專題11 等腰三角形中的分類討論 （原卷版）

專題11等腰三角形中的分類討論【知識(shí)點(diǎn)睛】在等腰三角形中，沒有明確指明邊是腰還是底時(shí)，要進(jìn)行分類討論，且求出未知邊的長(zhǎng)后，一定要看這三邊能否組成三角形；沒有明確指明角是頂角或底角時(shí)，也要進(jìn)行分類討論設(shè)等腰三角形中有一個(gè)角為α?xí)r對(duì)應(yīng)結(jié)論當(dāng)α為頂角時(shí)底角=當(dāng)α為直角或鈍角時(shí)不需要分類討論，該角必為頂角當(dāng)α為銳角時(shí)α可以為頂角；也可以為底角當(dāng)?shù)妊切蔚囊粋€(gè)外角為α?xí)r對(duì)應(yīng)結(jié)論若α為銳角、直角α必為頂角的外角若α為鈍角α可以是頂角的外角，也可以是底角的外角動(dòng)態(tài)環(huán)境下的等腰三角形存在性問題【類題訓(xùn)練】1．已知△ABC是等腰三角形，它的周長(zhǎng)為20cm，一條邊長(zhǎng)6cm，那么腰長(zhǎng)是cm．2．（1）等腰三角形中有一個(gè)角是70°，則它的頂角是．（2）等腰三角形中有一個(gè)角是100°，則它的另兩個(gè)角是．（3）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，它一腰上的高與底邊所夾的度數(shù)為．3．如果等腰三角形的周長(zhǎng)是35cm，一腰上中線把三角形分成兩個(gè)三角形，其周長(zhǎng)之差是4cm，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是．4．等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為．5．如圖，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)6．用一根長(zhǎng)為21厘米的鐵絲圍成一個(gè)三條邊長(zhǎng)均為整數(shù)厘米的等腰三角形，則方案的種數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．87．如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射線OA上的點(diǎn)E滿足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度數(shù)為．8．如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．9．如圖，是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開（只允許剪一次），不能夠得到兩個(gè)等腰三角形紙片的是（）A． B． C． D．10．已知△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．6條 C．7條 D．8條11．如圖，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射線BA上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，則∠ADC的度數(shù)為．12．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P沿△ABC的邊從A→B→C運(yùn)動(dòng)，以AP為邊作等邊△APQ，且點(diǎn)Q在直線AB下方，當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到使△BPQ是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，過(guò)點(diǎn)C的直線能將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，則∠A的度數(shù)為．14．已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線CB上，且ED＝EC，若AE＝6，則CD的長(zhǎng)為．15．△ABC的高AD、BE所在的直線交于點(diǎn)M，若BM＝AC，求∠ABC的度數(shù)．16．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作直線l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的長(zhǎng)．17．如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點(diǎn)D在BC所在的直線上，點(diǎn)E在射線AC上，且AD＝AE，連接DE．（1）如圖①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．18.定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）圖①是頂角為36°的等腰三角形，這個(gè)三角形的三分線已經(jīng)畫出，請(qǐng)你在圖②中用不同于圖①的方法畫出頂角為36°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）（2）圖③是頂角為45°的等腰三角形，請(qǐng)你在圖③中畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，設(shè)∠C＝x°，則x所有可能的值為．19．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于點(diǎn)P，交DC的延長(zhǎng)