4.3.1 等比數(shù)列的概念（八大題型）

4．3．1等比數(shù)列的概念【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列的判斷題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用題型三：等比數(shù)列的證明題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè)；③隱含條件：任一項(xiàng)且；“”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件；④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列．不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；⑤證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)．利用這種形式來(lái)判定，就便于操作了．知識(shí)點(diǎn)二、等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)、、成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為與的等比中項(xiàng)．其中．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)與同號(hào)即時(shí)，與才有等比中項(xiàng)，且與有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng)．當(dāng)與異號(hào)或有一個(gè)為零即時(shí)，與沒(méi)有等比中項(xiàng)．②任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)與確定時(shí)，等差中項(xiàng)唯一．但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)與有等比中項(xiàng)時(shí)，等比中項(xiàng)不唯一．③當(dāng)時(shí)，、、成等比數(shù)列．④是、、成等比數(shù)列的必要不充分條件．知識(shí)點(diǎn)三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：推導(dǎo)過(guò)程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：∴；；；……當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立∴歸納得出：（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：，，，……，把以上個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡(jiǎn)得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公比完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了．②通項(xiàng)公式中共涉及、、、四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程，便可求出第四個(gè)量．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣已知等比數(shù)列中，第項(xiàng)為，公比為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公比來(lái)表示，通項(xiàng)公式可以看成是時(shí)的特殊情況．知識(shí)點(diǎn)四、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比為①若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)．②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為．③若，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則、、（是常數(shù)且）、、（，是常數(shù)）、、也是等比數(shù)列；④連續(xù)項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列．即，，，…成等比數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)五、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則：（1）當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列．它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線（）上的一些孤立的點(diǎn)．①當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；②當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；③當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；④當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列．（3）當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)詮釋：常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運(yùn)用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項(xiàng)公式求解；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：適應(yīng)面廣，入手簡(jiǎn)單，思路清晰，但有時(shí)運(yùn)算稍繁．2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量．【典型例題】題型一：等比數(shù)列的判斷例1．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（

）．A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列【答案】B【解析】設(shè)新數(shù)列為，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，故，故，而，故為等比數(shù)列且公比為，故選：B.例2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等比數(shù)列的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)于①，，數(shù)列為等比數(shù)列，①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，數(shù)列為等比數(shù)列，③正確；對(duì)于④，，當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，④錯(cuò)誤.故選：B.例3．（2023·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（

）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列【答案】C【解析】數(shù)列1，1，1，…，1，…是公差為0的等差數(shù)列，也是公比為1的等比數(shù)列.故選：C.變式1．（2023·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）如果數(shù)列是等比數(shù)列，那么（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】C【解析】對(duì)于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以為非零常數(shù)，則數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于ABD，取，則，數(shù)列是等比數(shù)列，則，，，故，，，所以，則數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤.而，，，顯然，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤.而，，，則，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：C.變式2．（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列{}中，“”是“{}是公比為2的等比數(shù)列”的（

）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對(duì)數(shù)列{}，，若，則可得，此時(shí){}不是公比為2的等比數(shù)列；若{}是公比為2的等比數(shù)列，則，即，故”是“{}是公比為2的等比數(shù)列”的必要而不充分條件，故選：B變式3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知是公比不為1的等比數(shù)列，則以下數(shù)列：①；②；③；④；⑤，其中等比數(shù)列的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，對(duì)于①，因?yàn)椴皇浅?shù)，所以不是等比數(shù)列，故①不正確；對(duì)于②，為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故②正確；對(duì)于③，為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故③正確；對(duì)于④，為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故④正確；對(duì)于⑤，為非零常數(shù)，所以是等比數(shù)列，故⑤正確.故選：D【方法技巧與總結(jié)】一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【解析】（1）等比數(shù)列中，，，則.（2）等比數(shù)列中，，，，由，可得.（3）等比數(shù)列中，，，由，可得.（4）等比數(shù)列中，，，由，可得.例5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列滿足：，，公比．求的通項(xiàng)公式．【解析】由，且，則解得，，或，，又公比，則數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，，則，得，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．例6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：.求的通項(xiàng)公式；【解析】由已知，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求和q；(3)若，，求.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，所以，（2）因?yàn)椋?，所以，解得，?）因?yàn)椋?，所以，由題意可知，所以，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上或變式5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列．(1)若，，求的通項(xiàng)公式；(2)若，，，求n．【解析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知，，兩式相除得，即．所以．因此，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）因?yàn)?，，所以．又，因此，即．變?．（2023·西藏拉薩·高二校考期中）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求.【解析】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，，所以（2）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)公比為，所以，故.【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個(gè)量，，，，只要知道其中任意三個(gè)就能求出另外一個(gè)，在這四個(gè)量中，和是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解．題型三：等比數(shù)列的證明例7．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，

(1)求(2)若，求證數(shù)列是等比數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】（1）取，則.（2）∵，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，∴（3）∴∴例8．（2023·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)．該企業(yè)第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了．預(yù)計(jì)以后每年年增長(zhǎng)率與第一年的相同，公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為萬(wàn)元．(1)用表示與，并寫出與的關(guān)系式；(2)求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列，并說(shuō)明的現(xiàn)實(shí)意義；(3)若公司希望經(jīng)過(guò)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年上繳資金的近似值（取整數(shù)）．【解析】（1）依題意，，，.（2）由（1）知，，則，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，才能保證每年投入生產(chǎn)高于萬(wàn)元.（3）由（2）知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此，即，由，得，解得，所以企業(yè)每年上繳資金約為萬(wàn)元.例9．（2023·福建福州·高二?？计谥校┰跀?shù)列中，已知，，記為的前n項(xiàng)和，，．(1)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.變式7．（2023·北京豐臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)數(shù)列滿足，證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1），，，，因?yàn)?，故，．是首?xiàng)，公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，又，所以，所以．故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．變式8．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列中，，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.【解析】（1）由，可知，，所以可得，即，而，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.（2）不等式對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立.設(shè)，由，當(dāng)時(shí)，，即，即，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以最大，，所以，故的最小值為.變式9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，，且是以3為公比的等比數(shù)列，記．(1)求、、、的值；(2)求證：是等比數(shù)列．【解析】（1）由數(shù)列中，，，且數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，可得，則，解得，又由，解得，同理可得.（2）證明：由，可得，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)分別為，公比為，所以，因?yàn)?，所以且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.變式10．（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可求得，所以，即.【方法技巧與總結(jié)】1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列．4、構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)關(guān)系時(shí)，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把與對(duì)照，求出即可．題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用例10．（2023·新疆巴音郭楞·高二八一中學(xué)?？计谥校?shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（

）A．， B．，2 C．，2 D．，【答案】D【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)的定義可知，1與4的等差中項(xiàng)為；根據(jù)等比中項(xiàng)的定義可得，1與4的等比中項(xiàng)G滿足G2＝1×4＝4，G＝±2.故選：D.例11．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知所以與的等比中項(xiàng)是，故選：A例12．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，且數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，.故選：B.變式11．（2023·陜西西安·高二?？计谥校┤魹閷?shí)數(shù)，數(shù)列﹣1，，﹣25是等比數(shù)列，則的值為（

）A．5 B．﹣5 C． D．﹣10【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)該數(shù)列的公比為q，則有，聯(lián)立可得：.故選：B．變式12．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期末）已知三個(gè)數(shù)成等比，且1和4為其中的兩數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】三個(gè)數(shù)成等比，且1和4為其中的兩數(shù)則.若為1、4其中一個(gè).則或，若不為1、4其中一個(gè)則,解得，的最小值為.故選：B.變式13．（2023·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，，，是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去得到的新數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】根據(jù)題意，成等比數(shù)列，則，則，則.故選：B．變式14．（2023·上海普陀·高二曹楊二中?？计谥校┮阎?，，，四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，4，，1三個(gè)正實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，，四個(gè)實(shí)數(shù)所成等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，又為正實(shí)數(shù)，故.故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）由等比中項(xiàng)的定義可知，所以只有a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng)．（2）在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．（3）a，G，b成等比數(shù)列等價(jià)于．題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校?023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國(guó)家、92個(gè)國(guó)際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國(guó)與共建“一帶一路”國(guó)家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長(zhǎng)率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為萬(wàn)億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（

）．參考數(shù)據(jù)：A．萬(wàn)億 B．萬(wàn)億 C．萬(wàn)億 D．萬(wàn)億【答案】B【解析】依題意，從2013年到2022年的每年進(jìn)出口累計(jì)總額依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，其中，公比，所以2022年進(jìn)出口累計(jì)總額為（萬(wàn)億）.故選：B例14．（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂(lè)律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計(jì)算出這個(gè)比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個(gè)單音的頻率為，則第四個(gè)單音的頻率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)可得：依次得到的十三個(gè)單音構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，第四個(gè)單音的頻率為.故選：B.例15．（2023·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）取一條長(zhǎng)度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留下剩下的兩段；再將剩下的兩段分別分割三等分，各去掉中間一段，留剩下的更短的四段；…；將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，由于在不斷分割舍棄過(guò)程中，所形成的線段數(shù)目越來(lái)越多，長(zhǎng)度越來(lái)越小，在極限的情況下，得到一個(gè)離散的點(diǎn)集，稱為康托爾三分集.若在第n次操作中去掉的線段長(zhǎng)度之和不小于，則n的最大值為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】第一次操作去掉的線段長(zhǎng)度為，第二次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，第三次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，…，第n次操作去掉的線段長(zhǎng)度之和為，由題意知，，則，則，因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)為增函數(shù)，又，，所以，故選：B.變式15．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）某種細(xì)菌在生長(zhǎng)過(guò)程中，每分鐘分裂一次（由一個(gè)分裂為兩個(gè)），經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，此細(xì)菌可由一個(gè)分裂成（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【解析】依題意，分鐘后細(xì)菌的個(gè)數(shù)為個(gè)，分鐘后，細(xì)菌的個(gè)數(shù)為個(gè)，每過(guò)分鐘細(xì)菌數(shù)量變?yōu)樵瓉?lái)的倍，所以小時(shí)后，即為分鐘后，細(xì)菌的個(gè)數(shù)應(yīng)為個(gè).故選：D.變式16．（2023·安徽·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）某高科技企業(yè)為一科技項(xiàng)目注入啟動(dòng)資金1000萬(wàn)元作為項(xiàng)目資金，已知每年可獲利20%，但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需要從利潤(rùn)中取出100萬(wàn)元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率，設(shè)經(jīng)過(guò)年后，該項(xiàng)目資金達(dá)到或超過(guò)翻一番（即為原來(lái)的2倍）的目標(biāo)，則的最小值為（，）（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由題意設(shè)經(jīng)過(guò)年后，該項(xiàng)目資金為萬(wàn)元，則，且，得，得，所以令，得，所以至少要經(jīng)過(guò)5年，項(xiàng)目資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻一番的目標(biāo).故選：B【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問(wèn)題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問(wèn)題．題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用例16．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，公比，若，則______．【答案】【解析】等比數(shù)列中，公比，所以．故答案為：．例17．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以令，則，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故．故答案為：．例18．（2023·廣西·平桂高中高二階段練習(xí)）數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則___________．【答案】16【解析】設(shè)的公比為q，則，∴，∴﹒故答案為：16．變式17．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則______．【答案】47【解析】∵，∴數(shù)列是公比的等比數(shù)列，∴，∴．故答案為：47變式18．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，存在正整數(shù)m，有，，則＝________．【答案】1536【解析】由題意知q5＝＝8，則．故答案為：1536【方法技巧與總結(jié)】（1）應(yīng)用，可以憑借任意已知項(xiàng)和公比直接寫出通項(xiàng)公式，不必再求．（2）等比數(shù)列的單調(diào)性由，共同確定，但只要單調(diào)，必有．題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)等比數(shù)列，的前項(xiàng)積分別為，，若，則.【答案】【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列，的前項(xiàng)積分別為，，則，，故．故答案為：.例20．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┰谡?xiàng)等比數(shù)列中，若，則．【答案】【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，因?yàn)?，可得，則.故答案為：.例21．（2023·江西南昌·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則．【答案】【解析】由為等比數(shù)列，則，又，則，即，所以．故答案為：．變式19．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】【解析】∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，故，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有：且，故．故答案為：變式20．（2023·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)一中?？茧A段練習(xí)）若為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且，為等比數(shù)列，，則的值為.【答案】/【解析】∵為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，且由性質(zhì)知，∴，解得：.∵為等比數(shù)列，∴由性質(zhì)知，，解得：.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：.變式21．（2023·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列為等比數(shù)列，，，．【答案】【解析】因?yàn)?，所?又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，所以，所以設(shè)①則②由①+②得：所以故答案為：變式22．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若等比數(shù)列滿足，，則．【答案】112【解析】，故，解得，故．故答案為：112變式23．（2023·云南昆明·昆明一中?？家荒＃┮阎缺葦?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，，，則的公比為.【答案】【解析】由等比數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)且的各項(xiàng)都是正數(shù)，可求得，再由，求得答案.因?yàn)闉楦黜?xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，所以由，得且.，則故答案為：變式24．（2023·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列中,則.【答案】16【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q＞0)，則，所以.故答案為：16．變式25．（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，若，，則.【答案】64【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，可得，所?故答案為：64.變式26．（2023·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若是中唯一的最小項(xiàng)，則滿足條件的的通項(xiàng)公式可以是（寫出一個(gè)即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】令，則數(shù)列單調(diào)遞增，且，，，，，，所以，，，，即，當(dāng)時(shí)，即，所以，所以是中唯一的最小項(xiàng)，故符合題意.故答案為：（答案不唯一）變式27．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列是等比數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，，，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，則的最大值為．【答案】/【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，，所以，，即，解得（舍去），所以，所以是遞減數(shù)列，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最大值為，故答案為：變式28．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列中，若，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．【答案】6【解析】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，．故答案為：6變式29．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列中，，，則公比q的值為.【答案】或【解析】∵，，∴是方程的兩根，∴或，∵，∴或，∴或故答案為：或【方法技巧與總結(jié)】利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題（1）基本思路：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題．（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題例22．（2023·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)高二階段練習(xí)）有四個(gè)正數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為48，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且最后一個(gè)數(shù)是25，求此四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)前三個(gè)數(shù)為．所以前三個(gè)數(shù)為因?yàn)楹笕齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，所以，所以或．當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以舍去．所以這四個(gè)數(shù)為．例23．（2023·陜西·西安市鄠邑區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）依次排列的四個(gè)數(shù)，其和為13，第四個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的3倍，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a，b，c，d，則，，，，將代入得：，將，代入得：，將，代入得：，解得：或2，當(dāng)時(shí)，則，這與前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，解得：，，，故滿足要求，故這四個(gè)數(shù)為1，2，4，6．例24．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）四個(gè)數(shù)中前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若首末兩數(shù)之和為14，中間兩數(shù)之和為12，求這四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)依次為、、、．則，解得或．故所求的四個(gè)位數(shù)依次為2，4，8，12或，，，．變式30．（2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為，它們的平方和為，求這三個(gè)數(shù)．【解析】不妨設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為、、，則這三個(gè)數(shù)的乘積為，這三個(gè)數(shù)的平方和為，整理可得，解得或．若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、；若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、；若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、；若，則這三個(gè)數(shù)分別為、、．綜上，這三個(gè)數(shù)分別為、、或、、或、、或、、．變式31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和為，中間兩個(gè)數(shù)的和為，求這四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為、、，則第四個(gè)數(shù)為．由題意得，解得或．當(dāng)，時(shí)，這四個(gè)數(shù)為、、、；當(dāng)，時(shí)，這四個(gè)數(shù)為、、、．變式32．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為－，求這四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a，aq，aq2，aq3，則，解得或，故所求四個(gè)數(shù)依次為或【方法技巧與總結(jié)】幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法（1）三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（2）四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為．推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為，（3）四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號(hào)是否相同時(shí)，可設(shè)為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以由，因此．故選：C.2．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以，所以.故選：C3．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則（

）A． B．3 C．±3 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A．4．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，，且數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，.故選：B.5．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，的前項(xiàng)之積為，則的公比（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由等比數(shù)列中，的前項(xiàng)之積為，可得，因?yàn)椋?，可?故選：D.6．（2023·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公差不為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以，得，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，因?yàn)?，解得，，，所?故選：D.7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，∴，可得，則.∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，又由題意，∴，∴，∴，∴.故選：D．8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足且.若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，可得，所以，所以，從而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，整理有，因?yàn)樗哉淼茫杭垂蔬x：C.二、多選題9．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，則（

）A．將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列B．取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列C．從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列【答案】ABC【解析】由于數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，公比為，對(duì)于A：將數(shù)列中的前項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列，故A正確；對(duì)于B：取出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，剩余項(xiàng)按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列且公比為，故B正確；對(duì)于C：從數(shù)列中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為，故C正確；對(duì)于D：數(shù)列是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，故數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．（2023·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為遞增數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．的前項(xiàng)和【答案】BCD【解析】由可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，故A錯(cuò)誤，C正確，，由于均為單調(diào)遞增的數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，所以為遞增數(shù)列，B正確，，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，D正確，故選：BCD11．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】BC【解析】由，整理得，故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，則B選項(xiàng)正確，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，由等差數(shù)列可得，所以，，則C選項(xiàng)正確，由通項(xiàng)公式可知數(shù)列是遞減數(shù)列，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12．（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是，，，成等比數(shù)列，且，則下列正確的是（

）A．，，成等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C．，，也成等比數(shù)列D．的最大值為【答案】BD【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，則，解得或（舍去），所以，，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，則，，，所以，即，，不成等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以?shù)列單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，，可得，所以，，不成等比?shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故D正確；故選：BD.三、填空題13．（2023·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，且，則.【答案】64【解析】等比數(shù)列中，，故，結(jié)合，以及可得，設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，故，故答案為：6414．（2023·上?！じ叨？计谥校┑缺葦?shù)列的n前項(xiàng)和為，若，，則．【答案】3【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，且，若，則，與題