3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（5大題型）（原卷版）

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一、拋物線的定義1、定義：平面內(nèi)到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）的距離相等的點的軌跡.2、焦點：定點F叫作拋物線的焦點.3、準(zhǔn)線：直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線.4、集合表示：.5、注意事項：（1）定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實質(zhì)．二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程開口方向向右向左向上向下三、由拋物線方程求焦點與準(zhǔn)線方程的基本方法1、已知拋物線方程求焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程時，一般先將所給方程式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，由焦點方程準(zhǔn)確得到參數(shù)，從而得焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，要注意；2、焦點所在坐標(biāo)軸由標(biāo)準(zhǔn)方程的一次項確定，系數(shù)為正，焦點在正半軸；系數(shù)為負，焦點在負半軸。四、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1、直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)；2、待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定焦參數(shù).當(dāng)焦點位置不確定時，應(yīng)分類討論或設(shè)拋物線方程為或；注意：（1）已知焦點坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；（2）已知拋物線過某點不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定。題型一對拋物線定義的理解【例1】（2023·河北·高二校聯(lián)考期中）若為拋物線上一點，且到焦點的距離為9，則到軸的距離為（）A．7B．10C．8D．9【變式11】（2023·江西·高二浮梁縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)拋物線：（）的焦點為，若點在上，則（）A．B．C．D．【變式12】（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考期中）已知F是拋物線C：的焦點，A，B是拋物線C上的兩點，，則線段AB的中點到x軸的距離為（）A．3B．4C．5D．6【變式13】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谥校┮阎獎狱cP(x，y)滿足，則動點P的軌跡是（）A．直線B．橢圓C．雙曲線D．拋物線題型二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2023·廣西梧州·高二校聯(lián)考期中）準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【變式21】（2023秋·湖南株洲·高二?？茧A段練習(xí)）焦點坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【變式22】（2023·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知拋物線的焦點在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式23】以雙曲線的左焦點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.題型三與拋物線有關(guān)的軌跡方程【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點且與直線相切的動圓圓心的軌跡方程為．【變式31】（2023·江蘇·高二南京外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）若動點到點的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．【變式32】（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點為，點A在直線l上，動點P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且，求P點的軌跡方程，并說明軌跡方程的形狀．【變式33】（2023·高二課時練習(xí)）已知點P是曲線上任意一點，，連接PA并延長至Q，使得，求動點Q的軌跡方程．題型四拋物線中距離和差的最值【例4】（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）設(shè)拋物線上一點到軸的距離為，點為圓任一點，則的最小值為（）A．B．2C．3D．4【變式41】（2023·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知點是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（）A．3B．4C．5D．6【變式42】（2023·江蘇·高二鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為AB的中點，P為C上一點，則的最小值為（）A．B．C．D．【變式43】（2023·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）已知拋物線C：的焦點為F，O為原點，點M是拋物線C準(zhǔn)線上的一動點，點A在拋物線C上，且，則的最小值為.題型五拋物線在實際問題中的應(yīng)用【例5】（2023·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）石城永寧橋，省級文物保護單位，位于江西省贛州市石城縣高田鎮(zhèn).永寧橋建筑風(fēng)格獨特，是一座樓閣式拋物線形石拱橋.當(dāng)石拱橋拱頂離水面時，水面寬，當(dāng)水面下降時，水面的寬度為（）A．7mB．7.5mC．8mD．【變式51】（2023·江蘇·高二南京市第五高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有，已知行車道總寬度，那么車輛通過隧道的限制高度為（

）A．B．C．D．【變式52】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考二模）南宋晚期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖1所示，忽略杯盞的厚度，這只杯盞的軸截面如圖2所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A．B．C．D．【變式53】（2022·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖1，太陽灶是一種將太陽光反射至一點用來加熱水或食物的設(shè)備，上面裝有拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分（如圖2），盛水或食物的容器放在拋物線的焦點