人教A版高中數(shù)學(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題8.3 一元線性回歸模型及其應用（重難點題型精講）（原卷版）

專題8.3一元線性回歸模型及其應用（重難點題型精講）1．一元線性回歸模型把式子SKIPIF1<0為Y關于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機誤差.2．線性經驗回歸方程與最小二乘法設滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據為(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，由SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+a+SKIPIF1<0(i=1，2，SKIPIF1<0，n)，得|SKIPIF1<0-(SKIPIF1<0+a)|=|SKIPIF1<0|，顯然|SKIPIF1<0|越小，表示樣本數(shù)據點離直線y=bx+a的豎直距離越小.

通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和Q=SKIPIF1<0來刻畫各樣本觀測數(shù)據與直線y=bx+a的“整體接近程度”.當a，b的取值為SKIPIF1<0時，Q達到最小.將SKIPIF1<0=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數(shù)或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線.這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0叫做b，a的最小二乘估計.

經驗回歸直線一定過點(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0).3．殘差分析對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據稱為觀測值，通過經驗回歸方程得到的SKIPIF1<0稱為預測值，觀測值減去預測值稱為殘差.殘差是隨機誤差的估計結果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據的效果，以及判斷原始數(shù)據中是否存在可疑數(shù)據等，這方面工作稱為殘差分析.4．刻畫回歸效果的方式(1)殘差圖法

作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.

(2)殘差平方和法

殘差平方和為SKIPIF1<0，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.

(3)利用SKIPIF1<0刻畫擬合效果

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.

SKIPIF1<0越大，模型的擬合效果越好，SKIPIF1<0越小，模型的擬合效果越差.(1)對于變量x和變量y，設經過隨機抽樣獲得的成對樣本數(shù)據為(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，利用相關系數(shù)r來衡量兩個變量之間線性關系的強弱，相關系數(shù)r的計算公式：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的均值分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0）.①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據正相關.這時，當其中一個數(shù)據的值變小時，另一個數(shù)據的值通常也變??；當其中一個數(shù)據的值變大時，另一個數(shù)據的值通常也變大.

②當r<0時，稱成對樣本數(shù)據負相關.這時，當其中一個數(shù)據的值變小時，另一個數(shù)據的值通常會變大；當其中一個數(shù)據的值變大時，另一個數(shù)據的值通常會變小.【題型1一元線性回歸模型】【方法點撥】根據一元線性回歸模型的定義，結合具體題目條件，進行求解即可.【例1】（2022·高二單元測試）根據如下樣本數(shù)據，得到線性回歸方程為Y=nX+m，若樣本點的中心x,y為5,0.9，則當X每增加1個單位時，Y平均（X34567Y4.0m?5.4-0.50.5n?0.6A．增加1.4個單位 B．減少1.4個單位 C．增加7.9個單位 D．減少7.9個單位【變式1-1】（2022春·黑龍江大慶·高二期末）給出下列說法中錯誤的是（

）A．回歸直線y=bB．兩個變量相關性越強，則相關系數(shù)|r|就越接近1C．某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據4，此時這8個數(shù)的方差不變D．在回歸直線方程y=2?0.5x中，當變量x增加一個單位時，y【變式1-2】（2022春·河南南陽·高二期中）已知變量x和y的回歸直線方程為y=0.2021x+0.202，變量y與z負相關．下列結論中正確的是（

A．x與y正相關，x與z正相關 B．x與y正相關，x與z負相關C．x與y負相關，x與z負相關 D．x與y負相關，x與z正相關【變式1-3】（2022春·陜西渭南·高一期末）根據如下樣本數(shù)據：x345678y4.02.50.50.50.40.1得到線性回歸方程為y=bx+a，則（

）A．a>0,b>0 B．a>0,b<0 C．a<0,b>0 D．a<0,b<0【題型2殘差的計算】【方法點撥】根據題目條件，得出經驗回歸方程，再進行殘差的計算.【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市選用一種植物進行綠化，設其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得一些數(shù)據如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格中數(shù)據可得y關于x的經驗回歸方程為y=2.04x+a，則第7天的殘差為（A．1.12 B．2.12 C．?1.12 D．?2.12【變式2-1】（2023春·河南開封·高三開學考試）某部門統(tǒng)計了某地區(qū)今年前7個月在線外賣的規(guī)模如下表：月份代號x1234567在線外賣規(guī)模y（百萬元）111318★28★35其中4、6兩個月的在線外賣規(guī)模數(shù)據模糊，但這7個月的平均值為23．若利用回歸直線方程y=bx+a來擬合預測，且7月相應于點7,35的殘差為?0.6，則A．1.0 B．2.0 C．3.0 D．4.0【變式2-2】（2022春·河南許昌·高二期末）為研究變量x，y的相關關系，收集得到下面五個樣本點（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘法求得y關于x的回歸直線方程為y=?1.8x+a，則據此計算殘差為1.1的樣本點是（【變式2-3】（2022春·江蘇宿遷·高二階段練習）在對具有線性相關的兩個變量x和y進行統(tǒng)計分析時，得到如下數(shù)據：x4m81012y12356由表中數(shù)據求得y關于x的回歸方程為y=0.65x?1.8，則4,1，m,2，8,3這三個樣本數(shù)據中，殘差的絕對值最小的是（

A．4,1 B．m,2 C．8,3 D．4,1和m,2【題型3刻畫回歸效果的方式】【方法點撥】根據刻畫回歸效果的三種方式，結合具體題目條件，選取適當?shù)姆绞絹砜坍嬆Ｐ偷臄M合效果，即可得解.【例3】（2022秋·寧夏銀川·高三開學考試）下列說法正確的個數(shù)是（

）(1)在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差(2)某地氣象局預報：6月9日本地降水概率為90%，結果這天沒下雨，這表明天氣預報并不科學(3)回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好(4)在回歸直線方程y=0.1x+10A．2 B．3 C．4 D．1【變式3-1】（2022春·山東菏澤·高二期末）關于線性回歸的描述，下列命題錯誤的是（

）A．回歸直線一定經過樣本點的中心 B．殘差平方和越小，擬合效果越好C．決定系數(shù)R2越接近1，擬合效果越好 D．殘差平方和越小，決定系數(shù)R【變式3-2】（2022秋·廣東廣州·高三階段練習）對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據x1,y1，x2A．若變量y和x之間的相關系數(shù)為r=?0.9462，則變量y和x之間具有較強的線性相關關系B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用決定系數(shù)R2來刻畫回歸效果，RD．在殘差圖中，殘差點分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預報精確度越高【變式3-3】（2022春·甘肅天水·高二階段練習）關于線性回歸的描述，有下列命題：①回歸直線一定經過樣本中心點；②相關系數(shù)r的絕對值越大，擬合效果越好；③相關指數(shù)R2④殘差平方和越小，擬合效果越好.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型4代入法求線性經驗回歸方程】【方法點撥】經驗回歸直線一定經過樣本點的中心(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)，求出樣本點的中心后代入線性回歸方程求解相應字母.【例4】（2023秋·四川廣安·高二階段練習）已知兩個變量x和y之間存在線性相關關系，某興趣小組收集了一組x，y的樣本數(shù)據如下表所示：x12345y0.50.611.41.5根據表中數(shù)據利用最小二乘法得到的回歸方程是（

）A．y=0.21x+0.53 B．y=0.25x+0.21C．y=0.28x+0.16 D．y=0.31x+0.11【變式4-1】（2022秋·陜西榆林·高二期中）已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若y與x線性相關，且y=0.95x+a，則a=（

）A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【變式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據如表：廣告費用x（萬元）3456銷售額y（萬元）25304045根據如表可得回歸方程y=bx+a中的【變式4-3】（2023秋·四川宜賓·高二期末）某小區(qū)流感大爆發(fā)，當?shù)蒯t(yī)療機構使用中西醫(yī)結合的方法取得了不錯的成效，每周治愈的患者人數(shù)如表所示，由表格可得y關于x的線性經驗回歸方程為y=36x?48，則測此回歸模型第4周的治愈人數(shù)為（

周數(shù)（x）12345治愈人數(shù)（y）51535？140A．106 B．105 C．104 D．103【題型5經驗回歸模型的應用】【方法點撥】(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應變量；(2)畫出解釋變量和響應變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等)；(3)確定經驗回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據呈線性關系，則選用線性經驗回歸方程)；(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計經驗回歸方程中的參數(shù)；(5)得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據對應殘差過大，殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等)，若存在異常，則檢查數(shù)據是否有誤，或模型是否合適等.【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如表．商店名稱ABCDE銷售額x（千萬元）35679利潤額y（千萬元）23345(1)若銷售額和利潤額具有相關關系，用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程．（參考公式b=i=1n(2)若該公司計劃再開一個店想達到預期利潤為8百萬，請預估銷售額需要達到多少?【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）目前手機已經成為人們生活中的必需品，國內市場已經進入成熟期，下表是2016—2021年某市手機總體出貨量（單位：萬部）統(tǒng)計表．年份2016年2017年2018年2019年2020年2021年年份代碼x123456手機總體出貨量y/萬部5.64.94.13.93.23.5(1)已知該市手機總體出貨量y與年份代碼x之間可用線性回歸模型擬合，求y關于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)預測2022年該市手機總體出貨量．附：線性回歸方程y=a+bx【變式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工廠統(tǒng)計2022年銷售網點數(shù)量與售賣出的產品件數(shù)的數(shù)據如下表：銷售網點數(shù)x（單位：個）1719202123售賣出的產品件數(shù)y（單位：萬件）2122252730假定該工廠銷售網點的個數(shù)與售賣出的產品件數(shù)呈線性相關關系，(1)求2022年售賣出的產品件數(shù)y（單位：萬件）關于銷售網點數(shù)x（單位：個）的線性回歸方程；(2)根據（1）中求出的線性回歸方程，預測2022年該工廠建立40個銷售網點時售賣出的產品件數(shù).參考公式：b=i=1n【變式5-3】（2023·山東·模擬預測）我國5G技術給直播行業(yè)帶來了很多發(fā)展空間，加上受疫情影響，直播這種成本較低的獲客渠道備受商家青睞，某商場統(tǒng)計了2022年1~5月某商品的線上月銷售量y（單位：千件）與售價x月份12345售價x（元/件）6056585754月銷售量y（千件）597109(1)求相關系數(shù)r，并說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系（當|r|∈[0.75,1]時，可以認為兩個變量有很強的線性相關性；否則，沒有很強的線性相關性）（精確到0.01）；(2)建立y關于x的線性回歸方程，并估計當售價為55元/件時，該商品的線上月銷售量估計為多少千件？(3)若每件商品的購進價格為(0.5x+25)元/件，如果不考慮其他費用，由（2）中結論，當商品售價為多少時，可使得該商品的月利潤最大？（該結果保留整數(shù)）參考公式：對于一組數(shù)據xi,yi(i=1,2,3,?,n)，相關系數(shù)r=i=1n【題型6非線性經驗回歸方程的求法】【方法點撥】(1)作散點圖確定曲線模型：曲線所對應的函數(shù)種類繁多，這就要求我們充分想象，大膽猜測擬合函數(shù)類型，粗略估計使用哪個函數(shù)擬合.(2)非線性轉化為線性：先通過適當變換化非線性關系為線性關系，然后按照線性檢驗回歸方程的求解步驟進行求解.(3)分析模型的擬合效果，得出結論.【例6】（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）為了研究某種細菌隨天數(shù)x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據如下：天數(shù)x123456繁殖個數(shù)y36132545100(1)判斷y=bx+a（a,b為常數(shù)）與y=c1(2)對于非線性回歸方程y=c1ec2x（c1,xyzi=1i=1i=13.50322.8517.530712.12（ⅰ）證明：對于非線性回歸方程y=c1ec2x，令z=（ⅱ）根據（?。┑呐袛嘟Y果及表中數(shù)據，建立y關于x的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對于一組數(shù)據u1,v1,【變式6-1】（2023·云南·高三階段練習）近年來，云南省保山市龍陵縣緊緊圍繞打造“中國石斛之鄉(xiāng)”的發(fā)展定位，大力發(fā)展石斛產業(yè)，該產業(yè)帶動龍陵縣近四分之一人口脫貧致富．2022年8月，龍陵紫皮石斛獲國家地理標志運用促進工程重點項目，并被評為優(yōu)秀等次．在政府的大力扶持下，龍陵紫皮石斛產量逐年增長，2017年底到2022年底龍陵縣石斛產量統(tǒng)計如下及散點圖如圖．年份201720182019202020212022年份代碼x123456紫皮石斛產量y（噸）320034003600420075009000(1)根據散點圖判斷，y=ax+b與y=cedx（a，b，c，d均為常數(shù)）哪一個更適合作為龍陵縣紫皮石斛產量y關于年份代碼(2)經計算得下表中數(shù)據，根據（1）中結果，求出y關于x的回歸方程；xyui=1i=1i=13.551508.4617.52