全國(guó)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第二十一章一元二次方程（全章總結(jié)）》復(fù)習(xí)課件

一元二次方程章節(jié)總結(jié)第二十一章學(xué)習(xí)目標(biāo)1）了解一元二次方程的概念，會(huì)把一元二次方程化成為一般形式。2）利用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程。3）利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題。重點(diǎn)利用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程。難點(diǎn)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。

解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計(jì)算量相對(duì)較大，對(duì)正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通?？疾槔靡辉畏匠探鉀Q實(shí)際問(wèn)題（如利潤(rùn)題型、面積題型、增長(zhǎng)率等）。本章的難點(diǎn)在于根與系數(shù)關(guān)系部分，基礎(chǔ)考查兩根和與兩根乘積，綜合考查利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！01基礎(chǔ)回顧02熱考題型03直擊中考基礎(chǔ)回顧基礎(chǔ)鞏固（一元二次方程的概念）只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號(hào)兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。一個(gè)2整式ax2+

bx

+

c

=

0（a≠0）一元二次方程的一般形式為___________________________________。二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)【提問(wèn)】為什么強(qiáng)調(diào)a≠0基礎(chǔ)鞏固（一元二次方程的概念）一元一次方程一元二次方程一般形式相同點(diǎn)不同點(diǎn)一元一次方程與一元二次方程有什么區(qū)別與聯(lián)系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2基礎(chǔ)鞏固（直接開平方法）一般地，對(duì)于方程x2＝p，1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x2____0，所以方程_______實(shí)數(shù)根。不相等相等x1＝x2＝0無(wú)≥

基礎(chǔ)鞏固（直接開平方法）一般地，對(duì)于方程(mx＋n)2＝p，1)當(dāng)p＞0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程有兩個(gè)________________的實(shí)數(shù)根______________________；3)當(dāng)p＜0時(shí)，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有(mx＋n)2____0，所以方程_______實(shí)數(shù)根。不相等相等

無(wú)≥

基礎(chǔ)鞏固（配方法）將方程通過(guò)配成____________形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來(lái)解。(若方程二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程兩邊加)用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：將一元二次方程配成完全平方形式。完全平方降次兩個(gè)一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方基礎(chǔ)鞏固(公式法)一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式概念：判別式表示：通常用希臘字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.

由前面的推導(dǎo)過(guò)程，可知：1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的實(shí)根。1）若△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的實(shí)根。1）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）____________________________實(shí)根。即當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根為兩個(gè)不相等兩個(gè)相等無(wú)注意：a，b，c的符號(hào)基礎(chǔ)鞏固（因式分解法）利用因式分解法求解一元二次方程的基本步驟①移項(xiàng)，使一元二次方程等式右邊為0;②分解，把左邊運(yùn)用因式分解法化為兩個(gè)一次因式相乘的形式;③賦值，分別令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程;④求解，分別解這兩個(gè)一元一次方程，得到方程的解。基礎(chǔ)鞏固（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，那么根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）內(nèi)容應(yīng)用條件：?≥0內(nèi)容應(yīng)用利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題：1）傳播問(wèn)題：明確每輪傳播中的___________個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的__________．2)增長(zhǎng)率問(wèn)題：①如果增長(zhǎng)率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為____________，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為____________．②如果下降率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為__________，第二次下降后的數(shù)量為___________．3）幾何問(wèn)題：

①常見幾何____________是等量關(guān)系。

②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程。基礎(chǔ)鞏固（利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題）傳染源總數(shù)a(1＋x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2周長(zhǎng)面積圖形平移利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題：4)數(shù)字問(wèn)題：

①若個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為____________.百位數(shù)字表示_____________.

②日歷中的某個(gè)日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤(rùn)問(wèn)題：?jiǎn)渭麧?rùn)=___________,總利潤(rùn)=________________6)表格問(wèn)題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。7）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：在動(dòng)點(diǎn)中觀察圖形的變化情況，需理解動(dòng)點(diǎn)在圖形不同位置情況，才能做好計(jì)算推理過(guò)程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本思路。基礎(chǔ)鞏固（利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題）100c+10b+a10b+a17售價(jià)-進(jìn)價(jià)單件利潤(rùn)×銷量熱考題型

1）用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程。

2）一元二次方程根的判別式，有兩種考查方式：①給出一元二次方程，求方程的根的情況。②給出帶有參數(shù)的一元二次方程和根的情況，求參數(shù)的取值范圍。

3）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，主要考查方式：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)；③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求x12+x22等；④判斷兩根的符號(hào)；⑤求作新方程；⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值。4）列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題，以實(shí)際生活為背景，命題比較廣泛（常見的題型是增長(zhǎng)率/傳播問(wèn)題）.

（題型一：一元二次方程定義及一般式）

（題型二：配方法求解一元二次方程）

（題型三：公式法求解一元二次方程）

（題型四：判別式）

（題型五：分解因式法求解一元二次方程）

【詳解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；當(dāng)x2﹣x＝﹣2時(shí)，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)x2﹣x＝6時(shí)，x2﹣x+1＝7，故選A．（題型六：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（題型六：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（題型七：利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題）1.矩形面積為864平方步，寬與長(zhǎng)共60步，問(wèn)長(zhǎng)與寬各多少步．利用所學(xué)知識(shí)，可求出長(zhǎng)與寬分別是_______________2.組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要比賽一場(chǎng).根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，則比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)_________個(gè)隊(duì)參賽？

【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)為x步，則寬為（60?x）步，依題意，得：x（60?x）＝864，解得：x1＝36，x2＝24，答：長(zhǎng)與寬分別是36步，24步，（題型七：利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題）

（題型七：利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題）

直擊中考

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在歷次中考中均占重要地位。根據(jù)近幾年各地中考發(fā)現(xiàn)，考查題型不固定，基礎(chǔ)題、中檔題、難題均有涉及，解答題中通常會(huì)出現(xiàn)解一元二次方程的題型，這類題型較為基礎(chǔ)，應(yīng)用題會(huì)出現(xiàn)一元二次方程、一元二次方程組，不等式綜合命題，而且一元二次方程常與二次函數(shù)、解直角三角形、圓等知識(shí)綜合命題作為中考?jí)狠S題出現(xiàn)。

11．（江蘇省泰州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在長(zhǎng)為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應(yīng)為多少？【詳解】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合題意，舍去)答：道路的寬應(yīng)為4米．類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025銷售價(jià)（元/件）453712．（貴州省畢節(jié)市中考數(shù)學(xué)真題）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)）

(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；(2)第一次購(gòu)進(jìn)的冰墩嫩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少？(3)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？（3）解：設(shè)B款冰墩墩鑰匙扣降價(jià)a元銷售，則平均每天多銷售2a件，每天能銷售(4+2a)件，每件的利潤(rùn)為(12-a)元，由題意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩鑰匙扣售價(jià)為34元或30元一件時(shí)，平均每天銷售利潤(rùn)為90元．嘗試求解問(wèn)題一、二第二十一章一元二次方程章末總結(jié)21.2解一元二次方程第4課時(shí)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系第二十一章學(xué)習(xí)目標(biāo)1）掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。重點(diǎn)掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。難點(diǎn)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和x1+x2兩根積x1x2x1x2x2?2x=02x2+3x-2=0341270220-2

-1

觀察方程的系數(shù)與兩根的和與積有什么聯(lián)系？把猜想的結(jié)果在小組內(nèi)交流。

探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

ax2+bx+c而

ax2+bx+c=

則

.根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等的規(guī)定，得

探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

（考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

注意：1)必須先求證Δ≥0才可以使用韋達(dá)定理

2)先把方程化為一般式，才能使用韋達(dá)定理（考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）變式1-1小明說(shuō)：“一元二次方程x2+x+2=0中，兩根之和為-1，兩根之積為2?！蹦阌X(jué)得他說(shuō)的對(duì)嗎？不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（已知一元二次方程一個(gè)根求另一個(gè)根）典例2若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一個(gè)解為x=﹣1，則另一個(gè)解為（）A．1 B．﹣3 C．3 D．4【詳解】設(shè)方程的另一個(gè)解為x1，根據(jù)題意得：﹣1+x1=2，解得：x1=3，故選C．（已知一元二次方程一個(gè)根求另一個(gè)根）變式2-1已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)關(guān)系，得x1×2=3k=-6∴x1

＝-3答：方程的另一個(gè)根是-3,k的值是-2。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算技巧

（利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算）

411464（利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算）

解：由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-k,x1.x2=k+2，而x12+x22=4

即(x1+x2)2-2x1x2=4∴k2-2(k+2）=4

解得：k=4或k=－2∵△=k2-4k-8當(dāng)k=4時(shí)，△＜0當(dāng)k=-2時(shí)，△＞0∴k=-2（利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算）變式3-2若一個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬是一元二次方程x2-10x+20=0的兩根，求這個(gè)矩形的周長(zhǎng)和面積？（利用根與系數(shù)的關(guān)系求解未知數(shù)的值）

（利用根與系數(shù)的關(guān)系求解未知數(shù)的值）

（利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算）（提高）

（利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算）（提高）變式5-1若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010【詳解】α,β是方程x2+2x?2005=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有α+β=?2.α是方程x2+2x?2005=0的根,得α2+2α?2005=0,即：α2+2α=2005.所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α?2=2005?2=2003，故選B.如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1、x2，那么根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）內(nèi)容應(yīng)用條件：?≥0內(nèi)容應(yīng)用第4課時(shí)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程第1課時(shí)：傳播問(wèn)題和增長(zhǎng)率問(wèn)題第二十一章學(xué)習(xí)目標(biāo)1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理。3）通過(guò)一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題。重點(diǎn)通過(guò)一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題。難點(diǎn)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列方程并求解。1）審：分清已知未知，明確數(shù)量關(guān)系；2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；3）列：列方程；4）解：解方程；5）驗(yàn)：根據(jù)實(shí)際驗(yàn)結(jié)果；6)答：寫出答案。列方程解決方程的基本步驟利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題

有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，開始傳染源一輪傳染二輪傳染具體傳播過(guò)程…………………………xx(x+1)分析：1）開始傳染源_________人；2）第一輪后有_________人患了流感；3）第二輪傳染中，已經(jīng)患病的人平均又傳染了x人，第二輪后有___________人患了流感；x+1xx

+

1

（）1傳染源數(shù)、第一輪被傳染數(shù)和第二輪被傳染數(shù)的總和是121

個(gè)人．列方程

1

+

x

+

x(1

+

x)=

121解方程得x1=10，x2=-12

（不合題意，舍去）

答：平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人．利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題

有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，開始傳染源一輪傳染二輪傳染具體傳播過(guò)程………………………………xx(x+1)【問(wèn)題】如果按照這樣的傳播速度，第三輪傳染過(guò)后總共會(huì)有多少人得流感？121+121×10=1331（人）前2輪患病人數(shù)第三輪患病人數(shù)三輪總共患病人數(shù)利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題若某人感染流感，假設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，填空：起始人數(shù)傳播人數(shù)傳播后人數(shù)第一輪1x第二輪第三輪…………第n輪mx+1x+1x(x+1)

x(x+1)+x+1x[x(x+1)+x+1]

mx

解決“傳播問(wèn)題”的關(guān)鍵步驟是：明確每輪傳播中的傳染源個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的總數(shù)．【溫馨提示】疫情期間，戴口罩，勤洗手，多鍛煉，少去人多的地方聚集，切不可掉以輕心。利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個(gè)支干長(zhǎng)出多少個(gè)小分支？假設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出2枝

假設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出3枝

假設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出n枝

利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，每個(gè)支干長(zhǎng)出多少個(gè)小分支？解：設(shè)每個(gè)支干長(zhǎng)出x

個(gè)小分支，

則

1+x+x2=91解方程，得x1=9，x2=-10（不合題意，舍去）

答：每個(gè)支干長(zhǎng)出9個(gè)小分支（利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題）典例1某班一物理科代表在老師的培訓(xùn)后學(xué)會(huì)了某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)操作，回到班上后第一節(jié)課教會(huì)了若干名同學(xué)，第二節(jié)課會(huì)做該實(shí)驗(yàn)的同學(xué)又教會(huì)了同樣多的同學(xué)，這樣全班共有36人會(huì)做這個(gè)實(shí)驗(yàn)；若設(shè)1人每次都能教會(huì)x名同學(xué)，則可列方程為()A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36【詳解】設(shè)1人每次都能教會(huì)x名同學(xué)，根據(jù)題意得：1+x+(x+1)x＝36．故選B．（利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題）變式1-1為了宣傳垃圾分類，童威寫了一篇倡議書，決定用微博轉(zhuǎn)發(fā)的方式傳播．他設(shè)計(jì)了如下的傳播規(guī)則：將倡議書發(fā)表在自己的微博上，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)之后，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)，依次類推．已知經(jīng)過(guò)兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有111個(gè)人參與了宣傳活動(dòng)，則n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【詳解】由題意，得

n+n2+1=111，解得：n1=-11（舍去），n2=10，故選B．（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈(zèng)送類問(wèn)題）

【詳解】解：根據(jù)題意得：每人要贈(zèng)送（x-1）張賀卡，有x個(gè)人，

∴全班共送：（x-1）x=1980，

故選：D．（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈(zèng)送類問(wèn)題）變式2-1今年“國(guó)慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到90個(gè)紅包，則該群一共有_____人．【詳解】解：設(shè)該群一共有x人，則每人收到（x﹣1）個(gè)紅包，依題意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．故答案為：10．（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈(zèng)送類問(wèn)題）

（利用一元二次方程解決比賽/握手/紅包/贈(zèng)送類問(wèn)題）變式2-3有n支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了15場(chǎng)，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間只比賽一場(chǎng)，則下列方程中符合題意的是()A．n(n﹣1)＝15 B．n(n+1)＝15C．n(n﹣1)＝30 D．n(n+1)＝30

利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題1．某農(nóng)戶的小麥產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為

x，第一年的產(chǎn)量為

50000kg，第二年的產(chǎn)量為____________kg，第三年的產(chǎn)量為______________kg．50000(1

+

x)2．某糧食廠2016年面粉產(chǎn)量為a噸，如果在以后兩年平均減產(chǎn)的百分率為

x，那么預(yù)計(jì)

2017年的產(chǎn)量將是_________．2018年的產(chǎn)量將是__________．a(chǎn)(1–x)

年平均增長(zhǎng)率為

x5000050000(1+x)

利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題

兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降額較大？思考：什么是下降額？下降率如何計(jì)算？下降額=下降前的量-下降后的量增長(zhǎng)額=增長(zhǎng)后的量-增長(zhǎng)前的量利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題

兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降額較大？乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3600）÷2=1200（元）．甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000（元），顯然，乙種藥品的年平均下降額較大利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為

x一年后甲種藥品成本為____________元，兩年后甲種藥品成本為____________元．

答：甲種藥品成本的年平均下降率為0.225

【擴(kuò)展】下降率是用減少的數(shù)除以原數(shù)，則所得結(jié)果必定小于1，因此不能大于或等于1。

兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題

兩年前生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

5000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)

1t甲種藥品的成本是

3000元，生產(chǎn)

1t乙種藥品的成本是

3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？解：設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為

x一年后乙種藥品成本為____________元，兩年后乙種藥品成本為____________元．

答：乙種藥品成本的年平均下降率為0.225

兩種藥品成本的年平均下降率相等，成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大。

成本下降額表示絕對(duì)變化量，成本下降率表示相對(duì)變化量，兩者兼顧才能全面比較對(duì)象的變化狀況。利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題理解變化率1)如果增長(zhǎng)率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為____________，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為____________．2)如果下降率問(wèn)題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為__________，第二次下降后的數(shù)量為___________．a(chǎn)(1＋x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2（利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題）典例3某校去年對(duì)操場(chǎng)改造的投資為3萬(wàn)元，預(yù)計(jì)今明兩年的投資總額為9萬(wàn)元，若設(shè)該校今明兩年在操場(chǎng)改造投資上的平均增長(zhǎng)率是x，則可列方程為_____________________.

（利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題）變式3-1某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，第三季度生產(chǎn)零件196萬(wàn)個(gè)．設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196【詳解】一般增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），如果該廠八、九月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產(chǎn)量：八、九月份的產(chǎn)量分別為50（1+x）、50（1+x）2，從而根據(jù)題意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故選C．（利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問(wèn)題）變式3-2我市某樓盤準(zhǔn)備以每平方6000元的均價(jià)對(duì)外銷售，由于國(guó)務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺(tái)后，購(gòu)房者持幣觀望，為了加快資金周轉(zhuǎn)，房地產(chǎn)開發(fā)商對(duì)價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次下調(diào)后，決定以每平方4860元的均價(jià)開盤銷售，則平均每次下調(diào)的百分率是（）.A．8% B．9% C．10% D．11%【解析】設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x，由題意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下調(diào)的百分率為10%．故選C．列方程的步驟01提問(wèn)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程02巧妙通過(guò)數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題03第1課時(shí)：傳播問(wèn)題和增長(zhǎng)率問(wèn)題21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程第2課時(shí)：幾何問(wèn)題和數(shù)字問(wèn)題第二十一章學(xué)習(xí)目標(biāo)1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理。3）通過(guò)一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題。重點(diǎn)通過(guò)一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題。難點(diǎn)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列方程并求解。1）審：分清已知未知，明確數(shù)量關(guān)系；2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；3）列：列方程；4）解：解方程；5）驗(yàn)：根據(jù)實(shí)際驗(yàn)結(jié)果；6)答：寫出答案。列方程解決方程的基本步驟利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)

27cm，寬

21cm，正中央是一個(gè)矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？2721【分析】封面的長(zhǎng)寬之比是9∶7，中央的矩形的長(zhǎng)寬之比也應(yīng)是9∶7。設(shè)中央的矩形的長(zhǎng)和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是：9a7a=9(3-a):7(3-a)=9:7利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)

27cm，寬

21cm，正中央是一個(gè)矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？27219a7a整理,得：16y2-

48y

+

9

=

0

方程的哪個(gè)根合乎實(shí)際意義？為什么？

則上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題

要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)

27cm，寬

21cm，正中央是一個(gè)矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？27219a7a

則上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題

如圖,在一塊長(zhǎng)為92m,寬為60m

的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6個(gè)矩形小塊，水渠應(yīng)挖多寬？

分析：設(shè)水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個(gè)新的矩形，長(zhǎng)為(92–2x)m,寬(60-x)m.解：設(shè)水渠的寬應(yīng)挖xm.(92-

2x)（60-

x）=6×885.解得x1=105(舍去），x2=1.注意：結(jié)果應(yīng)符合實(shí)際意義609260-x92-2x利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方體底面邊長(zhǎng)為xm，則3x2＝4.32，解得：x＝1.2或x＝﹣1.2（舍去）∴該木箱的底面周長(zhǎng)為4x＝4.8（m），答：該木箱的底面周長(zhǎng)4.8m．

現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)方體木箱，底面是一個(gè)正方形，高為3m，體積為4.32m3，求該木箱的底面周長(zhǎng)。xx3利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題

等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個(gè)梯形的高。

解：設(shè)這個(gè)梯形的高為xcm，則上底為（x+4）cm，下底為(x+20)cm.根據(jù)題意得整理，得解得x1=8,x2=－20(不合題意，舍去)答：這個(gè)梯形的高為8cm.幾何問(wèn)題與一元二次方程幾何圖形常見幾何圖形面積是等量關(guān)系.類型課本封面問(wèn)題小路寬度問(wèn)題常采用圖形平移，聚零為整方便列方程.（利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題）

典例1（利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題）變式1-1在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cm25m180m2（利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題）變式1-2某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng),養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)25m)，另外三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m。養(yǎng)雞場(chǎng)的面積能達(dá)到180m2嗎？如果能，請(qǐng)給出設(shè)計(jì)方案，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.x解:設(shè)養(yǎng)雞場(chǎng)的長(zhǎng)為xm,根據(jù)題意得:

即x2-40x+360=0.解方程,得x1=

x2=

(舍去),

答：雞場(chǎng)的為（）m滿足條件.利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）將題干內(nèi)容轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：一個(gè)兩位數(shù)（不小于30），個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大3，且個(gè)位數(shù)字的平方剛好等于這個(gè)兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)是多少？

利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題如果一個(gè)數(shù)的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的平方，這個(gè)數(shù)是多少？【詳解】解：設(shè)這個(gè)數(shù)為x，列方程-x=x2整理得x（x+1）=0，解得x1=0，x2=-1利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題

一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的和為9，并且個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和為45，求這個(gè)兩位數(shù).

（利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題）典例2兩個(gè)相鄰自然數(shù)的積是132．則這兩個(gè)數(shù)中，較大的數(shù)是（）A．11 B．12 C．13 D．14【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)為x，則較小的數(shù)為（x﹣1），依題意，得：x（x﹣1）＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合題意，舍去）．故選：B．（利用一元二次方程解決數(shù)字問(wèn)題）

變式2-1（利用一元二次方程解決日歷問(wèn)題）變式2-2如圖所示的是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)正方形圈出3×3個(gè)位置相鄰的9個(gè)數(shù)（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9個(gè)數(shù)中，最小數(shù)x與最大數(shù)的積為192，那么根據(jù)題意可列方程為（）A．x(x+3)=192 B．x(x+16)=192C．(x+8)(x-8)=192 D．x(x-16)=192【詳解】解：根據(jù)圖表可以得出，圈出的9個(gè)數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差為16，設(shè)最小數(shù)為x，則最大數(shù)為x+16，根據(jù)題意得出：x（x+16）=192，故選：B．第2課時(shí)：幾何問(wèn)題和數(shù)字問(wèn)題21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程第3課時(shí)：利潤(rùn)問(wèn)題、表格問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題第二十一章學(xué)習(xí)目標(biāo)1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，正確列出一元二次方程。2）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)所得結(jié)果是否合理。3）通過(guò)一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題。重點(diǎn)通過(guò)一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題。難點(diǎn)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列方程并求解。1）審：分清已知未知，明確數(shù)量關(guān)系；2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)；3）列：列方程；4）解：解方程；5）驗(yàn)：根據(jù)實(shí)際驗(yàn)結(jié)果；6)答：寫出答案。列方程解決方程的基本步驟九年級(jí)學(xué)生小明在暑假期間進(jìn)行勤工儉學(xué).問(wèn)題一：他每天在村上以每斤2.5元買進(jìn)黃瓜，到市場(chǎng)以每斤4元賣掉黃瓜，那么他賣1斤黃瓜的利潤(rùn)是

元；問(wèn)題二：如果他每天買進(jìn)并賣完300斤黃瓜，則他每天銷售利潤(rùn)是

元。1.5450售價(jià)-進(jìn)價(jià)=單件利潤(rùn)單件利潤(rùn)×銷量=總利潤(rùn)利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題某商場(chǎng)銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場(chǎng)采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？分析：設(shè)襯衫單價(jià)應(yīng)降x元，根據(jù)題意可列表分析單價(jià)利潤(rùn)銷量總利潤(rùn)降價(jià)前4020800降價(jià)后120040-x20+2x（40-x）（20+2x）=1200求這個(gè)一元二次方程的解，站在商家角度你覺(jué)得如何降價(jià)合適？利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題

某商店進(jìn)了一批服裝，進(jìn)貨單價(jià)為50元，若按每件60元出售，則可銷售800件；若每件再提價(jià)1元出售，則其銷售量就減少20件?，F(xiàn)在預(yù)算要獲利潤(rùn)12000元，應(yīng)按每件多少元出售？（僅列方程）分析：如果設(shè)襯衫單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列表分析進(jìn)價(jià)售價(jià)單價(jià)利潤(rùn)銷量總利潤(rùn)提價(jià)前5060108008000提價(jià)后50

xx-50

800-20（x-60）12000（x-50）[800-20（x-60）]=12000如果設(shè)提價(jià)x元，你能根據(jù)提示信息列出方程嗎？（10+x）（800-20x）=12000利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按供需要求分為十個(gè)檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)76件，每件的利潤(rùn)為10元，每提高一個(gè)檔次，每件的利潤(rùn)增加2元，每天的產(chǎn)量將減少4件．設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，請(qǐng)解答下列問(wèn)題．1）用含x的代數(shù)式表示：一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為_______件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為________元；檔次銷售量（件）單件利潤(rùn)（元）1（最低）7610234.........10（最高）127214681664284010+2（x-1）76-4（x-1）解（1）一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為[76-4（x-1）]=（80-4x）件，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為[10+2（x-1）]=（8+2x）元，利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按供需要求分為十個(gè)檔次．若生產(chǎn)第一檔次（最低檔次）的產(chǎn)品，一天可生產(chǎn)76件，每件的利潤(rùn)為10元，每提高一個(gè)檔次，每件的利潤(rùn)增加2元，每天的產(chǎn)量將減少4件．設(shè)產(chǎn)品的檔次（每天只生產(chǎn)一個(gè)檔次的產(chǎn)品）為x，請(qǐng)解答下列問(wèn)題．2）若該產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1080元，求這天生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次x的值．（2）當(dāng)利潤(rùn)是1080元時(shí)，即：[10+2（x-1）][76-4（x-1）]=1080，整理得：-8x2+128x+640=1080，解得：x1=5，x2=11，因?yàn)閤=11＞10，不符合題意，舍去．因此取x=5，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量檔次是在第5檔次時(shí)，一天的總利潤(rùn)為1080元．（利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題）典例1某種新產(chǎn)品進(jìn)價(jià)是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)（元）與產(chǎn)品的日銷售量（件）始終存在表中的數(shù)量關(guān)系：商場(chǎng)經(jīng)理給該件商品定價(jià)為x元時(shí)，每日盈利可達(dá)到1600元。則可列方程為（

）A．（x-120）（200-x）=1600 B．x（200-x）=1600

C．（x-120）（180-x）=1600 D．x（180-x）=1600每件售價(jià)（元）130150165每日銷售量（件）705035【詳解】設(shè)定價(jià)為x元時(shí)，每件盈利是（x-120）元，銷售的件數(shù)是[70-(x-130)]件，盈利是（x-120）[70-(x-130)]元，所以（x-120）[70-(x-130)]=1600，即，（x-120）（200-x）=1600，故選：A．（利用一元二次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題）變式1-1某電商銷售一款夏季時(shí)裝，進(jìn)價(jià)40元/件，售價(jià)110元/件，每天銷售20件，每銷售一