衡與動平衡的概念

動平衡：當(dāng)剛體轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心且為慣性主軸時，剛體轉(zhuǎn)動時，不出現(xiàn)軸承附加動反力，這種現(xiàn)象稱為動平衡。58精選ppt

設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重

W，質(zhì)心

C

到轉(zhuǎn)軸的距離是

e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω

繞水平軸轉(zhuǎn)動，

AO

=

a

，OB

=

b

(圖

a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對稱平面垂直，求當(dāng)質(zhì)心

C

轉(zhuǎn)到最低位置時軸承所受的壓力。例題10(a

)

例題達朗貝爾原理(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A59精選ppt(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A解:

軸

Oz是轉(zhuǎn)子在點

O的主軸之一?？梢姂T性力對點

O的主矩在垂直于

Oz的平面上兩軸的投影

M*Cx和M*Cy恒等于零。又

α

=0，這樣M*Cz也等于零。因此轉(zhuǎn)子的慣性力合成為作用于點O的一個力

F*C，大小等于方向沿

OC。當(dāng)質(zhì)心

C轉(zhuǎn)到最低位置時，軸上實際所受的力如圖

b所示。(a

)(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)WFBFA

例題

達朗貝爾原理例題1060精選ppt根據(jù)動靜法寫出動態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得兩軸承所受的力分別和FA，F(xiàn)B的大小相等而方向相反。

例題達朗貝爾原理(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)WFBFA例題1061精選ppt例題11

例題

達朗貝爾原理質(zhì)量不計的剛軸以角速度

勻速轉(zhuǎn)動，其上固結(jié)著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？62精選ppt例題11

例題

達朗貝爾原理靜平衡：(b)、(d)動平衡：(

a)

動平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不一定是動平衡的。63精選pptOO兩個相同的定滑輪如以下圖示，開始時都處于靜止，問哪個角速度大？(a)繩子上加力G(b)繩子上掛一重