2023年高考數(shù)學第47講 拋物線及其于直線的位置關系

第47講拋物線及其于直線的位置關系

一、知識聚焦

1直線與拋物線的位置關系

設拋物線方程為V=2px(〃>0),直線Ax+8)，+C=0,將直線方程與拋物線方程聯(lián)

立，消去x得到關于y的方程my2++q=0.

(1)若加H0,當A>0時,直線與拋物線有兩個公共點；當△=0時,直線與拋物線只有

一個公共點;當△<0時,直線與拋物線沒有公共點.

(2)若加=0,直線與拋物線只有一個公共點,此時直線與拋物線的對稱軸平行.

2直線被拋物線截得的弦長公式

求直線被拋物線截得的弦長公式與直線與橢圓或雙曲線截得弦長的求法相同.

3拋物線的焦點弦問題

拋物線的焦點弦有許多重要性質，在解題中應用廣泛.相關知識在本書第四十三講“利

用圓雉曲線的定義解題--化歸思想的運用”的【核心例題3】中有詳細介紹,本講不再重復.

二、精講與訓練

【核心例題1】

(1)設斜率為2的直線/與拋物線V=4x相交于兩點，P為拋物線上一點，已知

\AB\=3后NAPB的面積為30,求點P的坐標.

(2)在拋物線y2=4x上求一點尸，使點P到直線/:4x-3y+3=0的距離最短,并求

此時距離的最小值.

(3)已知拋物線C:V=4x,過點M(2,0)的直線交拋物線。于A,8兩點,若點P是

拋物線上A,B之間一點,當點P到直線AB的距離最大時,求VABP面積的最小值.

【解題策略】

本例3小問都是以拋物線V=4尤為載體研究直線與拋物線的位置關系，包含弦長、距

離、三角形面積、最值等問題.問題的求解常需引進一些變量，如果變量太多，則不利于問題

的解決，所以要學會控制變量的個數(shù)，是數(shù)學學習中一種基本素養(yǎng).本例中的點P若設為

P(X1,y),則引入兩個變量X,M,顯然會對解題帶末困難,若設為P,，yJ，則變量只有

一個外另外,題中涉及VA依面積時,需寫出面積的解析式，由于三角形的面積求法有多種

公式,選擇哪一種需細細思量,尋找一種對求最值相對方便的形式是上策.總之,解數(shù)學問題

過程中，吃透條件的內涵與外延,把握好數(shù)與形兩個方面,才能成為解題高手.

【解】

(1)設直線的方程為y=2x+加，點A(%,y),3(%，%).

九2

由《y二=2x+消去R,得、=工v+加，即yo2-2y+2m=0,

y=4x2

X+必=2,y%=2m,QAB|=3石，由弦長公式得Jl+^|yi-y2|=3V5,即y,-y2|=6,

1，(乂+>2)2-4乂%=36,解得加=Y，.?.直線的方程為y=2x—4，即2x-y-4=0?

2

片-%-4|

設點,為)，則點P到直線的距離△=,QVAPB的面積為

2

吟-%

-4|2

30,.」|A6|?d=30,即-X3A/5X

30.y（）—4|=20,

22

???尤―2%-8=±40.

若y；-2%-8=40,則y：-2%-48=0,即（%-8）（%+6）=0.，%=8或%=-6.

若需一2%-8=-40,則.?.其一2%+32=0,無實根.

故點P的坐標為(16,8)或(9,-6).

(2)Q點P在拋物線V=4%上，故設點P(R2f),點P到直線/的距離為d,則

產止,

,4—6r+3L4IZ3?3

d=---------------=-a一一,當f=-B寸，dmin

55416420

二點尸的坐標為(29,學3時，點尸到直線/的距離_最小，最小值為詬3.

V=4x,得

(3)設直線A3的方程為：x=my+2,由<

x=my+2

y2一4/篦y-8=（）,△=16m2+32=16（京+2）.

設4（%,兇）,3（移%），則%+%=4九,%=一8.

\AB\=J1+加21%-%|=J1+—,J[6（m2+2）=4j（]+〃?2）（m2+2）.

設直線/的方程為工=/2+%由＜）—4"得y2_4my-4，=0,由A=16〃Z2+16/=0

x=my+2

得1=-m2,

:NABP的面積S=，|期d=k4j(l+/〃2)(/+2)xj+加=2(W+

22VJl+m?

2)J/+2..4夜,當且僅當加=0時,等號成立，故VABP的面積最小值為4&.

【變式訓練1】

已知產為拋物線L:V=4無的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，直線4與。交與

45兩點,直線/2與。交于。,后兩點,則|4卸+|。國的最小值為().

A.16

B.14

C.12

D.10

【變式訓練2】

已知拋物線C的頂點為0(0,0),焦點為*0,1)

(1)求拋物線。的方程；

⑵如圖所示，過點廠作直線交推物線于A,B兩點,若直線OAOB分別交直線

/:丁=%一2于點加，N,求|MN|的最小值.

【核心例題2】

2

X9

(2020年高考數(shù)學浙江春第21題)如圖所示，已知橢圓。|：耳+丁=1,拋物線

G：y2=2Px(p>0),，點A是橢圓C,與拋物線C2的交點,過點4的直線I交橢圓G于點

交拋物線C2于點M(民M不同于A).

(1)若p=',求拋物線C2的焦點坐標.

(2)若存在不過原點的直線/使M為線段的中點,求p的最大值.

【解題策略】

第(1)問，由〃的值和拋物線的幾何性質即可求解;第(2)問，設出直線/的方程和點A

的坐標,將直線1的方程分別與橢圓C和拋物線C2的方程聯(lián)立,得到關于m,p的等式,再利

用基本不等式即可求得p的最大值.

【解】

1(1

(1)由〃=上得孰的焦點坐標是二,0.

16132J

(2)由題意可設直線/:%=紗+，(加工0,1工0),點

無2

將直線’的方程代人橢圓G

二點M的縱坐標yM=-一將直線/的方程代入拋物線C,：V=2p光，得

m~+2

2P(1+2

:

r-2pmy_2p/=0,yoyM=-2pt,解得％=-------,因此玉）

mm2

由&"+=1得4=+2/n+—..160,上當用==。時,

〃取到

2p-m)\m)5

目i宿M

最大值一^.

40

【變式訓練】

如圖所示，已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C:：/=2px上存在不同的兩點

A8滿足PA,PB的中點均在拋物線上

（1）設A3的中點為證明：垂直于y軸.

（2）若P是半橢圓f+?=1甕＜0）上的動點,求VFA5面積的取值范圍.

【核心例題3】

在平面直角坐標系中，。為坐標原點.已知拋物線C:：/=2p;c的準線方程為x=-1,

ULKlUUU1

有加（1,一3）,N（5,1）,若動點P滿足NP=tNM,且點P的軌跡與拋物線C交于A5兩點.

UUUIU

（1）證明：OA_LOB.

（2）在x軸上是否存在一點。（〃?,0）（加彳0）,使得過點。的直線/交拋物線。于。，E兩

點，且以線段DE為直徑的圓都過原點?若存在，求出以線段DE為直徑的圓的圓心的軌跡方

程;若不存在，說明理由.

【解題策略】

第（1）問，先由拋物線的性質確定拋物線方程,再根據(jù)向量共線確定點P的軌跡方程,聯(lián)

立點P的軌跡方程和拋物線C的方程,通過消元得到關于x或y的一元二次方程，由根與系

UliUUU

數(shù)關系證明xAxB+yAyB=0即可得QA_L03.第（2）問是探索存在性問題,請注意題設中

的“都”字,詁明以OE為直徑的圓是動圓，所以才有動圓的圓心的軌跡方程存在與否的討

論,可先假設符合條件的點。存在,設出直線方程（含雙參數(shù)），聯(lián)立拋物線方程得方程組,再

利用0DJ_0E求出一個參數(shù)的值,使圓心坐標用另一參數(shù)表示，消去參數(shù)求出動點的軌跡

方程,若上述目標無法達到,則軌跡方程不存在.

（1）證明：由拋物線C:丁=2〃龍的準線方程為％=—1,得物物線C的方程為丁=4x,由

UUUUUU1

NP=tNM,知點尸的軌跡是過M,N兩點的直線.設尸（x,y）,則P點的軌跡方程是過

M,N兩點的直線.

設P（x,y）,則P點的軌跡方程是y+3=1'即y=x—4.

5—1

V-JQ—4

聯(lián)立2得V-12x+16=0,設4（4,力）,3（/，力）

y=4x

則與乙=16,5+%=12,以為=（4-4）（/一4）=一4&+/）+16=-16,

LILILILIUUUUUU

/.OA-OB=xAxB+yAyR=0./.OA_LOB

（2）假設存在點2（m,0）（m豐0），使得過點。的直線/交拋物線于D,E兩點，且以線段

為直徑的圓都過原點.

設0（%,y）,石（9,必），由題意知直線I的斜率不為零,故可設直線I的方程為x=6+加，

代人y?=4x得y2-4ky-4m=0,

則△=16（22+m）＞0,即攵之+機＞0,①y+y2=4