不等式性質(zhì)和基本不等式

不等關(guān)系不等式一元二次不等式第1講(1)對稱性：a>b?b<a,(3)可加性：a>b?.a+c>b+c推論：同向不等式可加.a>b,c>d=a+c>b+d(4)可乘性：a>b,c>0=ac>bc,a>b,c<0=ac<bc推論1:同向(正)可乘：a>b>0,c>d>0≥ac>bd推論2:可乘方(正):a>b>0≥a*>b(n∈N*,n≥2)第4講基本不等式a,b∈R,則a2+b2≥2ab;2求最值：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立.考點1利用基本不等式求最值(或取值范圍)題型1.當(dāng)積ab為定值時，求和a+b最小值構(gòu)造均值不等式∴【名師指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即(1)要求各數(shù)均為正數(shù)；(2)要求“和”或“積”為定值；(3)要注意是否具備等號成立的條件.題型2.當(dāng)和a+b為定值時，求積ab最大值例2.已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+Igy的最大值及此時x、y的值.【解題思路】這是條件最值問題，但目標(biāo)式與已知條件的聯(lián)系較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn).應(yīng)將解析∵x>0,y>0,3x+4y=12,解得【名師指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一.考點2利用基本不等式證明題型：用綜合法證明簡單的不等式【解題思路】因為是輪換對稱不等式，可考慮由局部證整體.[解析]∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,相加整理得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.【名師指引】綜合法證明不等式常用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一結(jié)論，運用時要結(jié)合題目條件，有時要適當(dāng)變形.例2.已知a,b為正數(shù)，求證：【解題思路】觀察結(jié)構(gòu)用基本不等式加以證明.兩式相加，得.3.(廣東省梅州、揭陽兩市四校2008屆高三第三次聯(lián)考)設(shè)x,y均為正實數(shù)，且解析：由可化為xy=8+x+y,∵x,y均為正實數(shù)考點1:比較法兩個數(shù)的大小與【解題思路】作差整理，定符號解析：【名師指引】作差比較法的步驟是：1、作差；2、變形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；3、判斷符號；4、作出結(jié)論.考點2不等式的性質(zhì)題型：驗證或推導(dǎo)簡單不等式的有關(guān)結(jié)論【解題思路】以不等式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，進行推導(dǎo)∴(m—a)-(n-b)=(m-n)+(b-a)>0→m-a>n-b;證法二：∵a<b∴-a>-b又∵m>n∴m+(一a)>n+(一b)例2.已知下列三個不等式①ab>0;②;③bc>ad,以其中兩個作為條件，余下一個作結(jié)論，則可組成幾個正確命題.【解題思路】以比較法為基礎(chǔ)進行變形得②成立，∴①③→②.(2)若ab>0,,則bc>ad,∴①②=③.(3)若①②一③.綜上所述可組成3個正確命題.【名師指引】注意運用性質(zhì)時須滿足的條件，如a>b意從c>0,c=0,c<0三個方面討論.時，判斷ac與bc的大小關(guān)系應(yīng)注考點3不等式性質(zhì)綜合應(yīng)用題型1.用比較法證函數(shù)的單調(diào)性于f(2)=1,所以2=1+1=f(2)解得基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練A.ab>acB.c(b-a)>0C.cb2<ab2解析：由3.老有()