北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)（上）復(fù)習(xí)微專題精煉2 勾股定理的逆定理

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)（上）復(fù)習(xí)微專題精煉2勾股定理的逆定理一、選擇題1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．如果a2=b2?c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2D．如果∠A?∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形2．在下列條件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③AB：BC：AC=3：4A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列條件中不能說(shuō)明△ABC是直角三角形是（）A．b2=(a+c)(a?c) C．∠C=∠A?∠B D．∠A：∠B：∠C=3：4：54．將直角三角形的三條邊長(zhǎng)做如下變化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）A．同加一個(gè)相同的數(shù) B．同減一個(gè)相同的數(shù)C．同乘以一個(gè)相同的正整數(shù) D．同時(shí)平方5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為A．a(chǎn)=32，b=C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶26．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形方格中，A，B，C，D均為格點(diǎn)，構(gòu)成圖中三條線段AB，BC，CD.現(xiàn)在取出這三條線段AB，BC，CD首尾相連拼三角形.下列判斷正確的是（）A．能拼成一個(gè)銳角三角形 B．能拼成一個(gè)直角三角形C．能拼成一個(gè)鈍角三角形 D．不能拼成三角形7．在△ABC中，它的三邊分別為a，b，c，條件：①∠A＝∠C﹣∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：2：2；中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖折疊直角三角形紙片ABC，使直角邊AC落在斜邊AB上(折痕為AD，點(diǎn)C落到點(diǎn)E處)，已知AC=6，BC=8，AB=10，則BD的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，在4個(gè)均由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這4個(gè)正方形網(wǎng)格中不是直角三角形的是（）A． B．C． D．10．如圖，五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為5，9，12，13，15，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）A． B．C． D．二、填空題11．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是4cm、7cm、6cm，該三角形的形狀（填“是”或“不是”）直角三角形．12．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則∠ABC的度數(shù)為度．13．下列條件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝35c，b＝45c；④a∶b∶c＝1∶2：3，則能確定△ABC是直角三角形的條件有14．三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足2ab=(a+b)2-c2，則此三角形的形狀是三角形.15．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，把從點(diǎn)P出發(fā)沿橫或縱方向到達(dá)點(diǎn)Q（至多拐一次彎）的路徑長(zhǎng)稱為P，Q的“實(shí)際距離”.如圖，若P(?1，1)，Q(2，3)，則P，Q的“實(shí)際距離”為5，即PS+SQ=5或PT+TQ=5.環(huán)保低碳的公共自行車，逐漸成為市民出行喜歡的交通工具.設(shè)A，B，C三個(gè)小區(qū)的坐標(biāo)分別為A(?3，?1)，B(?5，3)，C(1，5)，若點(diǎn)M表示公共自行車停放點(diǎn)，且滿足M到A，B，C的“實(shí)際距離”相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是.三、作圖題16．如圖是5×5的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，分別在圖1、圖2中各畫(huà)一個(gè)以AB為斜邊的的直角三角形.（要求：所畫(huà)三角形頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，兩個(gè)三角形面積不同）.四、解答題17．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中a=m?n，b=2mn，c=m+n，且m>n>018．為慶祝中華人民共和國(guó)成立73周年，喜迎黨的二十大勝利召開(kāi)，學(xué)校組織了“獻(xiàn)禮二十大”小制作展示活動(dòng)．小彬計(jì)劃制作一架飛機(jī)模型，如圖的四邊形材料是飛機(jī)垂直尾翼的雛形．小彬測(cè)量發(fā)現(xiàn)AB=25cm，BC=18cm，AD=7cm，CD=30cm．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，還需保證AD∥BC．由于手頭工具有限，小彬只能測(cè)得BD=24cm．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請(qǐng)你判斷該材料是否符合設(shè)計(jì)要求，并說(shuō)明理由．五、綜合題19．如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上．（1）線段AB的長(zhǎng)度是，線段CD的長(zhǎng)度是．（2）若EF的長(zhǎng)為5，那么以AB、CD、EF三條線段為邊能否構(gòu)成直角三角形，并說(shuō)明理由．20．已知△ABC的三邊a=m2?1(m>1)，b=2m（1）求證：△ABC是直角三角形.（2）利用第（1）題的結(jié)論，寫(xiě)出兩個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)，要求它們的邊長(zhǎng)均為正整數(shù).21．先閱讀一段文字，再回答下列問(wèn)題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)坐標(biāo)P1(x例如：點(diǎn)(3，2)和(4，0)的距離為(3?4)2+(2?0)2=（1）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，則A，B兩點(diǎn)的距離為；（2）已知A(3，5)，B(?4，4)，試求A，B兩點(diǎn)的距離；（3）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，4)，B(0，5)，C(?1，2)，請(qǐng)判斷此三角形的形狀，并說(shuō)明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、如果a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，符合題意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，不符合題意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，滿足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，不符合題意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，不符合題意；故答案為：A．【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項(xiàng)判斷即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：對(duì)于①：∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180∴∠C=90°，故對(duì)于②：∠A：∠B：∠C=1：2：3，設(shè)∠A=x∴∠A+∠B+∠C=6x∴x=30∴∠C=3x°=9對(duì)于③：AB：BC：∵AB∴△ABC是直角三角形，故③滿足題意；對(duì)于④：∵∠A=∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=3∠A=3∠B=3∠C=180∴∠A=∠B=∠C=60∴△ABC是等邊三角形，故④不滿足題意；所以能判斷△ABC是直角三角形的有：①②③，故答案為：C．【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項(xiàng)判斷即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：A、∵b2=(a+c)(a?c)，∴b2=aB、設(shè)a=k，b=3k，c=2k，∵a2+bC、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A?∠B，∴∠A=90°，能判斷△ABC是直角三角形，不符合題意；D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°×53+4+5=75°，∴故答案為：D．

【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和逐項(xiàng)判斷即可。4．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a，b，c（斜邊），∴a2若三邊都加上（或減去）同一個(gè)m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(shí)(a±m(xù))2∴A，B不符合題意；若三邊都乘以n（n為正整數(shù)），則三邊分別為an，bn，cn，∴(an)2∴此時(shí)三角形還是直角三角形，故C符合題意；若三邊都平方，則三邊分別為：a2，b2，∴(c故D不符合題意；故答案為：C.【分析】設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a，b，c（斜邊），則a2+b2=c2，若三邊都加上（或減去）同一個(gè)m，則三邊分別為a±m(xù)，b±m(xù)，c±m(xù)，此時(shí)(a±m(xù))2+(b±m(xù))2≠(c±m(xù))2，據(jù)此判斷A、B；同理可判斷CD.5．【答案】B【解析】【解答】解：A、∵a2+b2=(32)B、∵a2?b2=c2，∴aC、∵∠A=2∠B=3∠C，設(shè)∠C=x，則∠A=3x，∠B=32x，∴3x+32x+x=180°，解得x=(36011)°，D、∵∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2，設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，∴2x+5x+2x=180°，解得x=20°，∴∴∠A=40°，∠B=100°，∠C=40°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；故答案為：B.【分析】A、由題意分別計(jì)算a2+b2，c2的值，觀察是否滿足a2+b2=c2，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

B、由已知的等式變形可得a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷求解；

C、設(shè)∠C=x，結(jié)合已知可將∠A和∠B用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計(jì)算∠A、∠B的度數(shù)即可判斷求解；

D、由題意可設(shè)∠A=2x，∠B=5x，∠C=2x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°可得關(guān)于x的方程，解之求出x的值，再計(jì)算∠A、∠B、∠C的度數(shù)即可判斷求解.6．【答案】B【解析】【解答】解：由題意得：AB∴AB∴三條線段AB，BC，CD首尾相連拼三角形是直角三角形.故答案為：B.【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB2、BC2、CD2，然后利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷.7．【答案】A【解析】【解答】解：①∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴能確定△ABC是直角三角形；②∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，∴∠C＝36°，∴∠A＝∠B＝72°，∴不能確定△ABC是直角三角形；③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×53+4+5∴不能確定△ABC是直角三角形；④∵a：b：c＝1：2：2，∴設(shè)a＝k，b＝2k，c＝2k，∴a2+b2＝k2+（2k）2＝3k2，c2＝（2k）2＝2k2，∴a2+b2≠c2，∴不能確定△ABC是直角三角形；所以，能確定△ABC是直角三角形的條件有1個(gè).故答案為：A.【分析】根據(jù)①②③的條件結(jié)合內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，據(jù)此判斷；根據(jù)④中的條件可設(shè)設(shè)a＝k，b＝2k，c＝2k，則a2+b2≠c2，結(jié)合勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴由勾股定理逆定理得：∠ACB=90°．由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB?AE=10?6=4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，D即CD解得：CD=3．∴BD=5.故答案為：C.【分析】由勾股定理逆定理得∠ACB=90°，由折疊的性質(zhì)知AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°，則BE=AB-AE=4，在Rt△BDE中，根據(jù)勾股定理可得CD的值，進(jìn)而可得BD.9．【答案】C【解析】【解答】解：由觀察可知，A選項(xiàng)中的三角形是直角三角形；B選項(xiàng)中的三角形三邊長(zhǎng)分別為22，2因此B選項(xiàng)中的三角形是直角三角形；C選項(xiàng)中的三角形三邊長(zhǎng)分別為5，因此C選項(xiàng)中的三角形不是直角三角形；D選項(xiàng)中的三角形三邊長(zhǎng)分別為5，25，5因此D選項(xiàng)中的三角形是直角三角形；故答案為：C．【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。10．【答案】C【解析】【解答】A、對(duì)于△ABD，由于52B、對(duì)于△ABC，由于52C、對(duì)于△ABC，由于52D、對(duì)于△ABC，由于52故答案為：C【分析】利用直角三角形的判定方法判斷即可。11．【答案】不是【解析】【解答】解：∵42+62≠72，

∴該三角形的形狀不是直角三角形.

故答案為：不是

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，如果三角形較小的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形是直角三角形，否則就不是.12．【答案】45【解析】【解答】解：連接AC，由勾股定理得：AC2=22+12=5，BC2=22+12=5，AB2=12+32=10，∴AC2+BC2=5+5=10=BA2，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，故答案為：45．

【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC2+BC2=5+5=10=BA2，再利用勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，從而得解。13．【答案】4【解析】【解答】解：①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；

②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；

③∵a=35c，b=45c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；

④∵a：b：c＝1：2：3，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.

故答案為：4.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知找出最大內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)最大內(nèi)角是90°，即可判斷該三角形是直角三角形，據(jù)此判斷①與②；根據(jù)勾股定理的逆定理，如果一個(gè)三角形的三邊滿足較小兩邊兩邊的平方和等于最大邊長(zhǎng)的平方，該三角形就是直角三角形，據(jù)此判斷14．【答案】直角【解析】【解答】解：∵（a+b）2-c2=2ab，∴a2+b2=c2，∴三角形是直角三角形.

故答案為：直角.【分析】將已知等式利用完全平方公式展開(kāi)并整理可得a2+b2=c2，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理可得三角形的形狀.15．【答案】(?1，2)【解析】【解答】解：設(shè)M（x，y），∵M(jìn)到A，B，C的“實(shí)際距離”相等，A(?3，?1)，B(?5，3)，C(1，5)，∴AC實(shí)際距離為|1+3|+|5+1|=4+6=10，BC實(shí)際距離為|1+5|+|3-1|=6+2=8，AB實(shí)際距離為|-5+3|+|3+1|=2+4=6，∵62+82=102，∴△ABC三邊的實(shí)際距離構(gòu)成直角三角形，∴M（x，y）為AC中點(diǎn)，∴x=1?32=?1，y=∴CM=|1+1|+|5-2|=2+3=5，BK=|-1+5|+|3-2|=4+1=5，MA=|-1+3|+|2+1|=2+3=5，∴M（-1，2）.故答案為：（-1，2）.【分析】設(shè)M（x，y），則AC=10，BC=8，AB=6，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后求出CM、BK、MA.16．【答案】解：如圖所示理由：以第一個(gè)圖為例，根據(jù)勾股定理可得AB2=【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得兩條直角邊的平方和為20，據(jù)此作圖.17．【答案】解：∵△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，a2+b2=∴a∴△ABC是直角三角形.【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得a2+b2=(m-n)2+4mn=(m+n)2，c2=(m+n)2，然后結(jié)合勾股定理逆定理進(jìn)行解答.18．【答案】解：該材料符合設(shè)計(jì)要求，理由如下：在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，∴AD∴∠ADB=90°，在△CBD中，BC=18cm，CD=30cm，BD=24cm，∴BC∴∠CBD=90°，∴∠CBD=∠ADB，∴AD∥BC，∴該材料符合設(shè)計(jì)要求．【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理證明∠ADB=90°，∠CBD=90°，可得∠CBD=∠ADB，即可得到AD∥