材料力學課件

應力狀態(tài)分析和強度理論$8.1應力狀態(tài)概述單向拉伸時斜截面上的應力過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)。2．單向拉伸時斜截面上的應力斜截面上的應力斜截面上的正應力和切應力為可以得出時時橫截面上的正應力1．應力狀態(tài)主單元體三個主平面上的主應力按代數(shù)值的大小排列，過A點取一個單元體，如果單元體的某個面上只有正應力，而無剪應力，則此平面稱為主平面。主平面上的正應力稱為主應力。主單元體若單元體三個相互垂直的面皆為主平面，則這樣的單元體稱為主單元體。三個主應力中有一個不為零，稱為單向應力狀態(tài)三個主應力中有兩個不為零，稱為二向應力狀態(tài)。三個主應力中都不為零，稱為三向應力狀態(tài)。$8.2二向應力狀態(tài)下斜截面上的應力t1．任意斜截面上的應力在外法線n和切線t上列平衡方程

根據(jù)剪應力互等定理，並考慮到下列三角關係

satasxsytxyxynt

簡化兩個平衡方程，得2．極值應力將正應力公式對取導數(shù)，得若時，能使導數(shù)，則上式有兩個解：即和在它們所確定的兩個互相垂直的平面上，正應力取得極值?？梢宰C明：一個平面是最大正應力所在的平面，另一個是最小正應力所在的平面。求得最大或最小正應力為代入剪力公式，為零。

這就是說，正應力為最大或最小所在的平面，就是主平面。所以，主應力就是最大或最小的正應力。主應力及主平面的方位令得求得剪應力的最大值和最小值是：與正應力的極值和所在兩個平面方位的對應關係相似，剪應力的極值與所在兩個平面方位的對應關係是：，則絕對值較小的對應最大剪應力所在的平面。3．主應力所在的平面與剪應力極值所在的平面之間的關係與之間的關係為這表明最大和最小剪應力所在的平面與主平面的夾角為45度若$8.3二向應力狀態(tài)的應力圓1．應力圓方程

中的將公式削掉，得由上式確定的以為變數(shù)的圓，這個圓稱作應力圓。

圓心的橫坐標為，縱坐標為0，圓的半徑為。2．應力圓的畫法建立應力坐標系（注意選好比例尺）在坐標系內畫出點和

與軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AD為半徑畫圓——應力圓。t1）圓上一點座標等於微體一個截面應力值2）圓上兩點所夾圓心角等於兩截面法線夾角的兩倍3）對應夾角轉向相同4．在應力圓上標出極值應力3．單元體與應力圓的對應關係$8.4三向應力狀態(tài)1．三個主應力

2.三向應力圓的畫法

作應力圓，決定了平行於平面上的應力作應力圓，決定了平行於平面上的應力作應力圓，決定了平行於平面上的應力由由由，最大的剪應力極值為3．單元體正應力的極值為$8.5複雜應力狀態(tài)的廣義虎克定律1．單拉下的應力—應變關係，三向應力狀態(tài)等三個主應力，可看作是三組單向應力的組合。對於應變，可求出單向應力引起的應變，然後疊加可得單元體變形後的體積為4．體積胡克定律2．複雜狀態(tài)下的應力—應變關係單元體變形後的體積為體積改變?yōu)槠渲袨轶w積模量，是三個主應力的平均值。為體積胡克定律。第二章拉伸、壓縮和剪切$2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實例1.概念：桿件上外力合力的作用線與桿件軸向重合，變形是沿軸線方向的伸長和縮短。2.力學模型：PPPP$2.2拉伸或壓縮時的內力和橫截面上的應力1．軸力桿在軸向拉壓時，橫截面上的內力稱為軸力。軸力用N表示，方向與軸線重合。求解軸力的方法：截面法。軸力的符號規(guī)則：N與截面的外法線方向一致為正；反之為負。軸力為正，桿件受拉；軸力為負，桿件受壓。2．軸力圖：用折線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫軸表示截面位置，縱軸表示軸力大小。它能確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)例

AB桿受力如圖所示,已知2.5kN，4kN，1.5kN。試求AB桿各段內並作軸力圖P1P2P31122P1P2P31122P1N1N2P2P1解:(1)計算各段的軸力對AC段，設置截面如圖，由平衡方程對BC段，由平衡方程得:得：ACB(2)按比例畫軸力圖P1P2P31122ACBN/kNx2.51.53．軸向拉（壓）時橫截面上的應力，強度條件根據(jù)橫截面在軸向拉壓時仍然保持為平面不變的平面假設，可得橫截面上只存在正應力。又因為材料均勻連續(xù)，並且縱向纖維的伸長相同，所以橫截面上的正應力均勻分佈。強度條件及其應用：abcd例如圖所示托架，已知：AB為鋼板條，截面積100cm2，AC為10號槽鋼，橫截面面積為A=12.7cm2。若求：各桿的應力。解：（1）以節(jié)點A為研究對象，受力分析如圖所示，建立平衡方程解方程可得（2）計算各桿的應力AB和AC的應力為$2.3材料拉伸時的力學性能1.低碳鋼拉伸時的力學性能（應力應變曲線圖）力學性能：在外力作用下，材料在變形和破壞方面表現(xiàn)出的特性（1）彈性階段（2）屈服階段

在應力增加很少或不增加時，應變會很快增加，這種現(xiàn)象叫屈服。

(3)強化階段_材料經(jīng)過屈服階段以後，因塑性變形使其組織結構得到調整，若需要增加應變則需要增加應力。是材料能承受的強度極限

（4）局部變形階段

（5）截面收縮率和延伸率延伸率（6）卸載與硬化截面收縮率2．鑄鐵拉伸時的力學性能鑄鐵拉伸時，沒有屈服和頸縮，拉斷時延伸率很小，故強度極限是衡量強度的唯一指標。2．鑄鐵壓縮時，在較小變形時就會破壞，並沿45度方向破壞，說明鑄鐵因剪切破壞。

$2.4材料壓縮時的力學性能1．低碳鋼在壓縮時，彈性摸量和屈服極限與拉伸相似，但壓縮不會破壞，只會越壓越扁，沒有強度極限。$2.5失效與許用應力脆性材料在其強度極限塑性材料在其屈服極限時失效。

破壞，極限應力：

，

塑性材料的許用應力，脆性材料

一般工程中，。

2．強度條件

等截面桿

1．失效原因$2.6軸向拉伸或壓縮的變形，彈性定律1．桿件在軸向方向的伸長為2．沿軸線方向的應變和橫截面上的應力分別為，。3．胡克定律E為彈性模量。4．橫向應變?yōu)闄M向應變與軸向應變的關係為將應力與應變的運算式帶入得以求下麵三桿桁架的內力為例說明靜不定問題的解法。$2.7軸向拉（壓）桿靜不定問題對於桿件的軸力，當未知力數(shù)目多於平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全部未知力。這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。2．靜不定問題的解法求解靜不定問題的關鍵在於使未知力個數(shù)和方程個數(shù)相等，這要求除了利用理論力學的知識建立平衡方程外，還要建立若干個補充方程，使其個數(shù)等於靜不定次數(shù)。1．靜不定問題的概念解：(1)列A點的平衡方程N3N2N1PEA（2）變形幾何關係（3）力與變形的關係＝

（４）聯(lián)立補充方程和平衡方程求解未知力，例

桿的上、下兩端都有固定約束，若抗拉剛度EA已知，試求兩端反力。解：（1）列桿的平衡方程

（2）變形幾何關係由於桿的上、下兩端均已固定，故桿的總變形為零，即等於AC段變形和BC段變形之和。。（3）力與變形的關係，對BC段，其軸力，

AC段，其軸力由虎克定律

代入變形幾何關係

（４）聯(lián)立補充方程和平衡方程求解未知力

解得

應該注意，、桿件所受的力必須與產(chǎn)生的變形一致，才能得到正確答案。方向可任意假設，但在建立補充方程時，總結超靜定問題的方法步驟：（1）平衡方程；

（2）幾何方程——變形協(xié)調方程；

（3）物理方程——彈性定律；

（4）補充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補充方程組成的方程組。對於靜定問題，不存在裝配應力，但在靜不定結構中，由於桿件的尺寸不準確，強行裝配在一起，這樣在未受載荷之前，桿內已產(chǎn)生的內力。由於裝配而引起的應力稱為裝配應力。以下圖為例進行講解。1．平衡方程2．變形幾何方程3．物理方程聯(lián)立方程得，3．裝配應力等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的應力是均勻分佈的，對於構件有圓孔、切口、軸肩的部位，應力並不均勻，並在此區(qū)域應力顯著增大，這種現(xiàn)象稱為應力集中。$2.8應力集中的概念1．應力集中應力系中係數(shù)名義應力(平均應力)塑性材料：由於塑性引起應力均布，對靜強度極限影響不大。對疲勞強度，應力集中有影響。脆性材料：塑性材料沒有屈服階段，載荷增加時應力集中處的最大應力一直領先。並首先在此處出現(xiàn)裂紋。對靜載荷，也應考慮其影響。2．應力集中對構件強度的影響$2.9剪切和擠壓剪切變形的受力特點：作用在桿件兩個側面上且與軸線垂直的外力，大小相等，方向相反，作用線相距很近。變形特點是：兩個力之間的截面沿剪切面相對錯動?？赡鼙患魯嗟慕孛娣Q為剪切面。

式中Q：剪切面上的剪力。A：剪切面面積1．剪切變形與擠壓剪切力擠壓應力式中P：擠壓面上的擠壓力：擠壓面面積（與外載荷垂直），過圓柱直徑的橫截面面積。2．剪應力與擠壓力的計算例

齒輪和軸用平鍵聯(lián)接如下圖所示。已知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸，傳遞的力偶矩m=2kNm，鍵的許用應力許用擠壓應力。試校核鍵的強度。解：（1）計算鍵所受剪力的大小將鍵沿截面n-n假想切開成兩部分，並把截面以下部分和軸作為一個整體來考慮。OOn-n截面上的剪力Q為由平衡條件

（2）校核鍵的剪切強度

O鍵受到的擠壓力為P，擠壓面面積，由擠壓強度條件

故平鍵滿足擠壓強度條件。（3）校核鍵的擠壓強度3.5t1.5t例拖車掛鉤由插銷與板件聯(lián)結。插銷材料為20號鋼，，直徑，厚度。試校核插銷的剪切強度。，試校核插銷的擠壓強度。若擠壓許可應力為解（1）計算鍵所受力的大小將插銷沿截面m-m和n-n假想切開（雙剪切面）。列平衡方程可得（2）校核鍵的剪切強度3.5t1.5t（3）校核鍵的擠壓強度考慮中段的直徑面積小於上段和下段直徑面面積之和2dt，故校核中段的擠壓強度。第九章組合變形1．定義在複雜外載作用下，構件的變形會包含幾種簡單變形，當幾種變形所對應的應力屬同一量級時，不能忽略之，這類構件的變形稱為組合變形。2．組合變形形式§9–1概念。C兩個平面彎曲的組合拉伸或壓縮與彎曲的組合外力分析：外力向形心(後彎心)簡化並沿主慣性軸分解內力分析：求每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確定危險面。應力分析：畫危險面應力分佈圖，疊加，建立危險點的強度條件。對於線彈性狀態(tài)的構件，將其組合變形分解為基本變形，考慮在每一種基本變形下的應力和變形，然後在疊加。3．組合變形的研究方法——疊加原理扭轉與彎曲mBAECPPt4．解題步驟§9–2拉(壓)彎組合

CBMx12kN.mN例起重機的最大吊重P=12kN，

[σ]=100kN/m2試為橫樑AB選擇適用的工字鋼。解：（1）受力分析由得（2）作AB的彎矩圖和剪力圖，確定C左側截面為危險截面。（3）確定工字鋼型號按彎曲強度確定工字鋼的抗彎截面?zhèn)S數(shù)查表取W=141cm3的16號工字鋼，其橫截面積為26.1cm3。在C左側的下邊緣壓應力最大，需要進行校核。固所選工字鋼為合適。CBMx12kN.mNx§9–3斜彎曲2）疊加：對兩個平面彎曲進行研究；然後將計算結果疊加起來。梁的橫向力不與橫截面對稱軸或形心主慣性軸重合，這時桿件將在形心主慣性平面內發(fā)生彎曲，變形後的軸線與外力不在同一縱向平面內，2．解題方法1）分解：將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，於是得到兩個正交的平面彎曲。。C例矩形截面懸臂梁，求根部的最大應力和梁端部的位移。解：（1）將外載荷沿橫截面的形心主軸分解1．斜彎曲概念

C（2）外載荷在固定端兩平面內的彎矩（3）應力引起任意點C處應力由彎矩引起任意點C處應力由彎矩（4）最大正應力—在C處的應力疊加為（5）變形計算引起的垂直位移由引起的垂直位移由將、幾何疊加得上式說明撓度所在平面與外力所在的平面並不重合。§9–4彎曲與扭轉的組合P向軸心簡化得一等值力和扭矩PPt平面內的彎矩平面內的彎矩mBAECPPtT在危險截面上，與扭矩T對應的邊緣上的切應力極值為1．外力向桿件截面形心簡化2．畫內力圖確定危險截面與合成彎矩對應的彎曲正應力的極值為D點的主應力為按第三強度理論，強度條件是

mBAECPPtPPtT

對於圓軸，其強度條件為3．確定危險點並建立強度條件

按第四強度理論，強度條件為

經(jīng)化簡得出對於圓軸，其強度條件為第六章彎曲應力$6.1梁的彎曲1．橫力彎曲橫截面上既有Q又有M的情況。如AC、DB段。2．純彎曲某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如CD段。3．梁的純彎曲實驗(1).現(xiàn)象：橫向線a-b變形後仍為直線，但有轉動；縱向線變a-a變?yōu)榍€，且上面壓縮下麵拉伸；橫向線與縱向線變形後仍垂直。(2)概念：中性層：梁內有一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。橫截面對稱軸中性軸中性層縱向對稱面$6.2純彎曲時的正應力1．變形幾何關係從梁中截取出長為dx的一個微段，橫截面選用如圖所示的坐標系。圖中，y軸為橫截面的對稱軸，z軸為中性軸。橫截面間相對轉過的角度為,中性層曲率半徑為，距中性層為y處的任一縱線（縱向纖維）b、b、為圓弧曲線。而其線應變?yōu)橐虼?，縱bb的伸長為梁的縱向纖維間無擠壓，只是發(fā)生簡單拉伸或壓縮。當橫截面上的正應力不超過材料的比例極限時，可由虎克定律得到橫截面上座標為y處各點的正應力為yz3．靜力關係截面上內力系簡化為三個內力分量，即平行x軸的軸力N，對Z軸的力偶矩MZ

，和對軸的力偶矩My，2．物理關係yz考慮左側平衡，，，得

橫截面上的內力系最終歸結為一個力偶矩式中積分上式可寫成為稱為梁的抗彎剛度。

將該式代入，即可得到彎曲時梁的橫截面上的正應力計算公式即以梁的中性層為界，梁的凸出一側受拉壓力，凹入的一側受壓。則截面上的最大正應力為$6.3橫力彎曲時的正應力1．橫力彎曲時的正應力，橫力彎曲時的細長梁，橫截面將不在保持為平面。縱向纖維間的正應力也存在。但用純彎曲時梁橫截面上的正應力計算公式，能夠滿足精度的要求。橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，在彎矩最大的截面上離中性軸最遠處發(fā)生最大應力。有公式引入符號——截面圖形的抗截面模量。強度條件為則高為h，寬為b的矩形截面：

直徑為的圓截面：

例

受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1——1截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；解：畫M圖求截面彎矩求應力$6.4彎曲切應力橫力彎曲的梁截面上有彎矩還有剪力。剪力Q是與截面相切的內力系的合力。研究方法：分離體平衡。1．矩形截面中的彎曲切應力在梁上取微段dx，在微段上再取一塊如圖，列平衡方程：

（1）（2）（3）（3）帶入（1）、（2）得由剪應力互等得於是並時有工字形截面其彎曲剪應力計算與矩形截面梁類似。仍然沿用矩形截面梁彎曲剪應力計算公式將此式代入彎曲剪應力公式，可得腹板上彎曲剪應力的計算公式ByhHb2．工字鋼截面將y=0和y=h/2分別帶入上式，得3．圓形截面梁半個圓截面對中性軸的靜矩此外將上式帶入得2R$6.5梁的正應力和剪應力強度條件、提高彎曲強度的措施梁在彎曲時，橫截面上一部分點受拉應力，另一部分點受壓應力。對於低碳鋼等這一類塑性材料，其抗拉和抗壓能力相同，為了使橫截面上的最大拉應力和最大壓應力同時達到許用應力，常將這種梁做成矩形，圓形和工字形等對稱於中性軸的截面，對於拉壓強度不等的材料，拉壓應力均不應該超過各自的許用應力。於是強度條件為，，1．彎曲正應力和剪應力強度條件例求T形截面梁的最大切應力。解：（1）求支反力（2）作剪力圖（3）求最大切應力$6.5梁的截面形狀優(yōu)化

，對於寬b

，高為h的矩形，抗彎截面模量因此，高度越大，越大，在外邊緣達到許用應力時，中性軸附近的應力很小，造成材料的浪費。例如：圓形截面。理想的情況是將面積之半分佈於距中性軸處。越小。為

A/2A/2AAAha.塑性材料上、下對稱抗彎更好，抗扭差。b.脆性材料$6.6等強度梁截面沿桿長變化，恰使每個截面上的正應力都等於許用應力，這樣的變截面梁稱為等強度梁。由

得

若圖示懸臂梁為等強度梁。等寬度h，高度為x的函數(shù)，b=b(x)。

則

得出按剪切強度確定截面寬度的最小值由於變截面梁並不節(jié)省材料，且加工麻煩，因此採用階梯梁(加工方便)。第七章彎曲變形$7.1撓曲線近似微分方程xxLPABvB’y撓曲線：當梁在xy面內發(fā)生彎曲時，梁的軸線由直線變?yōu)槊鎯葂y的一條光滑連續(xù)曲線，稱為梁的撓曲線。撓度：橫截面的形心在垂直於梁軸（x軸）方向的線位移，稱為橫截面的撓度，並用符號v表示。轉角：橫截面的角位移，稱為截面的轉角，用符號表示。

因此，確定梁的撓曲線方程，就確定了梁的任一截面的撓度和轉角1．概念2．撓曲線近似微分方程梁軸的曲率半徑與彎矩的關係為將微分弧段ds放大，有如下關係：

由於撓度很小，考慮到彎矩的符號與一致，上式寫成將代入上式得出xxLPABvB’y上式可以寫成，$7.2積分法求彎曲變形

再積分一次，即可得梁的撓曲線方程式中C和D為積分常數(shù)，它們可由梁的約束所提供的已知位移來確定。轉角和撓曲線方程對兩側積分，可得梁的轉角方程2．積分常數(shù)的確定—邊界條件和光滑連續(xù)性固定端，撓度和轉角都等於零；鉸支座上撓度等於零。彎曲變形的對稱點上轉角等於零。在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉角。1．轉角方程例

所示簡支梁受集中力作用，試討論它的彎曲變形。解：①求反力並列梁的彎矩方程

分兩段列AB梁的彎矩方程為：

AC段

CB段

②列出梁的各段的撓曲線近似微分方程並積分將和兩段的撓曲線近似微分方程及積分結果，列表如下。xyPabx1x2ABCRARB段段③確定積分常數(shù)

梁在A、B兩端的邊界條件為時，

時，撓曲線在截面的連續(xù)條件為當時，

解得梁AC和CB段的轉角方程和撓曲線方程列於下表：AC段CB段④求梁的最大撓度和轉角在梁的左端截面的轉角為在梁右端截面的轉角為當時，可以斷定為最大轉角。為了確定撓度為極值的截面，先確定C截面的轉角若,AC段內必有一截面轉角為零。

令解得的轉角為零，亦即撓度最大的截面位置。

則由AC段的撓曲線方程可求得梁AB的最大撓度為例起重機大樑的自重是集度為q的均布載荷，吊重P為作用於中間的集中力。試求大樑跨度中間的撓度。$7.3用疊加法求彎曲變形當梁上有幾個簡單載荷共同作用時，可以分別計算梁在每個載荷單獨作用時的變形，然後進行疊加，即可求得梁在幾個載荷共同作用時的總變形。qPABCL/2L/2qP解:(1)分解載荷:均布載荷q，集中力P（2）查表疊加均布載荷單獨作用下集中力單獨作用下在均布載荷和集中力共同作用下例將車床主軸簡化成等截面的外伸梁。軸承A和B簡化為鉸支座，P1為切削力，P2為齒輪傳動力。試求截面B的轉角和端點C的撓度。解：（1）分解載荷，集中力（2）計算在截面B處的剪力和彎矩，截面因M引起的轉角P2單獨作用引起的轉角轉角疊加因轉角引起的C處的撓度（3）查表疊加P1引起的C點的撓度C點撓度的疊加$7.4簡單超靜定梁3）建立相當系統(tǒng)1．求解步驟1）判斷靜不定度2）建立基本系統(tǒng)一個靜不定系統(tǒng)解除多餘約束後所得的靜定系統(tǒng)4）根據(jù)變形協(xié)調條件求解靜不定問題P作用有原靜不定梁載荷與多餘約束反力的基本系統(tǒng)2．求解簡單靜不定結構例求超靜定梁B處的支反力及中點C的撓度。解：去掉支座B，代替以約束反力力與變形的關係變形協(xié)調關係解得利用疊加法得P第三章扭轉1.扭轉變形：扭轉變形是在桿件兩端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直於桿件軸線的力偶，致使桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對移動。$3.1扭轉的概念和實例3．扭轉變形受力特點：桿件的兩端作用著大小相等，方向相反，且作用面垂直於桿件軸線5．工程實例：方向盤軸、傳動軸。2．外力特徵：力偶矩矢平行於桿的軸線。力偶矩矢表示的右手螺旋法則。4.力偶變形特點：各軸線仍直，桿件的任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉動。$3.2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖1.外力偶矩的計算N：功率；：轉速（1）內力偶矩：桿件受扭時截面上的內力偶矩。符號（2）內力偶矩計算—截面法用截面將軸分成兩部分，按右手螺旋法則把、T表示為向量，列出左部分平衡方程，得到。2．扭矩和扭矩圖當向量方向與截面外法線方向一致時，T為正；反之為負。（3）扭矩圖反應出|T|max值及其截面位置，從而進行強度計算（危險截面）。該圖一般以桿件軸線為橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩大小。表示桿件各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形例傳動軸如圖，主動輪A輸出功率，從動輪B、C、D輸出功率分別為，，軸的轉速為。試作軸的扭矩圖。解（1）求外力偶矩T3BCD112233A（2）求截面內扭矩在BC段內T3BCD112233ATx在CA段內在AD段內（3）畫扭矩圖1．薄壁圓筒的扭轉實驗$3.3薄壁圓筒的扭轉①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動。試驗前後比較現(xiàn)象：②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。得出結論：縱向截面上無正應力，只有切於截面的切應力。③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。2.薄壁圓筒扭轉時的切應力橫截面內力力系對x軸力矩為：平衡方程：3.切應力互等定理

幾何模型：用相鄰的兩個橫截面和兩個縱向面，從圓筒中取出邊長分別為dx、dy、dz和t的微小矩形六面體。由得，

4．切應變剪切胡克定律——切應變——剪切胡克定律—半徑；—扭轉角；—圓筒長度；——剪應變；G——剪切彈性模量。式中$3.4圓軸扭轉變形的剪應力分佈和變形計算1．變形幾何關係

2．物理關係——胡克定律3．力學關係其中稱為抗扭截面模量。TTdxT4．扭轉強度和剛度分析材料的許用剪應力

圓軸扭轉時的剛度條件：強度條件：為了消除長度的影響，用表示扭轉變形的程度，令距離為兩個橫截面之間的相對扭轉角為例傳動軸上有三個齒輪，齒輪2為主動輪，齒輪1和齒輪3消耗的功率分別為和。若軸的轉速為，，材料為45鋼，。根據(jù)強度確定軸的直徑。1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m解:(1)計算力偶距

(2)根據(jù)強度條件計算直徑從扭矩圖上可以看出，齒輪2與3間的扭矩絕對值最大。例若上題規(guī)定且已知按剛度條件確定軸的直徑，並求齒輪3對齒輪1的轉角。解：1230.3m0.4mxT155N.m39.3N.m$3.5扭轉變形能1．扭矩作功2．扭轉變形能和能密度$3.6圓柱密圈螺旋彈簧的應力和變形1．彈簧絲橫截面上的應力修正公式：式中PP彈簧的變形是指彈簧在軸向壓力（或拉力）作用下，沿軸線方向的縮短量（或伸長量），用表示

在彈性範圍內，壓力P與變形成正比。令變形能等於外力作功，即U=W，於是有其中

2．彈簧的變形第十二章交變應力1．交變應力$12.1交變應力與疲勞失效應力比（迴圈特徵）R=—1對稱迴圈，R=1脈動迴圈，R=0靜載荷構件在交變應力下產(chǎn)生裂紋或斷裂叫疲勞破壞（1）構件經(jīng)過長期的交變應力作用，雖然應力遠低於其靜載下的極限應力，也可能發(fā)生斷裂。3．疲勞破壞特點，破壞。

隨時間週期變化應力2．疲勞破壞（4）構件斷口呈現(xiàn)出兩個區(qū)域：粗糙區(qū)和光滑區(qū)。（2）交變應力多次重複，N迴圈次數(shù)。（3）構件的斷裂是突然的，無任何明顯的預兆。$12.2交變應力的基本參數(shù)—疲勞極限1．疲勞極限曲線Nr為某一指定值oN0在應力比一定的情況下，對一組（8~12根），d=6~10mm的試件，分別在不同的直到破壞，記錄下每根試件破壞前經(jīng)受的迴圈次數(shù)N。作出此曲線為在應力比下的曲線。曲線。（1）下施加交變應力，對於鋼材，曲線有一水準漸進線。為此材料在指定應力比下的疲勞極限。對應值為迴圈基數(shù)。Nr為某一指定值oN0對於電磁材料（晶片），，幾千次，幾萬次/秒——對稱迴圈疲勞極限2．影響構件持久極限的主要因素(1)構件外形的影響對於零件上截面有變化處，如：螺紋、鍵槽、軸肩等，在此處會出現(xiàn)應力集中，因此，會顯著降低疲勞強度極限。一般用K表示其降低程度，即（2）疲勞極限，式中、分別為彎曲、扭轉時光滑試件對稱迴圈的疲勞強度極限；分別為同尺寸而有應力集中因素試件的對稱迴圈的疲勞極限。(2)構件尺寸的影響構件尺寸越大，材料包含的缺陷相應增多，指使疲勞極限降低，其降低程度用尺寸係數(shù)表示，式中、分別為光滑小試件在彎曲、扭轉時的疲勞極限；、分別為光滑大試件在彎曲、扭轉時的疲勞極限。(3)構件表面品質的影響加工表面的影響用表面加工係數(shù)表示。是指試件表面在不同加工情況下的疲勞極限與磨光時的疲勞極限之比。，扭轉構件在對稱迴圈下的疲勞極限為。因此，彎曲構件在對稱迴圈下的疲勞極限是1．對稱迴圈下的疲勞強度計算強度條件，令$12.3構件的疲勞強度計算許用應力例階梯軸。材料為合金鋼，，，。軸在不變彎矩作用下旋轉。軸表面為切削加工。若規(guī)定，試校核軸的強度。解：（1）最大工作應力（2）確定應力集中係數(shù)根據(jù)，，查表得，。應力集中係數(shù)為查表確定，（3）求工作安全係數(shù)滿足強度要求。2．不對稱迴圈下的疲勞強度計算強度條件為（1）承受交變應力的工作安全係數(shù)（2）對於受扭轉的構件，工作安全係數(shù)為（3）承受扭彎組合交變應力，工作安全係數(shù)為例上例中的階梯軸在不對稱彎矩和的交替作用下，並規(guī)定。試校核軸的疲勞強度。解：（1）求、、、。（2）確定各種係數(shù)，，，（3）疲勞強度計算，故滿足疲勞強度條件。第十一章動載荷構件在動載荷作用下的各種回應（應力、應變和位移）$11.1概述1.靜載荷載荷從零開始平緩地增加到最終值，然後不在變化的載荷。2.動載荷載荷和速度隨時間急劇變化的載荷為動載荷按照達朗貝爾原理，在原物體系上沿加速度相反方向加上慣性力，則慣性力與物體上原有的外力組成一平衡力系，即可按靜力學方法處理動力學問題，這就是動靜法$11.2構件作勻變速運動時的應力與變形maFd1．動靜法3.動回應2．勻加速桿件的動載荷bbaRRq均布載荷的集度為截面中點彎距為應力為加速度為零時，動應力可以表示為

其中強度條件寫成3．在勻速轉動圓環(huán)上的應用沿圓環(huán)軸線均布的慣性力的集度為取半圓環(huán)為研究對象，列平衡方程，得NdNdqdtDwt4、強度條件$11.3使用能量原理計算受衝擊構件的動應力、變形1．不考慮受撞擊構件品質時的應力和變形例設有重量為G的重物自高度處自由下落撞擊梁上1點。解：重物與梁接觸時的動能與重力勢能的關係：重物至最低點時，位能減少失去總能量

h11求其動應力。設在靜載荷G作用下梁1處的靜變形為，彈簧剛度係數(shù)為梁獲得的彎曲應變能為h11利用U=E，得為撞擊係數(shù)，其值為2．考慮受撞擊構件品質時的應力和變形如圖，懸臂梁在自由端B受到重物的撞擊，在B端放置桿件的相當品質。兩物體碰撞後運動。由動量守恆得以共同速度撞擊物的動能為其中設想重物G下落高度時具有動能，

則由可知將代替帶入可得確定相當品質。以在B受靜力P時的撓曲線作為受衝擊時的動撓曲線。設梁單位長度的重量為，則段的動能是，於是即在自由端承受撞擊時的相當品質是全梁品質的。第十章壓桿穩(wěn)定若處於平衡的構件，當受到一微小的干擾力後，構件偏離原平衡位置，而干擾力解除以後，又能恢復到原平衡狀態(tài)時，這種平衡稱為穩(wěn)定平衡。受壓桿在某一平衡位置受任意微小撓動，轉變到其他平衡位置的過程叫屈曲或失穩(wěn)。

PPPPPcrPcr干擾力當軸向壓力大於一定數(shù)值時，任一微小撓動去除後，桿件不能恢復到原直線平衡位置，則稱原平衡位置是不穩(wěn)定的，此壓力的極限值為臨界壓力。$10.1壓桿穩(wěn)定的概念1．壓桿穩(wěn)定2．臨界壓力3．曲屈$10.2細長壓桿臨界壓力的歐拉公式1．兩端鉸支壓桿的臨界力選取如圖所示坐標系xoy。距原點為x的任意截面的撓度為v。若壓力P取絕對值，則y為正時，M為負。於是有2．撓曲線近似微分方程令則有該微分方程的通解為x將其代入彈性撓曲線近似微分方程，則得式中A、B——積分常數(shù)，可由邊界條件確定壓桿為球鉸支座提供的邊界條件為:x和時，將其代入通解式，可解得，上式中，只有滿足上式的值為則有於是，壓力P為n=1得到桿件保持微小彎曲壓力-臨界壓力

此式由瑞士科學家歐拉於1744年提出，故也稱兩端鉸支細長壓桿的歐拉公式。此公式的應用條件：理想壓桿；線彈性範圍內；兩端為球鉸支座。$10.3其他條件下壓桿的臨界壓力歐拉公式的普遍形式為式中稱為長度係數(shù)，

是把壓桿折算成相當於兩端鉸支桿時的長度，稱為相當長度。例：試由兩端固定細長壓桿的撓曲線的微分方程，導出歐拉公式。解：vxl0.3lC由撓曲線的微分方程可得方程的通解為固定支座的邊界條件是時，，時，，邊界條件帶入上面各式得vxl0.3lC解得作出正切曲線，與從座標畫出的45o斜直線相交，交點的橫坐標為彎矩為零的C點的橫坐標$10.4壓桿的穩(wěn)定校核1．壓桿的許用壓力為許可壓力；為工作安全係數(shù)。2．壓桿的穩(wěn)定條件例平面磨床液壓傳動裝置示意圖?；钊睆?，油壓。

，活塞桿長度，材料為35鋼，

，，試確定活塞桿的直徑。（1）軸向壓力活塞桿p解：（2）臨界壓力活塞桿p（3）確定活塞桿直徑得出由（4）計算活塞桿柔度對35號鋼，

因為，滿足歐拉公式的條件。第四章平面圖形的幾何性質$4.1靜矩和形心設有一厚度很小的均勻薄板形狀如上圖。形心與平面圖形的形心一致。利用靜力學的力矩定理求出薄板重心座標1．靜矩對於圖形，其面積為A。Z和y為圖形所在平面的坐標軸。則微面積dA在整個圖形面積上的積分為稱為圖形對y,z軸的靜矩或一次矩。2．形心從上式可以看出，若圖形對某一軸的靜矩等於零，則該軸必然通過圖形的形心；反之，若圖形對某一軸通過圖形的形心，則圖形對該軸靜矩等於零。當一個圖形A由，A1A2

…An等個圖形組合而成的組合圖形時，有靜距的定義得$4.2慣性矩、慣性半徑和慣性積1．慣性矩2