2023年高考數(shù)學(xué)第47講 拋物線及其于直線的位置關(guān)系

第47講拋物線及其于直線的位置關(guān)系

一、知識(shí)聚焦

1直線與拋物線的位置關(guān)系

設(shè)拋物線方程為V=2px(〃>0),直線Ax+8)，+C=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)

立，消去x得到關(guān)于y的方程my2++q=0.

(1)若加H0,當(dāng)A>0時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)△=0時(shí),直線與拋物線只有

一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)△<0時(shí),直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)若加=0,直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行.

2直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)公式

求直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)公式與直線與橢圓或雙曲線截得弦長(zhǎng)的求法相同.

3拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題

拋物線的焦點(diǎn)弦有許多重要性質(zhì)，在解題中應(yīng)用廣泛.相關(guān)知識(shí)在本書(shū)第四十三講“利

用圓雉曲線的定義解題--化歸思想的運(yùn)用”的【核心例題3】中有詳細(xì)介紹,本講不再重復(fù).

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1】

(1)設(shè)斜率為2的直線/與拋物線V=4x相交于兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，已知

\AB\=3后NAPB的面積為30,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(2)在拋物線y2=4x上求一點(diǎn)尸，使點(diǎn)P到直線/:4x-3y+3=0的距離最短,并求

此時(shí)距離的最小值.

(3)已知拋物線C:V=4x,過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線交拋物線。于A,8兩點(diǎn),若點(diǎn)P是

拋物線上A,B之間一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到直線AB的距離最大時(shí),求VABP面積的最小值.

【解題策略】

本例3小問(wèn)都是以拋物線V=4尤為載體研究直線與拋物線的位置關(guān)系，包含弦長(zhǎng)、距

離、三角形面積、最值等問(wèn)題.問(wèn)題的求解常需引進(jìn)一些變量，如果變量太多，則不利于問(wèn)題

的解決，所以要學(xué)會(huì)控制變量的個(gè)數(shù)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種基本素養(yǎng).本例中的點(diǎn)P若設(shè)為

P(X1,y),則引入兩個(gè)變量X,M,顯然會(huì)對(duì)解題帶末困難,若設(shè)為P,，yJ，則變量只有

一個(gè)外另外,題中涉及VA依面積時(shí),需寫(xiě)出面積的解析式，由于三角形的面積求法有多種

公式,選擇哪一種需細(xì)細(xì)思量,尋找一種對(duì)求最值相對(duì)方便的形式是上策.總之,解數(shù)學(xué)問(wèn)題

過(guò)程中，吃透條件的內(nèi)涵與外延,把握好數(shù)與形兩個(gè)方面,才能成為解題高手.

【解】

(1)設(shè)直線的方程為y=2x+加，點(diǎn)A(%,y),3(%，%).

九2

由《y二=2x+消去R,得、=工v+加，即yo2-2y+2m=0,

y=4x2

X+必=2,y%=2m,QAB|=3石，由弦長(zhǎng)公式得Jl+^|yi-y2|=3V5,即y,-y2|=6,

1，(乂+>2)2-4乂%=36,解得加=Y，.?.直線的方程為y=2x—4，即2x-y-4=0?

2

片-%-4|

設(shè)點(diǎn),為)，則點(diǎn)P到直線的距離△=,QVAPB的面積為

2

吟-%

-4|2

30,.」|A6|?d=30,即-X3A/5X

30.y（）—4|=20,

22

???尤―2%-8=±40.

若y；-2%-8=40,則y：-2%-48=0,即（%-8）（%+6）=0.，%=8或%=-6.

若需一2%-8=-40,則.?.其一2%+32=0,無(wú)實(shí)根.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(16,8)或(9,-6).

(2)Q點(diǎn)P在拋物線V=4%上，故設(shè)點(diǎn)P(R2f),點(diǎn)P到直線/的距離為d,則

產(chǎn)止,

,4—6r+3L4IZ3?3

d=---------------=-a一一,當(dāng)f=-B寸，dmin

55416420

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(29,學(xué)3時(shí)，點(diǎn)尸到直線/的距離_最小，最小值為詬3.

V=4x,得

(3)設(shè)直線A3的方程為：x=my+2,由<

x=my+2

y2一4/篦y-8=（）,△=16m2+32=16（京+2）.

設(shè)4（%,兇）,3（移%），則%+%=4九,%=一8.

\AB\=J1+加21%-%|=J1+—,J[6（m2+2）=4j（]+〃?2）（m2+2）.

設(shè)直線/的方程為工=/2+%由＜）—4"得y2_4my-4，=0,由A=16〃Z2+16/=0

x=my+2

得1=-m2,

:NABP的面積S=，|期d=k4j(l+/〃2)(/+2)xj+加=2(W+

22VJl+m?

2)J/+2..4夜,當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí),等號(hào)成立，故VABP的面積最小值為4&.

【變式訓(xùn)練1】

已知產(chǎn)為拋物線L:V=4無(wú)的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線，直線4與。交與

45兩點(diǎn),直線/2與。交于。,后兩點(diǎn),則|4卸+|。國(guó)的最小值為().

A.16

B.14

C.12

D.10

【變式訓(xùn)練2】

已知拋物線C的頂點(diǎn)為0(0,0),焦點(diǎn)為*0,1)

(1)求拋物線。的方程；

⑵如圖所示，過(guò)點(diǎn)廠作直線交推物線于A,B兩點(diǎn),若直線OAOB分別交直線

/:丁=%一2于點(diǎn)加，N,求|MN|的最小值.

【核心例題2】

2

X9

(2020年高考數(shù)學(xué)浙江春第21題)如圖所示，已知橢圓。|：耳+丁=1,拋物線

G：y2=2Px(p>0),，點(diǎn)A是橢圓C,與拋物線C2的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)4的直線I交橢圓G于點(diǎn)

交拋物線C2于點(diǎn)M(民M不同于A).

(1)若p=',求拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo).

(2)若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線/使M為線段的中點(diǎn),求p的最大值.

【解題策略】

第(1)問(wèn)，由〃的值和拋物線的幾何性質(zhì)即可求解;第(2)問(wèn)，設(shè)出直線/的方程和點(diǎn)A

的坐標(biāo),將直線1的方程分別與橢圓C和拋物線C2的方程聯(lián)立,得到關(guān)于m,p的等式,再利

用基本不等式即可求得p的最大值.

【解】

1(1

(1)由〃=上得孰的焦點(diǎn)坐標(biāo)是二,0.

16132J

(2)由題意可設(shè)直線/:%=紗+，(加工0,1工0),點(diǎn)

無(wú)2

將直線’的方程代人橢圓G

二點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=-一將直線/的方程代入拋物線C,：V=2p光，得

m~+2

2P(1+2

:

r-2pmy_2p/=0,yoyM=-2pt,解得％=-------,因此玉）

mm2

由&"+=1得4=+2/n+—..160,上當(dāng)用==。時(shí),

〃取到

2p-m)\m)5

目i宿M

最大值一^.

40

【變式訓(xùn)練】

如圖所示，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線C:：/=2px上存在不同的兩點(diǎn)

A8滿足PA,PB的中點(diǎn)均在拋物線上

（1）設(shè)A3的中點(diǎn)為證明：垂直于y軸.

（2）若P是半橢圓f+?=1甕＜0）上的動(dòng)點(diǎn),求VFA5面積的取值范圍.

【核心例題3】

在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn).已知拋物線C:：/=2p;c的準(zhǔn)線方程為x=-1,

ULKlUUU1

有加（1,一3）,N（5,1）,若動(dòng)點(diǎn)P滿足NP=tNM,且點(diǎn)P的軌跡與拋物線C交于A5兩點(diǎn).

UUUIU

（1）證明：OA_LOB.

（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)。（〃?,0）（加彳0）,使得過(guò)點(diǎn)。的直線/交拋物線。于。，E兩

點(diǎn)，且以線段DE為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn)?若存在，求出以線段DE為直徑的圓的圓心的軌跡方

程;若不存在，說(shuō)明理由.

【解題策略】

第（1）問(wèn)，先由拋物線的性質(zhì)確定拋物線方程,再根據(jù)向量共線確定點(diǎn)P的軌跡方程,聯(lián)

立點(diǎn)P的軌跡方程和拋物線C的方程,通過(guò)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程，由根與系

UliUUU

數(shù)關(guān)系證明xAxB+yAyB=0即可得QA_L03.第（2）問(wèn)是探索存在性問(wèn)題,請(qǐng)注意題設(shè)中

的“都”字,詁明以O(shè)E為直徑的圓是動(dòng)圓，所以才有動(dòng)圓的圓心的軌跡方程存在與否的討

論,可先假設(shè)符合條件的點(diǎn)。存在,設(shè)出直線方程（含雙參數(shù)），聯(lián)立拋物線方程得方程組,再

利用0DJ_0E求出一個(gè)參數(shù)的值,使圓心坐標(biāo)用另一參數(shù)表示，消去參數(shù)求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡

方程,若上述目標(biāo)無(wú)法達(dá)到,則軌跡方程不存在.

（1）證明：由拋物線C:丁=2〃龍的準(zhǔn)線方程為％=—1,得物物線C的方程為丁=4x,由

UUUUUU1

NP=tNM,知點(diǎn)尸的軌跡是過(guò)M,N兩點(diǎn)的直線.設(shè)尸（x,y）,則P點(diǎn)的軌跡方程是過(guò)

M,N兩點(diǎn)的直線.

設(shè)P（x,y）,則P點(diǎn)的軌跡方程是y+3=1'即y=x—4.

5—1

V-JQ—4

聯(lián)立2得V-12x+16=0,設(shè)4（4,力）,3（/，力）

y=4x

則與乙=16,5+%=12,以為=（4-4）（/一4）=一4&+/）+16=-16,

LILILILIUUUUUU

/.OA-OB=xAxB+yAyR=0./.OA_LOB

（2）假設(shè)存在點(diǎn)2（m,0）（m豐0），使得過(guò)點(diǎn)。的直線/交拋物線于D,E兩點(diǎn)，且以線段

為直徑的圓都過(guò)原點(diǎn).

設(shè)0（%,y）,石（9,必），由題意知直線I的斜率不為零,故可設(shè)直線I的方程為x=6+加，

代人y?=4x得y2-4ky-4m=0,

則△=16（22+m）＞0,即攵之+機(jī)＞0,①y+y2=4