相似原理與量綱分析

《工程流體力學(xué)》

電子教案動力系4 相似理論與模型實(shí)驗4.1 相似理論與模型實(shí)驗4.2 量綱分析在相似的空間中，表述流動現(xiàn)象的各物理量的場相似。

1.如何建立模型；

2.試驗中測量參數(shù)，如何整理試驗數(shù)據(jù)；

3.試驗結(jié)果如何推廣應(yīng)用。4.1 相似理論與模型實(shí)驗三類表征流動過程的物理量：流場的幾何形狀流體的運(yùn)動狀態(tài)流體的動力性質(zhì)模型與原形的全部對應(yīng)線形長度的比例相等,對應(yīng)角相等。4.1.1幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似

長度比例尺面積比例尺體積比例尺

模型與原形的流場所有對應(yīng)點(diǎn)上、對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。速度比例尺加速度比例尺時間比例尺4.1.1幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似

4.1 相似理論與模型實(shí)驗

模型與原形的流場所有對應(yīng)點(diǎn)上、對應(yīng)時刻的流速方向相同而流速大小的比例相等。體積流量比例尺運(yùn)動粘度比例尺角速度比例尺4.1.1幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似

4.1 相似理論與模型實(shí)驗

模型與原型的流場所有對應(yīng)點(diǎn)作用在流體微團(tuán)上的各種力為同名力，彼此方向相同，而它們大小的比例相等。力的比例尺——總壓力——切向力——重力——慣性力4.1.1幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似

4.1 相似理論與模型實(shí)驗幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似三者間的關(guān)系

動力相似是決定運(yùn)動相似的主導(dǎo)因素。

幾何相似、運(yùn)動相似和動力相似是模型流場和原型流場相似的重要特征。

幾何相似是流動力學(xué)相似的前提條件。

運(yùn)動相似是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)。4.1.1幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似

4.1 相似理論與模型實(shí)驗長度比例尺速度比例尺密度比例尺常選取ρ、l、v的比例尺為為基本比例尺

4.1.1幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似

4.1 相似理論與模型實(shí)驗4.1.2動力相似準(zhǔn)則——牛頓數(shù)

模型與原型的流場動力相似，它們的牛頓數(shù)必定相等。4.1 相似理論與模型實(shí)驗

模型與原型的流場動力相似，則作用在流場上的各種性質(zhì)的力（如重力、粘滯力、總壓力、彈性力、表面力等）都要服從牛頓相似準(zhǔn)則，即各單項力作用下的相似準(zhǔn)則）。重力相似準(zhǔn)則粘滯力相似準(zhǔn)則表面力相似準(zhǔn)則非定常性相似準(zhǔn)則彈性力相似準(zhǔn)則壓力相似準(zhǔn)則4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型實(shí)驗1.重力相似準(zhǔn)則在重力作用下相似的流動，其重力場相似。代入

Fr——弗勞德數(shù)，慣性力與重力的比值。4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型實(shí)驗2.粘滯力相似準(zhǔn)則在粘滯力作用下相似的流動，其粘滯力場相似。代入

Re——雷諾數(shù)，慣性力與粘滯力的比值。4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型實(shí)驗3.壓力相似準(zhǔn)則在壓力作用下相似的流動，其壓力場相似。代入

Eu——?dú)W拉數(shù)，總壓力與慣性力的比值。4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型實(shí)驗

模型與原型的流場動力相似，則作用在流場上的各種性質(zhì)的力（如重力、粘滯力、總壓力、彈性力、表面力等）都要服從牛頓相似準(zhǔn)則，即各單項力作用下的相似準(zhǔn)則）。重力相似準(zhǔn)則粘滯力相似準(zhǔn)則表面力相似準(zhǔn)則非定常性相似準(zhǔn)則彈性力相似準(zhǔn)則壓力相似準(zhǔn)則4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型實(shí)驗4.1.3相似定理相似第一定理：相似的的現(xiàn)象有相同的相似準(zhǔn)則數(shù)。1.有相同的微分方程。2.用來描述現(xiàn)象的一切物理量的場均是相似的，它們的比值稱為相似比例尺。3.相似的物理現(xiàn)象必然發(fā)生在相似的空間中，即幾何相似。4.各物理量的比值不能是任意的，它們之間的約束關(guān)系表現(xiàn)為某些相似比例尺組成的相似指標(biāo)等于1。4.1 相似理論與模型實(shí)驗4.1.3相似定理相似第二定理：同種類現(xiàn)象，若單值性條件相似，而且由單值條件組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等，則該現(xiàn)象相似。1.描述現(xiàn)象的微分方程相同。2.單值性條件相似。幾何條件、物性條件、邊界條件、初始條件。3.由單值條件中的物理量所組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等。4.1 相似理論與模型實(shí)驗4.1.3相似定理相似第三定理(π定理)：

定理（泊金漢定理）：如果一個物理過程涉及到n個物理量和m個基本量綱，則這個物理過程可以由n個物理量組成的n-m個無量綱量（相似準(zhǔn)則數(shù)

i）的函數(shù)關(guān)系來描述。推論：彼此相似的物理現(xiàn)象有相同的準(zhǔn)則方程。4.1 相似理論與模型實(shí)驗1.根據(jù)單值條件相似和相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型，選擇模型中的流動介質(zhì)。3.按相似準(zhǔn)則及其關(guān)系(準(zhǔn)則方程)表示的實(shí)驗結(jié)果，可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去。2.試驗過程中應(yīng)測定相似準(zhǔn)則數(shù)包含的一切物理量，并整理成相似準(zhǔn)則數(shù)。4.1.4模型實(shí)驗4.1 相似理論與模型試驗?zāi)Ｐ蛯?shí)驗必須遵守的原則：4.1.5近似的模型試驗

在設(shè)計模型和組織模型試驗時，在與流動過程有關(guān)的定性準(zhǔn)則中只考慮那些對流動過程起主導(dǎo)作用的定性準(zhǔn)則，而忽略那些對過程影響較小的定性準(zhǔn)則，以達(dá)到模型流動與原型流動的近似相似。4.1 相似理論與模型試驗§4.2量綱分析4.2.1物理方程量綱一致性原則量綱：物理量單位的種類，用符號dim表示。基本量綱：長度（L）、時間（T）、質(zhì)量（M）、溫度（

）導(dǎo)出量綱：速度dimv=LT-1、加速度dima=LT-2

、密度dim

=ML-3

力dimF=MLT-2

、壓強(qiáng)dimp=ML-1T-2

同一物理方程中的各項必須具有相同的單位，即任何一個物理方程中各項的量綱必定相同，這一原理稱為物理方程量綱一致性原則無量綱的物理方程，是用相似準(zhǔn)則數(shù)表示的物理方程，稱為準(zhǔn)則方程式?！?.2量綱分析4.2.1物理方程量綱一致性原則4.2.2量綱分析法應(yīng)用一

定理（泊金漢定理）：如果一個物理過程涉及到n個物理量和m個基本量綱，則這個物理過程可以由n個物理量組成的n-m個無量綱量（相似準(zhǔn)則數(shù)

i）的函數(shù)關(guān)系來描述?！?.2量綱分析無量綱量數(shù)的具體求法：1.在n個物理量中任選m個作為獨(dú)立變量，但這m個獨(dú)立變量的量綱不能相同，而且它們包含有n個物理量所涉及的全部基本量綱。2.將剩余的(n-m)個量綱分別用所選定的m個獨(dú)立變量的乘冪組合來表示，而相差的倍數(shù)就是相應(yīng)的無量綱數(shù)。即：4.2.2

定理（泊金漢定理）§4.2量綱分析4.2.3量綱分析法應(yīng)用二

瑞利法：用定性物理量x1、x2、….、xn的某種冪次之積的函數(shù)來表示被決定的物理量y。k為無量綱系數(shù)，由試驗確定。a1、a2、….、an為待定指數(shù)，根據(jù)量綱一致性原則求出。§4.2量綱分析例4-1實(shí)驗發(fā)現(xiàn)不可壓縮流體在管道內(nèi)流動時的壓力損失

p主要與速度v，密度

，粘度

，管徑d，管長l和壁面粗糙度

有關(guān)。試將這些物理量的關(guān)系用無量綱方程來表示。解描述這一流動的定性方程可寫成選取密度ρ［ML-3］速度v［LT-1］和管徑d［L］作為3個獨(dú)立變量。Δp的量綱為［ML-1T-2］，的量綱為：[(ML-3)a·(LT-1)b·Lc]=[MaL(-3a+b+c)T-b]所以有［ML-1T-2］＝［MaL(-3a+b+c)T-b］無量綱數(shù)［ML-1T-2］＝［MaL(-3a+b+c)T-b］a=1，b=2，c=0。例4-1例4-1[例2]

實(shí)驗發(fā)現(xiàn)，球形物體在粘性流體中運(yùn)動所受阻力FD與球體直徑d、球體運(yùn)動速度v、流體的密度ρ和動力粘度μ有關(guān)，試用π定理量綱分析法建立FD的公式結(jié)構(gòu)。[解]選基本物理量ρ、v、d，根據(jù)π定理，上式可變?yōu)槠渲屑俣▽Ζ?：代入，并就FD解出，可得解上述三元一次方程組得：其中同理：式中為繞流阻力系數(shù)，由實(shí)驗確定。[例1]

已知管流的特征流速vc與流體的密度ρ、動力粘度μ和管徑d有關(guān)，試用瑞利量綱分析法建立vc的公式結(jié)構(gòu)。[解]式中k為無量綱常數(shù)。將各物理量的量綱代入指數(shù)方程，則得相應(yīng)的量綱方程假定根據(jù)量綱齊次性原理，有解上述三元一次方程組得：故得：其中常數(shù)k需由實(shí)驗確定。瑞利法一般用于影響流動的參數(shù)個數(shù)不超過3時較為方便?！?.1流動的力學(xué)相似五、基本比例尺、其它動力學(xué)比例尺（續(xù)）

用基本比例尺表示的其它動力學(xué)比例尺流量的比例尺力矩（功、能）比例尺壓強(qiáng)（應(yīng)力）比例尺功率比例尺動力粘度比例尺4.彈性力相似準(zhǔn)則對于可壓縮流的模型試驗，由壓縮引起的彈性力場相似。代入

Ca——柯西數(shù)，慣性力與彈性力的比值。4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型試驗4.彈性力相似準(zhǔn)則（續(xù)）彈性力相似準(zhǔn)則（氣體）

Ma——馬赫數(shù)，慣性力與彈性力的比值。對于氣體滿足（c為聲速），4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型試驗5.非定常性相似準(zhǔn)則

對于非定常流動的模型試驗，模型與原型的流動隨時間的變化必相似。代入

Sr——

斯特勞哈爾數(shù)，當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值。4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型試驗6.表面力相似準(zhǔn)則在表面張力作用下相似的流動，其表面張力分布相似。代入

We——韋伯?dāng)?shù)，慣性力與張力的比值。4.1.2動力相似準(zhǔn)則4.1 相似理論與模型試驗1.根據(jù)單值條件相似和相似準(zhǔn)則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型，選擇模型中的流動介質(zhì)。3.按相似準(zhǔn)則數(shù)整理的試驗結(jié)果，可推廣應(yīng)用到原型及其他相似流動中去。2.試驗過程中應(yīng)測定相似準(zhǔn)則數(shù)包含的一切物理量，并整理成相似準(zhǔn)則數(shù)。4.1.3相似定理4.1 相似理論與模型試驗?zāi)Ｐ蛯?shí)驗