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文檔簡介
2023-2024學(xué)年貴州省貴陽市高三上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下列不等式成立的是()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù),為的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.3.已知集合,則等于()A. B. C. D.4.已知△ABC中,.點P為BC邊上的動點,則的最小值為()A.2 B. C. D.5.已知雙曲線的左焦點為,直線經(jīng)過點且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點,,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.6.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰好有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.已知,是函數(shù)圖像上不同的兩點,若曲線在點,處的切線重合,則實數(shù)的最小值是()A. B. C. D.19.設(shè)函數(shù),則,的大致圖象大致是的()A. B.C. D.10.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”,下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為()①②③④⑤A.1個 B.2個 C.3個 D.4個11.設(shè),,是非零向量.若,則()A. B. C. D.12.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在矩形中,為邊的中點,,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.14.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.15.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.16.工人在安裝一個正六邊形零件時,需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊,但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.18.(12分)甲、乙兩班各派三名同學(xué)參加知識競賽,每人回答一個問題,答對得10分,答錯得0分,假設(shè)甲班三名同學(xué)答對的概率都是,乙班三名同學(xué)答對的概率分別是,,,且這六名同學(xué)答題正確與否相互之間沒有影響.(1)記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示甲班總得分,求隨機變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,是過定點且傾斜角為的直線;在極坐標(biāo)系(以坐標(biāo)原點為極點,以軸非負(fù)半軸為極軸,取相同單位長度)中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出直線的參數(shù)方程,并將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線相交于不同的兩點,求的取值范圍.20.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.21.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實數(shù),的值;(2)若,,,求證:.22.(10分)如圖,已知四棱錐的底面是等腰梯形,,,,,為等邊三角形,且點P在底面上的射影為的中點G,點E在線段上,且.(1)求證:平面.(2)求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞減,,錯誤;對于,,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.2、C【解析】
求出,直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算化簡復(fù)數(shù).【詳解】.故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算,共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因為,,所以.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
以BC的中點為坐標(biāo)原點,建立直角坐標(biāo)系,可得,設(shè),運用向量的坐標(biāo)表示,求得點A的軌跡,進而得到關(guān)于a的二次函數(shù),可得最小值.【詳解】以BC的中點為坐標(biāo)原點,建立如圖的直角坐標(biāo)系,可得,設(shè),由,可得,即,則,當(dāng)時,的最小值為.故選D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法,考查運算能力,屬于中檔題.5、A【解析】
直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則,且將代入雙曲線方程中,得到設(shè)則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.6、D【解析】
討論,,三種情況,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時,,故,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且;當(dāng)時,;當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;如圖所示畫出函數(shù)圖像,則,故.故選:.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點問題,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.7、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時,令,得;當(dāng)時,令,得,故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1.考點:程序框圖.8、B【解析】
先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點處的切線方程,再利用兩直線斜率相等且縱截距相等,列出關(guān)系樹,從而得出,令函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時,,則;當(dāng)時,則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點,當(dāng)或時,,不符合題意,故.則在處的切線方程為;在處的切線方程為.由兩切線重合可知,整理得.不妨設(shè)則,由可得則當(dāng)時,的最大值為.則在上單調(diào)遞減,則.故選:B.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了推理論證能力,考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點是計算.9、B【解析】
采用排除法:通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A;通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為,其關(guān)于原點對稱,因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,故選A排除;對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.10、B【解析】
滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱,分別對所給函數(shù)進行驗證.【詳解】滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.【點睛】本題考查新定義函數(shù)的問題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.11、D【解析】試題分析:由題意得:若,則;若,則由可知,,故也成立,故選D.考點:平面向量數(shù)量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點,作為一類既能考查向量的線性運算、坐標(biāo)運算、數(shù)量積及平面幾何知識,又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件,結(jié)合平面幾何知識及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易);②將條件通過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)化,再利用①求解(較難);③建系,借助向量的坐標(biāo)運算,此法對解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.12、D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2;體積為;兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點:旋轉(zhuǎn)體的組合體.14、【解析】
用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點睛】本題考查隨機事件的概率,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.16、60【解析】分析:首先將選定第一個釘,總共有6種方法,假設(shè)選定1號,之后分析第二步,第三步等,按照分類加法計數(shù)原理,可以求得共有10種方法,利用分步乘法計數(shù)原理,求得總共有種方法.詳解:根據(jù)題意,第一個可以從6個釘里任意選一個,共有6種選擇方法,并且是機會相等的,若第一個選1號釘?shù)臅r候,第二個可以選3,4,5號釘,依次選下去,可以得到共有10種方法,所以總共有種方法,故答案是60.點睛:該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,在解題的過程中,需要逐個的將對應(yīng)的過程寫出來,所以利用列舉法將對應(yīng)的結(jié)果列出,而對于第一個選哪個是機會均等的,從而用乘法運算得到結(jié)果.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因為G.、F為EC和PC的中點,,又平面,平面,所以平面(II)因為菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因為平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.18、(1)(2)分布列見解析,期望為20【解析】
利用相互獨立事件概率公式求解即可;由題意知,隨機變量可能的取值為0,10,20,30,分別求出對應(yīng)的概率,列出分布列并代入數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【詳解】(1)由相互獨立事件概率公式可得,(2)由題意知,隨機變量可能的取值為0,10,20,30.,,,,所以,的概率分布列為0102030所以數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查相互獨立事件概率公式和離散型隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望;考查運算求解能力;確定隨機變量可能的取值,求出對應(yīng)的概率是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.19、(1)(為參數(shù)),;(2)【解析】分析:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中表示之間的距離,而極坐標(biāo)方程可化為,從而的直角方程為.(2)設(shè),則,利用在圓上得到滿足的方程,最后利用韋達(dá)定理就可求出兩條線段的和.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).曲線的極坐標(biāo)方程可化為.把,代入曲線的極坐標(biāo)方程可得,即.(2)把直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))代入圓的方程可得:.∵曲線與直線相交于不同的兩點,∴,∴,又,∴.又,.∴,∵,∴,∴.∴的取值范圍是.點睛:(1)直線的參數(shù)方程有多種形式,其中一種為(為直線的傾斜角,是參數(shù)),這樣的參數(shù)方程中的參數(shù)有明確的幾何意義,它表示之間的距離.(2)直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式,而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式,后者也可以把極坐標(biāo)方程變形盡量產(chǎn)生以便轉(zhuǎn)化.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一:(1)當(dāng)時,,當(dāng),,當(dāng)時,,所以解法二:(1)如圖當(dāng)時,解法三:(1)當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立.當(dāng)時解法一:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,因為成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因為,,,所以,,又因為,所以,所以,原不等式得證.補充:解法三:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【點睛】本
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