剛體力學(xué)基礎(chǔ)詳解

§5.1剛體運動的根本概念一.剛體RigidBody特殊的質(zhì)點系，——

理想化模型形狀和體積不變化在力作用下，組成剛體的所有質(zhì)點間的距離始終保持不變二.自由度DegreesofFreedom確定物體的位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)——

物體的自由度數(shù)sOi=1xyzO(x,y,z)i=3i=2xyzOi=3+2+1=6

當(dāng)剛體受到某些限制——自由度減少?三.剛體的根本運動形式1.平動剛體運動時，假設(shè)在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行——

剛體平動TranslationalMotionofSolidBodies平動的特點(1)各質(zhì)點的運動軌跡相同(2)剛體的平動質(zhì)點運動2.剛體的轉(zhuǎn)動RotationalMotionofSolidBodies運動中各質(zhì)元均做圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線〔轉(zhuǎn)軸〕上。運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動〔如陀螺的運動〕剛體不受任何限制的的任意運動稱為剛體的一般運動。它可視為以下兩種剛體的根本運動的疊加：繞通過基點O的瞬時軸的定軸轉(zhuǎn)動隨基點O〔可任選〕的平動質(zhì)點運動本章主要討論3.一般運動定軸轉(zhuǎn)動：定點轉(zhuǎn)動：組成剛體的各質(zhì)點都繞同一直線做圓周運動_____剛體轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸固定不動—

定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平面zOP一.剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量轉(zhuǎn)動平面zOP

(運動方程)逆時針順時針角位移是代數(shù)量“+〞“-〞Q

1.角位移角位移時間內(nèi)的角位移時間內(nèi)的角位移§5.2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動運動學(xué)2.

角速度大小轉(zhuǎn)動平面OP

與相同逆時針順時針與相反“+〞“-〞角速度的方向與轉(zhuǎn)動方向成右手關(guān)系。矢量式轉(zhuǎn)速n單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)方向3.

角加速度大小減速加速rPO

矢量式剛體勻變速轉(zhuǎn)動時，為常量與質(zhì)點的勻變速直線運動公式對應(yīng)二.

角量與線量的關(guān)系1.位移與角位移的關(guān)系OPQ2.速度與角速度的關(guān)系大小方向滿足右手螺旋法那么

3.加速度與角加速度和角速度的關(guān)系切向加速度法向加速度P轉(zhuǎn)動平面

zO

逆時針加速轉(zhuǎn)動方向沿圓軌道的切向矢量形式方向矢量形式沿圓軌道的法向加速度§5.3力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律一.力對軸的矩Torqueaboutaparticularfixedaxis

力F

對z

軸的力矩A

矢量形式(1)力矩取決于力的大小、方向和作用點。(2)在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩只有兩個指向可用代數(shù)值進行計算。說明(3)對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體，假設(shè)剛體受兩個以上力矩的作用，那么剛體所受合力矩等于各個分力矩的代數(shù)和，即例如TT'RTT'rR(4)力對點的力矩O

.力對定軸的力矩

力對任意點的力矩，在通過該點的任一軸上的投影，等于該力對該軸的力矩。

同樣，動量對任意點的動量矩及對通過該點的任一軸上的動量矩的關(guān)系于此相同。

二.質(zhì)點系內(nèi)力的力矩1.質(zhì)點系受力對參考點O的力矩o質(zhì)點系的內(nèi)力不產(chǎn)生力矩2.質(zhì)點系受力對定軸的力矩例質(zhì)量為m

、

長為

l

的棒在桌面上繞

z

軸轉(zhuǎn)動，棒與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為

.解元摩擦力

dF相對

z

軸的元力矩的大小摩擦力相對

z

軸的力矩。求摩擦力相對

z

軸力矩的大小lxOmxzdx質(zhì)點的質(zhì)量元摩擦力方向？剛體的轉(zhuǎn)動定律作用在剛體上所有的外力對定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對z

軸的轉(zhuǎn)動慣量(1)M

正比于

，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，假設(shè)轉(zhuǎn)動慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二.剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律TheRotationalformofNewton‘ssecondlawaboutaparticularfixedaxis實驗證明當(dāng)M為零時，那么剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動當(dāng)存在M時，

與M

成正比(3)與牛頓定律比較：推論在國際單位中理論推證?

O取一質(zhì)量元切線方向?qū)潭ㄝS的力矩對所有質(zhì)元合內(nèi)力矩=0合外力矩M剛體的轉(zhuǎn)動慣量

J三.轉(zhuǎn)動慣量RotationalInertia質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布計算轉(zhuǎn)動慣量的三個要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置?(1)J

與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如兩根等長的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點軸轉(zhuǎn)動慣量LzOxdmM(2)J

與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dlOmROmrdrRxdxOLxdxMzLOxdxM四.平行軸定理TheParallel-AxisTheoremzLCMz'z(3)J

與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)1.平行軸定理:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量:剛體繞通過質(zhì)心的軸:兩軸間垂直距離(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速。解(1)(2)兩者區(qū)別五.轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N

的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計，(見圖)圓盤以

0

在桌面上轉(zhuǎn)動,受摩擦力而靜止解例求到圓盤靜止所需時間取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動定律摩擦力矩

R一根長為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸

O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置求它由此下擺

角時的

Olm

Cx解取一質(zhì)元重力對整個棒的合力矩等于重力全部集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩dm例例一個剛體系統(tǒng)，如下圖，，轉(zhuǎn)動慣量，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為

l'

處求軸對棒的作用力〔也稱軸反力〕。解設(shè)軸對棒的作用力為N由質(zhì)心運動定理打擊中心質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用質(zhì)點系由轉(zhuǎn)動定律§5.4

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能動能定理一.轉(zhuǎn)動動能kineticEnergyinRotationalMovez

O設(shè)系統(tǒng)包括有N

個質(zhì)量元,其動能為各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同剛體的總動能P?繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論取二.力矩的功WorkDonebyTorque

O

功的定義力矩作功的微分形式對一有限過程假設(shè)M=C(積分形式〕力的累積過程——力矩的空間累積效應(yīng)??.P(2)力矩的功就是力的功。(3)對剛體，內(nèi)力矩作功之和為零。討論(1)合力矩的功三.轉(zhuǎn)動動能定理——力矩功的效果對于一有限過程定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于作用在剛體上所有外力所作功的總和。定軸轉(zhuǎn)動剛體的——動能定理剛體重力勢能質(zhì)心的勢能四.剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理Work-EnergyTheorem?

剛體的機械能

MechanicalEnergyofrigidbody?

剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理重力矩的功除重力以外的其他外力的合力矩?ConservationofMechanicalenergy?重力場中剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理例一根長為

l

，質(zhì)量為

m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置解由動能定理求它由此下擺

角時的

此題也可用機械能守恒定律方便求解Olm

Cx§5.5剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理及守恒定律一.質(zhì)點系對定軸的動量矩定理質(zhì)點系所有質(zhì)點對同一參考點的動量矩的矢量和1.質(zhì)點系對參考點O的動量矩Oz2.質(zhì)點系對定軸的動量矩3.質(zhì)點系的動量矩定理分量形式二.

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理任意質(zhì)元對定軸動量矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體動量矩＝質(zhì)元動量矩之和1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩

O2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理由轉(zhuǎn)動定律微分形式積分形式定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量(1)變形體繞某軸轉(zhuǎn)動時，假設(shè)其上各點(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動的角速度相同，那么變形體對該軸的動量矩說明3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律對定軸轉(zhuǎn)動剛體當(dāng)變形體所受合外力矩為零時，變形體的動量矩也守恒如：把戲滑冰跳水芭蕾舞等貓習(xí)慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。長期的觀察說明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度將隨高度的增加而減少，據(jù)報導(dǎo)有只貓從32層樓掉下來也僅僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷。為什么會這樣呢？lO機械能守恒?動量守恒?對oo’軸動量矩守恒?例

質(zhì)量為

M，半徑為

R

的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。在盤邊緣上站有一質(zhì)量為m

的人，都相對地面靜止。當(dāng)人沿盤邊走了一周時，盤對地面轉(zhuǎn)過角度？MROmx

解盤與人構(gòu)成系統(tǒng)，人走動時，系統(tǒng)對豎直軸的外力矩為零系統(tǒng)動量矩守恒人行走一周二者最初質(zhì)量為m1、長為

l

的